CHAPITRE XXII.
INVARIANTS INTÉGRAUX.
Mouvement d’un fluide permanent.
233.Pour bien faire comprendre l’origine et la portée de la
notion des invariants intégraux, je crois utile de commencer par
l’étude d’un exemple particulier emprunté à une application physique.
Considérons un fluide quelconque, et soient
les trois
composantes de la vitesse de la molécule, qui, à l’instant
a pour
coordonnées
Nous regarderons
comme des fonctions de
et
nous supposerons que ces fonctions sont données.
Si
sont indépendants de
et ne dépendent que de
et
on dit que le mouvement du fluide est permanent. Nous
supposerons que cette condition est remplie.
La trajectoire d’une molécule quelconque du fluide est alors
une courbe qui est définie par l’équation différentielle
(1)
|
|
|
Si l’on savait intégrer ces équations, on en tirerait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\varphi _{1}(t,x_{0},y_{0},z_{0}),\\y&=\varphi _{2}(t,x_{0},y_{0},z_{0}),\\z&=\varphi _{3}(t,x_{0},y_{0},z_{0}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6afd74d30e9e05538b2faba6fdbebc75ca857a)
de sorte que
et
seraient exprimés en fonction du temps
et de leurs valeurs initiales ![{\displaystyle x_{0},\,y_{0},\,z_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c82c18b57ec93d30ce6ad29ab8f77c0e3bd690)
Connaissant la position initiale d’une molécule, on en déduirait
ainsi la position de cette même molécule au temps
Considérons des molécules fluides dont l’ensemble forme à
l’origine des temps une certaine figure
quand ces molécules
se déplaceront, leur ensemble formera une nouvelle figure qui ira
en se déformant d’une manière continue, et à l’instant
l’ensemble
des molécules envisagées formera une nouvelle figure
Nous supposerons que le mouvement du fluide est continu,
c’est-à-dire que
sont des fonctions continues de
il existe alors entre les figures
et
certaines relations que la
continuité rend évidentes.
Si la figure
est une courbe ou une surface continue, la
figure
sera une courbe ou une surface continue.
Si la figure
est un volume simplement connexe, la figure
sera un volume simplement connexe.
Si la figure
est une courbe ou une surface fermée, il en sera
de même de la figure
Examinons en particulier le cas des liquides ; c’est celui où le
fluide est incompressible, c’est-à-dire où le volume d’une masse
fluide est invariable.
Supposons alors que la figure
soit un volume, au bout du
temps
la masse fluide qui remplissait ce volume occupera un
volume différent qui ne sera autre chose que la figure
Le volume de la masse fluide n’a pas dû changer ; donc
et
ont même volume : c’est ce que l’on peut écrire
(2)
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la première intégrale est étendue au volume
et l’autre au volume ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
Nous dirons alors que l’intégrale
![{\displaystyle \iiint dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f676abc046dc28cd4c23c6e2b85e06e837216b)
est un invariant intégral.
On sait que la condition d’incompressibilité peut s’exprimer
par l’équation
(3)
|
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|
Les deux équations (2) et (3) sont donc équivalentes.
Revenons au cas des gaz, c’est-à-dire au cas où le volume d’une
masse fluide est variable ; c’est alors la masse qui demeure invariable,
de sorte que si l’on appelle
la densité du gaz on aura
(4)
|
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|
La première intégrale est étendue au volume
la seconde au
volume
En d’autres termes, l’intégrale
![{\displaystyle \iiint \rho \,dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d203e4efea9c1b17715f6e99d2ac047efa88773)
est un invariant intégral.
Dans ce cas, le mouvement étant permanent, l’équation de
continuité s’écrit
(5)
|
|
|
Les conditions (4) et (5) sont donc encore équivalentes.
234.Un second exemple nous est fourni par la théorie des
tourbillons de Helmholtz.
Supposons que la figure
soit une courbe fermée, il en sera
de même de la figure
Supposons que le fluide, compressible ou non, soit à une température
constante et ne soit soumis qu’à des forces admettant
un potentiel ; il faut alors, pour que le mouvement reste permanent,
que
satisfassent à certaines conditions qu’il est
inutile de développer ici.
Supposons-les remplies.
Cela posé, considérons l’intégrale
![{\displaystyle \int (u\,dx+v\,dy+w\,dz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20ca14fb43ff354df51658195a67a66e5a7d837)
Elle aura, comme nous l’apprend le théorème de Helmholtz, même
valeur le long de la courbe
et le long de la courbe ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
En d’autres termes, cette intégrale est un invariant intégral.
Définition des invariants intégraux.
235.Dans les exemples que je viens de citer on est facilement
conduit, par la nature même de la question, à la considération
des invariants intégraux.
Mais il est clair que l’on peut employer ces invariants en en
généralisant la définition dans des cas beaucoup plus étendus où
l’on ne pourrait plus leur attribuer une signification physique
aussi simple.
Considérons des équations différentielles de la forme
(1)
|
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|
étant des fonctions données de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
Si l’on savait les intégrer on en tirerait
en fonction de
et de leurs valeurs initiales
Si nous regardons
comme représentant le temps et
comme représentant les coordonnées d’un point mobile
dans
l’espace, les équations (1) définiront les lois du mouvement de
ce point mobile.
Les mêmes équations une fois intégrées nous feraient connaître
la position du point
au temps
connaissant sa position initiale
dont les coordonnées sont
Si l’on considère des points mobiles suivant la même loi et
dont l’ensemble forme à l’origine des temps une figure
l’ensemble
de ces mêmes points formera à l’instant
une autre
figure
qui sera une ligne, une surface ou un volume suivant
que la figure
sera elle-même une ligne, une surface ou un
volume.
Considérons alors une intégrale simple
(2)
|
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|
où
sont des fonctions connues de
et
il peut
arriver que si
est une ligne, cette intégrale (2) étendue à tous
les éléments de la ligne
soit une constante indépendante du
temps et soit égale par conséquent à la valeur de cette même
intégrale étendue à tous les éléments de la ligne ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
Supposons maintenant que
et
soient des surfaces et envisageons
l’intégrale double
(3)
|
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|
où
sont des fonctions de
et
Il peut arriver que
cette intégrale ait la même valeur, qu’on l’étende à tous les éléments
de la surface
ou à tous ceux de la surface ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
Imaginons maintenant que
et
soient des volumes et envisageons
l’intégrale triple
(4)
|
|
|
étant une fonction de
il peut arriver qu’elle ait même
valeur pour
et pour ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
Dans ces différents cas, nous dirons que les intégrales (2), (3)
ou (4) sont des invariants intégraux.
Il arrivera quelquefois que l’intégrale simple (2) n’aura la même
valeur pour les lignes
et
que si ces deux courbes sont fermées ;
ou bien que l’intégrale double (3) n’aura la même valeur pour les
surfaces
et
que si ces deux surfaces sont fermées.
Nous dirons alors que (2) est un invariant intégral par rapport aux courbes fermées
et que (3) est un invariant intégral par rapport aux surfaces fermées.
236.La représentation géométrique dont nous avons fait usage
ne joue évidemment aucun rôle essentiel ; nous pouvons la laisser
de côté et rien n’empêchera plus d’étendre les définitions précédentes
au cas où le nombre des variables est plus grand que trois. Considérons alors les équations
(1)
|
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|
où
sont des fonctions données de
si l’on savait les intégrer, on connaîtrait
en fonctions
de
et de leurs valeurs initiales
Nous pouvons,
pour conserver le même langage, appeler point
le système de
valeurs
et point
le système de valeurs
![{\displaystyle \ldots ,\,x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938c9c015a00c0f99fa779d42337757c14de3027)
Considérons un ensemble de points
formant une variété
et l’ensemble des points correspondants
formant une autre
variété
[1].
Nous supposerons que
et
sont des variétés continues à
dimensions où
Considérons alors une intégrale d’ordre
(2)
|
|
|
où
est une fonction de
et où
est le produit
de
différentielles prises parmi les
différentielles
![{\displaystyle dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a0541608f757aa70c20f499ca6c71062c1aa07)
Il peut se faire que cette intégrale ait même valeur pour les
deux variétés
et
Nous dirons alors que c’est un
invariant intégral.
Il peut arriver aussi que cette intégrale ait même valeur pour
les deux variétés
et
mais seulement à la condition que ces
deux variétés soient fermées. C’est alors un invariant intégral
par rapport aux variétés fermées.
On peut encore imaginer d’autres espèces d’invariants intégraux.
Supposons, par exemple, que
et que
et
se réduisent à des lignes ; il peut arriver que l’intégrale
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dx_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a20d43eacf69c24523772fe508a0daef0199fd)
ait même valeur pour
et
et soit invariant intégral ; mais il
peut arriver aussi que l’intégrale
![{\displaystyle \int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8c5e8e3c529ce8b1ded8d5ac3bea5432b90f11)
où les
et les
sont comme les
des fonctions de
il peut arriver, dis-je, que cette intégrale ait même valeur pour
et
et il serait facile d’imaginer d’autres exemples analogues.
Le nombre
s’appellera l’ordre de l’invariant intégral.
Relations entre les invariants et les intégrales.
237.Reprenons le système
(1)
|
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|
Si l’on savait l’intégrer, on saurait former tous ses invariants intégraux.
Si en effet l’intégration était effectuée, on pourrait en mettre le
résultat sous la forme
(2)
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|
étant des constantes arbitraires, les
et
étant
des fonctions données des ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Changeons de variables en prenant pour variables nouvelles,
au lieu des
les
et
Considérons alors un invariant intégral quelconque ; cet invariant
devra contenir sous le signe
qui sera répété
fois si
l’invariant est d’ordre
il devra contenir, dis-je, une certaine expression, fonction des
et de leurs différentielles
Après le
changement des variables, cette expression deviendra une fonction
des
de
et de leurs différentielles
et
Pour passer d’un point de la figure
au point correspondant
de la figure
il faut, sans changer les
changer
en
Donc, en passant d’un arc infiniment petit de
à l’arc correspondant
de
les différentielles
et
ne changent pas (la
quantité
qu’on ajoute à
est en effet la même pour les deux
extrémités de l’arc) ; enfin, si l’on considère une figure infiniment
petite
d’un nombre quelconque de dimensions et la figure correspondante
un produit d’un nombre (égal à celui des dimensions
de
et
) de différentielles
ou
ne changera pas non
plus quand on passera d’une figure à l’autre.
En résumé, pour qu’une expression soit un invariant intégral,
il faut et il suffit que
n’y figure pas ; les
les
et
peuvent y figurer d’une manière quelconque.
Considérons une expression de même forme que celle que nous
avons envisagée dans le paragraphe précédent
(3)
|
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|
cette expression représente une intégrale d’ordre
est une
fonction de
est un produit de
différentielles
prises parmi les
différentielles
![{\displaystyle dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a0541608f757aa70c20f499ca6c71062c1aa07)
Nous voulons savoir si c’est un invariant intégral ; faisant le
changement de variables indiqué plus haut, l’expression (3)
deviendra
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,d\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c525da2de51a647ec045ca74677008b0f46674d9)
est une fonction des
et de
est un produit de
différentielles prises parmi les
différentielles
![{\displaystyle dy_{1},\quad dy_{2},\quad \ldots ,\quad dy_{n-1},\quad dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d1f246682c78e9e9f74f410c861745dc10447d)
Pour que l’expression (3) soit un invariant intégral, il faut et il
suffit que tous les
soient indépendants de
et ne dépendent
que des
Reprenons de même, comme dans le numéro précédent,
l’expression
(4)
|
|
|
les
et les
étant des fonctions des ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Après le changement de variables, cette expression deviendra
![{\displaystyle \int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}'\,dx_{i}'^{2}+2\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i,k}'\,dx_{i}'\,dx_{k}'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbf0635bd421aebfcddc59500f1f10ac2dd03e0)
j’ai posé, pour plus de symétrie dans les notations,
![{\displaystyle x_{i}'=y_{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1)\,;\qquad x_{n}'=z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6a7dac79d38e5698c95bc0cc140db65b505725)
Pour que l’expression (4) soit un invariant intégral, il faut et
il suffit que tous les
et les
soient indépendants de
et ne
dépendent que de
Invariants relatifs.
238.Nous sommes conduits maintenant à chercher à former
les invariants intégraux relatifs aux variétés fermées. Supposons
d’abord
et cherchons quelle est la condition pour que l’intégrale simple
(1)
|
|
|
soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.
Faisons le changement de variables indiqué plus haut, notre
intégrale deviendra
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {B} _{1}\,dy_{1}+\mathrm {B} _{2}\,dy_{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n-1}\,dy_{n-1}+\mathrm {B} _{n}\,dz\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c072151ef0cccd1315477f1ca47352bebf88fb80)
ce que je puis encore écrire, en reprenant la notation plus symétrique
de la fin du numéro précédent,
(1 bis)
|
|
|
Cette intégrale simple, étendue à une variété fermée à une dimension,
c’est-à-dire à une ligne fermée, peut être transformée par le théorème de Stokes en une intégrale double étendue à une variété
non fermée à deux dimensions, c’est-à-dire à une surface non fermée ; on a
(2)
|
|
|
Mais l’intégrale du second membre de (2) doit être un invariant
intégral absolu et non seulement par rapport aux variétés fermées.
Nous conclurons donc ceci :
Pour que (1) soit un invariant intégral par rapport aux
lignes fermées, il faut et il suffit que les binômes
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dx_{k}'}}-{\frac {d\mathrm {B} _{k}}{dx_{i}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9eef3128ac99390a8bc2b7fdc8f09039bbbe98)
soient tous indépendants de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
De même et plus généralement soit
(3)
|
|
|
une expression intégrale d’ordre
de même forme d’ailleurs que
celles qui ont été envisagées dans les numéros précédents ; nous
voulons savoir si c’est un invariant intégral par rapport aux
variétés fermées d’ordre ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
Nous supposons cette intégrale étendue à une variété fermée
quelconque d’ordre
un théorème analogue à celui de Stokes
nous apprendra alors qu’elle peut être transformée en une intégrale
d’ordre
étendue à une variété quelconque, fermée ou
non, d’ordre
L’intégrale transformée s’écrit
(4)
|
|
|
On prend toujours le signe
si
est pair et alternativement
le signe
et le signe
si
est impair. [Je renverrai pour plus
de détails à mon Mémoire sur les résidus des intégrales doubles
(Acta Mathematica, tome viii), et à mon Mémoire du Cahier du
Centenaire du Journal de l’École Polytechnique.]
La condition nécessaire et suffisante pour que (3) soit un invariant intégral d’ordre
par rapport aux variétés fermées, c’est
que (4) soit un invariant intégral absolu d’ordre
239.Reprenons l’expression (1) du numéro précédent et supposons
que ce soit un invariant relatif, je veux dire un invariant
intégral par rapport aux lignes fermées.
Amenons-la à la forme (1 bis) par notre changement de variables
Soit
un point de
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1},\quad z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55172d67765b8111e7c6483a564bf8821d880e0)
ses coordonnées (avec les nouvelles variables).
Soit
le point correspondant de
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1},\quad z+t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21568b28a51fe5eb46203e24c345667ce731063)
ses coordonnées. Les
seront des fonctions des
et de
mais
je mettrai
en évidence, en écrivant
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {B} _{k}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471ad691db6b5f04e56b35ff2e1b1bd79dd839c3)
Nous aurons alors, si la ligne
est fermée,
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}(z+t)\,dx_{k}'=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}(z)\,dx_{k}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76a887c70218c3f224a7475d3f45408e4dc0c18)
ce qui veut dire que l’expression
(3)
|
|
|
est une différentielle exacte que je pose égale à
la fonction
dépendra non seulement des
et de
mais encore de
Pour
elle doit se réduire à une constante.
Si nous supposons
infiniment petit et que nous appelions
la dérivée de
par rapport à
l’expression (3) se réduit à
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,[t\,\mathrm {B} _{k}'(z)]\,dx_{k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11079dc929776aaab72f89487905b556be4bc18e)
L’expression
(4)
|
|
|
est alors une différentielle exacte que je pose égale à
La fonction
ainsi définie dépendra des
et de
mais ne dépendra
plus de
Je mettrai encore
en évidence en écrivant
il vient alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{dt}}=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}'(z+t)\,dx_{k}'=\int d\mathrm {U} (z+t)=\int \mathrm {U} (z+t)+f(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836135c8e583160322a1666768c4b53c107a7b70)
étant une fonction arbitraire de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Or
peut être regardé comme la dérivée par rapport à
d’une autre fonction
dépendant aussi des
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\,\mathrm {W} (z+t)=\mathrm {U} (z+t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8c784c17aadb1708e991f71be5ecf0bc639822)
Comme d’autre part
doit se réduire à une constante pour
nous conclurons finalement
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {W} (z+t)-\mathrm {W} (z)+\varphi (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86908129a5ffac250aece7b568259f789122635)
désignant une fonction arbitraire de
seulement que l’on
pourrait d’ailleurs supposer nulle sans restreindre essentiellement
la généralité.
On trouve alors
![{\displaystyle \mathrm {B} _{k}(z)={\frac {d}{dx_{k}'}}\,\mathrm {W} (z)+\mathrm {C} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6675e20d8d7733884f6d62a79bbb2677a9905c)
étant indépendant de
de sorte que l’expression (1 bis) se
réduit à
![{\displaystyle \int d\mathrm {W} +\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{k}\,dx_{k}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72bac04132ec8f6238c7b732394ee0f3b555f36)
la première intégrale étant celle d’une différentielle exacte et la
seconde étant un invariant intégral absolu.
240.Traitons de même un invariant relatif d’ordre supérieur
au premier ; soit
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2effee61185ca7997c7d55da4ac797a9ef17fe5)
cet invariant qui, après le changement de variables, deviendra
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,d\omega '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d3fbddbb01bbe0d11eb50797b3f48b39712401)
L’intégrale
(1)
|
|
|
devra être nulle quelle que soit la variété fermée d’ordre
à
laquelle on l’étende.
Elle devra donc satisfaire à certaines « conditions d’intégrabilité »
analogues à celles qui expriment qu’une différentielle
totale du premier ordre est une différentielle exacte.
Considérons maintenant une variété
de
dimensions, mais
non fermée et limitée par une variété
de
dimensions qui
lui servira de frontière.
L’intégrale (1), étendue à la variété
ne sera pas nulle, mais si
on la calcule pour d’autres variétés analogues
etc., ayant
même frontière
, on trouvera la même valeur, c’est-à-dire que
la valeur de l’intégrale (1) ne dépend que de la frontière
Elle est égale à une intégrale d’ordre p-1,
(2)
|
|
|
étendue à la variété
et où
désigne un produit quelconque
de
différentielles pendant que
est une fonction des
de
et de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Cette intégrale (2) est évidemment une fonction de
dépendant
en outre de la variété
Considérons sa dérivée par rapport à
on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \sum {\frac {d\mathrm {C} }{dt}}\,d\omega ''=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} '(z+t)\,d\omega '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940aae2f178e2ad01d890755d9258b1cd59ae4b1)
Cette dérivée, comme le montre sa dernière expression, ne change
pas quand on y change
en
et quand, en même temps, on
transforme
(ou
) en y changeant partout
en ![{\displaystyle z+h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddfd93b8a8e2c5487da9b64c7c6fa708b46e6a4)
On en conclut que
est de la forme suivante
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {D} (z+t)\,d\omega ''-\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {D} (z)\,d\omega '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17946e92122a23e32a597df55dd4cd7bf25b5dad)
étant une fonction de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
L’intégrale
(3)
|
|
|
est d’ordre
mais on peut la transformer facilement en une
intégrale d’ordre
il suffit d’appliquer la transformation qui,
dans le no 238, nous a permis de passer de l’intégrale (3) à l’intégrale (4), et qui est inverse de celle par laquelle, dans le présent
numéro, nous avons passé de l’intégrale (1) à l’intégrale (2).
L’intégrale (3), étendue à la variété
est donc égale à l’intégrale
d’ordre
(4)
|
|
|
étendue à la variété ![{\displaystyle \mathrm {V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664209da7650f00b3507efe25f89aeff9783146c)
Nous dirons, par analogie avec la terminologie consacrée pour
les intégrales simples, que l’intégrale (4) est une intégrale de
différentielle exacte. Et en effet :
1o Elle est nulle pour toute variété fermée ;
2o Elle est réductible à une intégrale d’ordre moindre.
Cela posé, on aura
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {E} (z+t)\,d\omega '-\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {E} (z)\,d\omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/289924477a04ecfa37aef0fcd8a10f6a7c1bd5d8)
les intégrales sont étendues à la variété ![{\displaystyle \mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220df887894e07aac76a143d9bb430374c41c0cc)
Mais cette égalité peut encore s’écrire
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z+t)-\mathrm {E} (z+t)\right]\,d\omega '=\int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z)-\mathrm {E} (z)\right]\,d\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537defd94700d0946d246cf570307b8c7a8bd0e3)
et elle est vraie pour une variété
quelconque.
Cela veut dire que
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\left[\mathrm {B} (z)-\mathrm {E} (z)\right]\,d\omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b6d94b8d05514a9c7fa71a33942149aa54c9e0)
est un invariant intégral absolu.
Nous arrivons donc au résultat suivant :
Tout invariant intégral relatif est la somme d’une intégrale
de différentielle exacte et d’un invariant intégral absolu.
241.Nous avons vu au no 238 comment, d’un invariant relatif
d’ordre
on pouvait déduire un invariant absolu d’ordre
Le même procédé est évidemment applicable aux invariants
absolus, de sorte qu’on pourrait être tenté de l’appliquer de
proche en proche et de construire successivement des invariants
d’ordre
Mais on serait promptement arrêté dans cette voie.
Il y a un cas en effet où le procédé en question est illusoire,
c’est celui où l’invariant que l’on veut transformer est une intégrale
de différentielle exacte. L’invariant intégral auquel conduirait
la transformation serait alors identiquement nul.
Si maintenant on transforme un invariant d’ordre
on obtient
un invariant d’ordre
mais cet invariant est une intégrale de
différentielle exacte, de sorte que si l’on veut le transformer de
nouveau, on tombe sur un résultat identiquement nul.
Relation entre les invariants et l’équation aux variations.
242.Reprenons le système
(1)
|
|
|
Nous pouvons former les équations aux variations correspondantes
telles qu’elles ont été définies au début du Chapitre IV.
Pour former ces équations, on change dans les équations (1)
en
et l’on néglige les carrés des
on trouve ainsi le
système d’équations linéaires
(2)
|
|
|
Il y a, entre les intégrales des équations (2) et les invariants intégraux
des équations (1), un lien intime qu’il est aisé d’apercevoir.
Soit
![{\displaystyle \mathrm {F} (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n})=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c89dfb87645e994f99e37c13cc49c2f8f6d9161)
une intégrale quelconque des équations (2). Ce sera une fonction
homogène par rapport aux
et dépendant d’ailleurs des
d’une
manière quelconque. Je pourrai toujours supposer que cette fonction
est homogène de degré 1 par rapport aux
car s’il n’en
était pas ainsi, je n’aurais qu’à élever
à une puissance convenable
pour trouver une fonction homogène du degré 1.
Considérons maintenant l’expression
(3)
|
|
|
je dis que c’est un invariant intégral du système (1).
J’observe d’abord que la quantité sous le signe
![{\displaystyle \mathrm {F} (dx_{1},\,dx_{2},\,\ldots ,\,dx_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8283f25d463afa0daad4ae3fdd4e271a55fd14)
est un infiniment petit du premier ordre, puisque
sont des infiniment petits du premier ordre et que
est
homogène du premier ordre par rapport à ces quantités.
L’intégrale simple (3) est donc finie.
Cela posé, supposons d’abord que la figure
se réduise à une
ligne infiniment petite, dont les extrémités aient pour coordonnées
![{\displaystyle x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1784d2a0758f83e0aceabead075d44d16c342437)
![{\displaystyle x_{1}+\xi _{1},\quad x_{2}+\xi _{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+\xi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae4197acb02fbd0b49a71601c9716ed00d3d288)
L’intégrale (3) se réduira à un seul élément et sera par conséquent égale à
![{\displaystyle \mathrm {F} (\xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots ,\,\xi _{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33217f08484431fa7f03edfc2a74e7bca1f23a14)
Cette expression étant une intégrale des équations (2) demeurera
constante et aura même valeur pour la ligne
et pour la ligne ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
Si maintenant la ligne
et par conséquent la ligne
sont finies,
nous décomposerons la ligne
en parties infiniment petites. L’intégrale (3),
étendue à l’une de ces parties infiniment petites de
sera égale à l’intégrale (3), étendue à la partie infiniment petite
correspondante de
L’intégrale étendue à la ligne
tout entière
sera égale à l’intégrale étendue à la ligne
tout entière.
Donc l’intégrale (3) est un invariant intégral.
C. Q. F. D.
Réciproquement, supposons que (3) soit un invariant intégral
du premier ordre, je dis que
![{\displaystyle \mathrm {F} (\xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots ,\,\xi _{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33217f08484431fa7f03edfc2a74e7bca1f23a14)
sera une intégrale des équations (2).
En effet, l’intégrale (3) doit être la même pour la ligne
et
pour la ligne
quelles que soient ces lignes, et en particulier,
si
se réduit à un élément infiniment petit dont les extrémités
ont pour coordonnées
et
![{\displaystyle x_{i}+\xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3b340723609d17ac33792ada812e31954f0ca6)
L’intégrale (3) se réduit alors, comme nous l’avons vu, à
(4)
|
|
|
Comme l’intégrale est un invariant, cette expression (4) doit être
constante.
C’est donc une intégrale des équations (2).
C. Q. F. D.
Ainsi, à chaque invariant intégral du premier ordre des équations (1)
correspond une intégrale des équations (2) et réciproquement.
243.Voyons maintenant à quoi correspondent les invariants
d’ordre supérieur au premier.
Considérons deux solutions particulières quelconques des équations (2) ; soient
(5)
|
|
|
ces deux solutions.
Il peut exister des fonctions
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{i},\xi _{i},\xi _{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d43b6f713a9ad9ec12a76b9a9a90c312f7a252f)
qui dépendent à la fois des
des
et des
et qui, quelles que
soient les deux solutions choisies, se réduisent à des constantes
indépendantes du temps.
En d’autres termes, la fonction
sera une intégrale du système
(6)
|
|
|
auquel satisfont les
et les ![{\displaystyle \xi _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ed313921bab5be0bd535a066238d5a916c847f)
Faisons une hypothèse plus particulière et supposons que
soit de la forme
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe5db461b8e803ca295f1b86add9c2dfbf3e622)
les
étant fonctions des
seulement.
Je dis alors que l’intégrale double
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267f9ac28a49eff77b26fa719fcd47c278b343d2)
est un invariant intégral des équations (1).
Supposons, en effet, que la figure
se réduise à un parallélogramme
infiniment petit dont les sommets ont pour coordonnées
les valeurs pour
de
![{\displaystyle x_{i},\quad x_{i}+\xi _{i},\quad x_{i}+\xi _{i}',\quad x_{i}+\xi _{i}+\xi _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea4c86a81d5cd0fd4af7fafd68313e7c04b20e7)
La figure
sera aussi assimilable à un parallélogramme infiniment
petit dont les sommets auront pour coordonnées les valeurs
pour
de
![{\displaystyle x_{i},\quad x_{i}+\xi _{i},\quad x_{i}+\xi _{i}',\quad x_{i}+\xi _{i}+\xi _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea4c86a81d5cd0fd4af7fafd68313e7c04b20e7)
L’intégrale
se réduira à un seul élément qui aura précisément
pour valeur
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe5db461b8e803ca295f1b86add9c2dfbf3e622)
et, comme cette expression est par hypothèse une intégrale du
système (6), elle aura même valeur pour les deux figures
et ![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f35d7133ed16ec752e55fb04946f919fe1d42d2)
Supposons maintenant que
et
soient deux surfaces finies ;
décomposons
en parallélogrammes infiniment petits à chacun
desquels correspondra un parallélogramme élémentaire de
La
valeur de
est donc la même pour chaque élément de
et pour
l’élément correspondant de
elle est donc la même encore pour
la surface
entière et pour la surface
entière.
L’intégrale
est donc un invariant intégral.
C. Q. F. D.
La réciproque se démontrerait comme au numéro précédent.
244.Le théorème est évidemment général et s’applique aux invariants
d’ordre supérieur à deux. Énonçons-le encore pour ceux
d’ordre trois. Considérons trois solutions particulières des équations (2),
ces trois solutions devront satisfaire au système
(7)
|
|
|
Si le système (7) admet une intégrale de la forme
(8)
|
|
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où les
sont fonctions des
l’intégrale triple
(9)
|
|
|
sera un invariant intégral des équations (1) et réciproquement.
245.Les invariants étant ainsi ramenés aux intégrales de
l’équation aux variations, on trouve facilement un très grand
nombre de procédés qui permettent de transformer ces invariants.
Si l’on connaît un certain nombre d’invariants intégraux des équations
(1)
|
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|
on déduira de chacun d’eux une intégrale des équations aux
variations
(2)
|
|
|
En combinant entre elles ces diverses intégrales, on obtiendra
une nouvelle intégrale des équations (2), d’où l’on déduira un
nouvel invariant des équations (1).
Commençons par étudier le cas des invariants de premier ordre.
Soient
![{\displaystyle \Phi _{1},\quad \Phi _{2},\quad \ldots ,\quad \Phi _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9993145f6bb3616e53d05b355871e50f77ed91)
un certain nombre d’intégrales des équations (1), ces intégrales
seront des fonctions des
seulement.
Soient maintenant
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{q}(dx_{i}),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0395f4497371dca9c019e104bc0b321970206f)
invariants intégraux du premier ordre de ces mêmes équations (1).
Les fonctions sous le signe
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{q}(dx_{i}),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add448f4d39eb80c591d547865b82076bf2fa32d)
dépendront des
et de leurs différentielles
Elles pourront
dépendre des
d’une manière quelconque ; mais par rapport aux
différentielles
![{\displaystyle dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce2bc818470d73ed28d1a52df69f961d5a48828)
elles devront être homogènes et du premier ordre.
Alors
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}),\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{q}(\xi _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e8954c249b5421118695a419c50dea678cacd7)
seront des intégrales des équations (2) et seront homogènes et du
premier ordre par rapport aux ![{\displaystyle \xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590fd98954ba468f505f262c67f06f0337ec4e48)
Soit maintenant
![{\displaystyle \Theta \left(\Phi _{1},\Phi _{2},\ldots ,\Phi _{p};\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2},\ldots ,\mathrm {F} _{q}\right)=\Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{i}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fc3b1c11117cdb5368f215fc292b10c72c3804)
une fonction des
et des
dépendant des
d’une manière quelconque,
mais homogène et du premier ordre par rapport aux ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
Alors
![{\displaystyle \Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(\xi _{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0faf77e52358e91510361f6952b366c4d9117ddc)
sera une nouvelle intégrale des équations (2) ; de plus ce sera une
fonction homogène et du premier ordre par rapport aux ![{\displaystyle \xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590fd98954ba468f505f262c67f06f0337ec4e48)
Il en résulte que
![{\displaystyle \int \Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(dx_{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0dd0af1120278d969f70eeea2b22b64cb281283)
est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).
On aurait pu arriver tout aussi facilement au même résultat
en transformant les invariants par le changement des variables
du no 237.
Par exemple
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {F} _{1}+\mathrm {F} _{2}+\ldots +\mathrm {F} _{q}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d0c627ee64bff019c19c18d6fac9990538f87b)
et
![{\displaystyle \int {\sqrt {\mathrm {F} _{1}^{2}+\mathrm {F} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {F} _{q}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242b33c923a6c289b93d4646dc984f25125f9fe0)
seront des invariants intégraux.
246.Le même calcul peut s’appliquer aux invariants d’ordre
plus élevé.
Soient encore
![{\displaystyle \Phi _{1},\quad \Phi _{2},\quad \ldots ,\quad \Phi _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9993145f6bb3616e53d05b355871e50f77ed91)
intégrales des équations (1), et
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{n}(dx_{i}\,dx_{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6be017e650c447f5b5d8e0d8f6cd801573bab81)
invariants intégraux du second ordre. Les
seront des fonctions
des
et des produits de différentielles
![{\displaystyle dx_{i}\,dx_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5851d8dd9310dddbbad4c049723087c8c262ba49)
Elles seront homogènes et du premier ordre par rapport à ces
produits.
Alors
![{\displaystyle \mathrm {F} _{l}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b33061720c2a46033bf5d409909a266726c495)
seront des intégrales du système (6).
Si alors
![{\displaystyle \Theta \left[\Phi _{\mu },\mathrm {F} _{l}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758c9c4ac81476929f526d8669242055b5576567)
est une fonction quelconque des
et des
homogène du premier
ordre par rapport aux
l’expression
![{\displaystyle \Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7430eeb825e11a491f0e22c05fa68262d856e8a6)
sera une intégrale des équations (6) ; elle sera de plus homogène
et du premier ordre par rapport aux déterminants
![{\displaystyle \xi _{k}\xi _{i}'-\xi _{k}'\xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2176f956b12735e2db2e823b905abe0e49057bd3)
Il en résulte que l’intégrale double
![{\displaystyle \int \Theta \left[\Phi _{\mu },\mathrm {F} _{l}(dx_{i}\,dx_{k})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e80e327056356167422b0ca24c3cf62e7489d4d)
sera un invariant intégral du second ordre des équations (1).
247.Nous avons ainsi le moyen, connaissant plusieurs invariants
du même ordre, de les combiner de façon à obtenir d’autres
invariants du même ordre.
Le même procédé permet, connaissant plusieurs invariants du
même ordre, d’obtenir de nouveaux invariants d’ordre différent.
Soient, par exemple,
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1b49b9349d98baa219c12b96f9ec529c691147)
deux invariants intégraux du premier ordre ; je suppose, ce qui
est le cas le plus général, que
et
sont des fonctions linéaires
et homogènes des différentielles ![{\displaystyle dx_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff0d869d200c671f06706fd6e83870e7986236a)
Les expressions
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183e40dfd6177cd0a6b2e22b062e0fe79f31092d)
seront homogènes et du premier ordre par rapport aux
et ce
seront des intégrales des équations (2).
De même
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}'),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a118294f3c114841ea4e5d2bc4d1fec87d6201)
seront des intégrales des équations (6).
Il en résulte que
(10)
|
|
|
sera une intégrale du système (6).
Comme
et
sont linéaires par rapport aux
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}+\xi _{i}')&=\mathrm {F} _{1}(\xi _{i})+\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}')\,;&\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}+\xi _{i}')&=\mathrm {F} _{2}(\xi _{i})+\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e794c5483e71278611d61eb6069f6364b7a51901)
Il en résulte que l’expression (10), qui d’ailleurs change de
signe quand on permute les
et les
ne change pas quand on
change
en
Nous en conclurons que cette expression (10) est une fonction
linéaire et homogène des déterminants
![{\displaystyle \xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ef36f200f72945cf54ab982a90fe5c0203ce94)
les coefficients dépendant des
seulement, mais non des
et des ![{\displaystyle \xi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578fdcc28ae09d6ef46527bb6149ad1e3f08561d)
De cette expression (10) on pourra donc déduire un invariant
intégral du deuxième ordre des équations (1).
Soient maintenant
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe55a0e2e1f942f87757a0c5a9983458f309234)
deux invariants intégraux des équations (1), le premier du premier
ordre et le second du deuxième ordre. Je supposerai que
et
sont des fonctions linéaires et homogènes, la première par rapport
aux
différentielles
la seconde par rapport aux
produits
produits
![{\displaystyle dx_{i}\,dx_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5851d8dd9310dddbbad4c049723087c8c262ba49)
Les fonctions
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45dc905f7cbba7d52875939ae699bcafea1292a)
seront des intégrales du système (6).
L’expression
(11)
|
|
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sera une intégrale du système (7).
Il est aisé, d’autre part, de vérifier qu’elle sera linéaire et homogène
par rapport aux déterminants
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{lll}\xi _{i}&\xi _{i}'&\xi _{i}''\\\xi _{k}&\xi _{k}'&\xi _{k}''\\\xi _{l}&\xi _{l}'&\xi _{l}''\end{array}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354eefd1ad1a15abdb5f428588d6d0130a538350)
On pourra donc en déduire un invariant intégral du troisième ordre.
Soient maintenant
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acd7d3fc1c1fceca04836711a0898d662a21c3a)
deux invariants de deuxième ordre des équations (1).
Nous en déduirons deux intégrales des équations (6), à savoir
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf48b3733549b9c7882babe095105fe3f10a85e)
ce que je pourrai écrire, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi \xi '),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi \xi ').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5003c266067f8e7358ae5631d9ca6d80b35ee88d)
Alors l’expression
(12)
|
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sera une intégrale du système obtenu en adjoignant aux équations (7) les équations
![{\displaystyle {\frac {d\xi _{k}'''}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\xi _{i}'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c163b954abb3865ec12c63bd31a3b340c10fe57)
De plus, ce sera une fonction linéaire et homogène par rapport aux déterminants formés avec quatre des quantités
et les quantités
correspondantes.
Je continue, bien entendu, à supposer que
et
sont homogènes
et linéaires par rapport aux produits
On pourra donc déduire de l’expression (12) un invariant intégral
du quatrième ordre.
Il est à remarquer que cet invariant ne devient pas identiquement
nul quand on suppose
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=\mathrm {F} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7ae18f3ab396f85be6de91f112865fc9fc0ab9)
L’expression (12), divisée par 2, se réduit alors à
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi \xi ')\,\mathrm {F} _{1}(\xi ''\xi ''')+\mathrm {F} _{1}(\xi \xi '')\,\mathrm {F} _{1}(\xi '''\xi ')+\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ''')\,\mathrm {F} _{1}(\xi '\xi '').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588b63ed43635c8a5cf1579f644c2bf075ea3b48)
D’un invariant du deuxième ordre on peut donc toujours en
déduire un du quatrième ordre ; par le même procédé, on en
obtiendrait un du sixième ordre ; et, plus généralement, on en
obtiendrait un d’ordre
(
étant un nombre pair quelconque).
248.Soit, en général,
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1},\quad \int \mathrm {F} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28cce407caa5cf9c0b745917712e2474757eb20)
deux invariants quelconques des équations (1), le premier
d’ordre
le second d’ordre ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Je suppose que
et
soient des fonctions linéaires et homogènes,
la première par rapport aux produits de
différentielles
la seconde par rapport aux produits de
différentielles.
Soient
![{\displaystyle \xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9314c2f415d391c9df99699745838b307fa956e2)
solutions des équations (2). Ces solutions satisferont au
système d’équations différentielles
(13)
|
|
|
Soit alors
ce que devient
quand on y remplace chaque
produit de
différentielles par le déterminant correspondant
formé à l’aide des
solutions
![{\displaystyle \xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ead2eebfb38a75e7dc1be92232dafda3d5780a7)
Soit de même
ce que devient
quand on y remplace chaque
produit de
différentielles par le déterminant correspondant
formé à l’aide des
solutions
![{\displaystyle \xi _{i}^{(p+1)},\quad \xi _{i}^{(p+2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70834eb59a03fdea0b52e4a197fcd8b4ae1a738a)
Alors le produit
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}'\mathrm {F} _{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1591e78ded29e446dbe78faed156c7b1da4d7ae5)
sera une intégrale du système (13).
Cela posé, faisons subir aux
lettres
![{\displaystyle \xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a729c1808183125c63331e72563559d389f940)
une permutation quelconque. Le produit
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}''\mathrm {F} _{2}''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360be17a0506545f0e4b12aa5dc173b17d5a88d8)
et ce sera encore là une intégrale du système (13).
Nous affecterons ce produit du signe
si la permutation considérée
appartient au groupe alterné, c’est-à-dire si elle se ramène
à un nombre pair de permutations entre deux lettres.
Nous affecterons, au contraire, le produit du signe
si la permutation
n’appartient pas au groupe alterné, c’est-à-dire si elle se
ramène à un nombre impair de permutations entre deux lettres.
Dans tous les cas, l’expression
(14)
|
|
|
sera une intégrale du système (13).
Nous avons
permutations possibles ; nous obtiendrons
donc
expressions analogues à (14). Mais il n’y en aura que
![{\displaystyle {\frac {(p+q)!}{p!\,q!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fd0b2c12aafc699d62e28d356a279f96f83a77)
qui seront distinctes ; car l’expression (14) ne change pas quand
on permute seulement entre elles les
lettres qui entrent dans
et entre elles, d’autre part, les
lettres qui entrent dans ![{\displaystyle \mathrm {F} _{2}''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee0b28f584ea1859b2c6825234a4ef6fd3776ae)
Faisons maintenant la somme de toutes les expressions (14).
Nous aurons encore une intégrale de système (13). Mais cette
intégrale sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants
d’ordre
que l’on peut former avec les lettres
![{\displaystyle \xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a729c1808183125c63331e72563559d389f940)
On pourra donc en déduire un invariant d’ordre
des équations (1).
Si
et que
soit identique avec
l’invariant ainsi
obtenu sera identiquement nul si
est impair ; mais il n’en sera
plus de même si
est pair ainsi que je l’ai expliqué à la fin du
numéro précédent.
Autres relations entre les invariants et les intégrales.
249.Voyons maintenant comment, de la connaissance d’un certain
nombre d’invariants, on peut déduire celle d’une ou plusieurs
intégrales.
Je suppose d’abord que l’on connaisse deux invariants du
ième ordre
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d966fefa1e01f7feacf88c4bc41f0c6cb3947fca)
et
![{\displaystyle \int \mathrm {M} '\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286927e5f6dd1906e51856528a1b196bc6c689a9)
où
et
sont des fonctions des
je dis que le rapport
sera
une intégrale des équations (1).
En effet, considérons les équations aux variations (2) et soient
![{\displaystyle \xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(n)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aafd27fa5db949f217d4d41013d062e12e9e61d)
solutions quelconques linéairement indépendantes de ces équations.
Ces
solutions satisferont à un système d’équations différentielles,
analogue aux systèmes (6) et (7), que j’appellerai le système
Soit
le déterminant formé à l’aide des
lettres
Alors
et
![{\displaystyle \mathrm {M} '\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907683b29393b73d9280ae3a1e74a198c4cccfe1)
seront des intégrales du système
il en sera donc de même du rapport
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591d6f6c6a2911351bb64e3eb2cecaf9d7b5c0c0)
et comme ce rapport ne dépend que des
et pas des
il devra
être une intégrale des équations (1).
On peut démontrer le même résultat d’une autre manière.
Faisons le changement de variables du no 237. Nos deux invariants
intégraux deviendront
![{\displaystyle \int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3312606ba12ed2f44a58704916d4ae38a592d75)
et
![{\displaystyle \int \mathrm {M'J} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3048c7b766cf979ce02619f9d0413dcf801e5eff)
désignant le jacobien ou déterminant fonctionnel des variables
anciennes
par rapport aux variables nouvelles
![{\displaystyle y_{n-1},\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35aaf98eb3e9d845a184d2ec54a183174267064e)
D’après le no 237,
et
ne doivent dépendre que de
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6417dcf6a67f078b2bcc0c919d25908630b783)
{{SA|il en est donc de même du rapport
et comme toute fonction
des
est une intégrale des équations (1), ce rapport est une intégrale
des équations (1).
C. Q. F. D.
250.On peut varier ce procédé de plusieurs manières.
Soient, par exemple,
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots \quad \int \mathrm {F} _{p}(dx_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a0690a12adbbdce10766aa484bc2c11acd55ac)
invariants linéaires du premier ordre. Supposons que l’on ait
identiquement
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=\mathrm {M} _{2}\mathrm {F} _{2}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {F} _{3}+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {F} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e146b11fc9ec06ca20b67b633e0d5416b7e3cd)
les
dépendant seulement des
et non des différentielles ![{\displaystyle dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193b60190b80267ed42a2813eecd024414c10c92)
Je dis que les
si
seront des intégrales des équations (1).
En effet, soit
le coefficient de
dans
; on devra avoir
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1.k}=\mathrm {M} _{2}\mathrm {A} _{2.k}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {A} _{3.k}+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {A} _{p.k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494307020b71be15cbd68535a58ac77bacf090b1)
Faisons le changement de variables du no 237 ; nos invariants
deviendront
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}'(dx_{i}'),\quad \int \mathrm {F} _{2}'(dx_{i}'),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{p}'(dx_{i}').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f91862ee0761a5fbac467f2b74fb3f2c7d1204)
Si d’ailleurs on pose
![{\displaystyle \mathrm {F} _{i}'={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}'\,dx_{k}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b355dda0b05f7665dcfa6b4b854c45a5830c9f0c)
on devra avoir
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1.k}'=\mathrm {M} _{2}\mathrm {A} _{2.k}'+\mathrm {M} _{3}\mathrm {A} _{3.k}'+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {A} _{p.k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84505615591c74a52d7137c78256319007e6bdb)
Nous aurons là
équations linéaires d’où nous pourrons tirer
les
pourvu que
Or, d’après le no 237, les
ne dépendent que des
et pas
de
il en est donc de même des
ce qui veut dire que les
sont des intégrales des équations (1).
251.Soit maintenant
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d37207f041a3c077b27fca2e1d5cfe3d675b1c)
une intégrale ; il est clair que
![{\displaystyle \int \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\,dx_{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\,dx_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305954506438493f4b7b9453b3735d89b09ddfbe)
sera un invariant intégral du premier ordre.
On peut alors se poser la question suivante :
Considérons un invariant intégral du premier ordre
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c63f8b9f2b074d6b9b66af73b67b3d30e2e5d30)
et supposons que la quantité sous le signe
soit une différentielle
exacte ; quelle relation y aura-t-il entre l’intégrale de cette différentielle
exacte et les intégrales des équations (1) ?
Pour nous en rendre compte, faisons le changement de variables
du no 237 ; notre invariant deviendra
![{\displaystyle \int d\mathrm {U} =\int \left(\mathrm {B} _{1}\,dy_{1}+\mathrm {B} _{2}\,dy_{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n-1}\,dy_{n-1}+\mathrm {C} \,dz\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e0041ada5f07d9bcb3f110c7957d8dc4142647)
Les
et
devront dépendre des
mais pas de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Si cette expression
est une différentielle exacte, la fonction
devra donc être de la forme
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5a0ebaebc3b527e0c955b829487bebe840af5f)
et
étant des intégrales de l’équation (1). On aura alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} }{dt}}=\mathrm {U} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d0f84fd55cf46111f493e7679c841afbd11814)
Or on a, si l’on revient aux anciennes variables ![{\displaystyle x_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5a9bebf6a6fd218e4cf7f5e63dac56d42bcba0)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} }{dt}}={\frac {d\mathrm {U} }{dx_{1}}}\,\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{2}}}\,\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{n}}}\,\mathrm {X} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e9afe3abf6e8fc47bffe52e122a04e8d0a6ef5)
Il résulte de là que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} }{dx_{1}}}\,\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{2}}}\,\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{n}}}\,\mathrm {X} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8b9e46c731b5cc98e9efe55ecda88baed7cf87)
est une intégrale des équations (1). Si cette expression est nulle, on a
![{\displaystyle \mathrm {U} _{1}=0,\qquad \mathrm {U} =\mathrm {U} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022447dffc7c7a9bf3dcb1844300979ba7a1da83)
et
est une intégrale des équations (1).
252.On pourrait multiplier les exemples de ce genre ; je n’en
citerai plus qu’un seul.
Considérons un invariant du premier ordre de la forme
![{\displaystyle \int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}}=\int {\sqrt {\Phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8657bc1391ab90490585d0f99d286d063526bab3)
Soit
le discriminant de la forme quadratique
Faisons le changement de variables du no 237, notre invariant
deviendra
![{\displaystyle \int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}'\,dx_{i}'^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}'\,dx_{i}'\,dx_{k}'}}=\int {\sqrt {\Phi '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c13bc1ac8e91692142d3f9931ecb3a028d2874)
Soit
le discriminant de la forme quadratique
Soit
le jacobien ou déterminant fonctionnel des
par rapport
aux
on aura
![{\displaystyle \Delta '=\Delta \mathrm {J} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5369d9cadaba70231dba3db240b57cd60f1e53f)
D’ailleurs
sera manifestement (comme les
et les
), une
intégrale des équations (1).
Soit, maintenant, un invariant du
ième ordre
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592978600f75a786c913d1dab28d068eceda6b65)
Après le changement de variables du no 237, il deviendra
![{\displaystyle \int \mathrm {MJ} \,dx_{1}'\,dx_{2}'\,\ldots \,dx_{n}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c32a3eb5b2c2e143d2b88bdc59daf3972ee4e1)
et
devra être une intégrale des équations (1).
J’en conclus que
![{\displaystyle {\frac {\Delta '}{\mathrm {M} ^{2}\mathrm {J} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ba0544e4fd76a89a6163caea98c2849d931198)
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\frac {\Delta }{\mathrm {M} ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494aaad4b54e745b5697d25d53e0d8c414098116)
doit être une intégrale des équations (1).
Changements de variables.
253.Quand on change d’une manière quelconque les variables
sans toucher à la variable
qui représente le temps, on
n’a qu’à appliquer aux invariants intégraux les règles ordinaires
du changement de variables dans les intégrales définies simples
ou multiples. C’est ce que nous avons déjà fait plusieurs fois.
Mais quand on change la variable
la difficulté est plus grande.
Il aurait même semblé a priori que cette transformation ne dût
conduire à aucun résultat.
Et en effet : considérons le système
(1)
|
|
|
Introduisons une nouvelle variable
définie par la relation
![{\displaystyle {\frac {dt}{dt_{1}}}=\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3067726a5720d3236f2bb6a4cf849165d4d0add3)
étant une fonction donnée de
![{\displaystyle x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a6a37e6c6d40d0d73ecd90afde62b37df16b75)
Le système (1) deviendra
(2)
|
|
|
Supposons que les valeurs initiales
représentent
les coordonnées d’un certain point
de l’espace à
dimensions.
Si le mouvement de ce point est défini par les équations (1),
représentant le temps, ce point sera, à l’époque
venu en
Si le mouvement est au contraire défini par les équations (2),
représentant le temps, le point
sera, à l’époque
venu
en
Considérons maintenant une figure
occupée à l’instant zéro
par différents points
Si le mouvement et la déformation de cette figure sont définis
par les équations (1), elle sera, à l’époque
devenue une
figure nouvelle
Si le mouvement est défini par les équations (2), la figure
sera,
à l’époque
devenue une figure nouvelle
différente de
Et non seulement
sera différente de
mais elle ne coïncidera
pas non plus, en général, avec une des positions occupées par
à une époque différente de l’époque
Il semble donc que l’on ait profondément altéré les données du
problème et l’on ne doit pas s’attendre à ce que des invariants
de (1) on puisse déduire ceux de (2).
C’est cependant ce qui arrive pour les invariants d’ordre
Faisons le changement de variables du no 237 ; le système (1)
deviendra
(1 bis)
|
|
|
et le système (2)
(2 bis)
|
|
|
doit alors être supposé exprimé en fonctions des
et de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Posons alors
![{\displaystyle z_{1}=\int {\frac {dz}{\mathrm {Z} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6923c09fb87aca3c3c2c60dc19d62a7096439369)
l’intégration se faisant par rapport à
(les
étant regardés comme
des constantes), et à partir d’une origine quelconque pouvant
dépendre des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Le système (2) deviendra
(2 ter)
|
|
|
et aura même forme que (1 bis).
Soit alors
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d966fefa1e01f7feacf88c4bc41f0c6cb3947fca)
un invariant d’ordre
des équations (1) ; par le changement de
variables du no 237, il deviendra
![{\displaystyle \int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3312606ba12ed2f44a58704916d4ae38a592d75)
étant le jacobien des
par rapport aux
et à
devra être
une fonction des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Alors
![{\displaystyle \int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37437db9dc5485ae897a36fa6ee72c491a22440b)
sera un invariant des équations (2 ter) ;
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {MJ} }{\mathrm {Z} }}\,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a40ea330b66093e15010b5391dbddeb0b1b41bb)
sera un invariant des équations (2 bis), et enfin
![{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Z} }}\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d8bc573add8fde0f9a68edc0d7a89a923a512d)
sera un invariant des équations (2).
Remarques diverses.
253 bis. Considérons un système d’équations différentielles
(1)
|
|
|
et leurs équations aux variations
(2)
|
|
|
Supposons que les équations (1) admettent un invariant intégral
du premier ordre
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dx_{i};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099a2f1e6aeb5e8de6418e7bbce73d4fbfd0034f)
l’expression
sera une intégrale des équations (2).
D’autre part, ces équations (2) admettront pour solution
![{\displaystyle \xi _{i}=\varepsilon \,\mathrm {X} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee2af21eab4ec961c72941b77deaee7431cb7cf)
étant une constante infiniment petite quelconque.
En effet, soit
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
une solution quelconque des équations (1) ; si
est une constante
très petite,
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t+\varepsilon )=\varphi _{i}(t)+\varepsilon \,{\frac {dx_{i}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb742c5b9141c83705bb31ff6546952f11348da)
sera encore une solution des équations (1), et
![{\displaystyle \xi _{i}=\varphi _{i}(t+\varepsilon )-\varphi _{i}(t)=\varepsilon \,{\frac {dx_{i}}{dt}}=\varepsilon \mathrm {X} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4adf5c4c778e3993317e66bb2c0bcddad9e7e5b)
sera une solution des équations (2).
Il résulte de là que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\xi _{i}=\varepsilon {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c287088d7a9dc4e8bc7cc03b8b3738fa924c02)
doit être une constante.
Donc
est une intégrale des équations (1).
Supposons maintenant que les équations (1) admettent un invariant
intégral du second ordre
![{\displaystyle \iint {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb63818632d567e794ec22f08cb3249d167e40aa)
Alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af33c8521d6a081bb5ece13545dab73534b9ce4)
sera une intégrale des équations (2) et des équations (2 bis) que
l’on en déduit en changeant les
en ![{\displaystyle \xi _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ed313921bab5be0bd535a066238d5a916c847f)
Faisons-y
![{\displaystyle \xi _{i}'=\varepsilon \,\mathrm {X} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09c57fff1a8f111bf42435fbd7236049d7eab39)
étant une constante. Cela est permis, car
est une
solution de (2 bis).
Alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\mathrm {X} _{k}-\mathrm {X} _{i}\xi _{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca350a4af986f565fcd9f419e866290fa6d0bff)
sera une intégrale de (2) ; ce qui montre que
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\mathrm {X} _{k}\,dx_{i}-\mathrm {X} _{i}\,dx_{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f06f190f8ef4a4e59a3bb2e1fd419ec148100a2)
est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).
Ce procédé permet donc de trouver un invariant d’ordre
quand on en connaît un d’ordre
le procédé peut quelquefois
être illusoire parce que l’invariant ainsi trouvé peut être identiquement nul.
Envisageons maintenant un invariant de la forme suivante
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\,dx_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79411e814d8945321cba2debc465e600d3200420)
où
et
sont des fonctions des
nous rencontrerons dans la
suite des invariants de cette forme.
Alors
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\xi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac71d81bf5f9bd939db8634fd8f5ca9a23f97dfe)
sera une intégrale des équations (2) ; il en résulte que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(\mathrm {A} _{i}+t\mathrm {B} _{i}\right)\mathrm {X} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e506b1e95079393783b32ab7c502867ec8da8353)
doit être une constante.
Soit, pour abréger.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\mathrm {X} _{i}\,;&\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\mathrm {X} _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8c2369512d9186bc2f7d599568a5a937419ce8)
l’expression
![{\displaystyle \Phi +t\Phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c8ac9a8281c339ec4179da7f326f56855a60ef)
doit être une constante, ce qui entraîne la condition
![{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+t\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+\Phi _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76bd9f4e6d75391d91ee3b5ebf0c1b9671e4c2c)
ou bien
(3)
|
|
|
Les
les
les
sont des fonctions ds
Il en est donc
de même de
![{\displaystyle \Phi ,\quad \Phi _{1},\quad \sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i},\quad \sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ec60f60ba9cfed652f84b8ea1e26f07dcde57f)
L’identité (3) ne peut donc avoir lieu que si l’on a identiquement
![{\displaystyle \sum {\frac {d\Phi _{1}}{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464c0b0329f2e8e18a51315e4f94d9e101c1b883)
et
![{\displaystyle \sum {\frac {d\Phi }{dx_{i}}}\,\mathrm {X} _{i}+\Phi _{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f1bb03b71bbf57cddaa0bf1feeb411bbb7488e)
La première de ces relations nous apprend que
est une intégrale des équations (1).
253 ter.Soit
![{\displaystyle \Phi =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b47822c287a5c7e20cde9aeca611d1485982a08)
une intégrale des équations (2) ; la fonction
doit être une forme,
c’est-à-dire un polynôme entier et homogène par rapport aux
dont les coefficients dépendent d’ailleurs des
d’une façon quelconque.
Soit
le degré de ce polynôme. L’expression
![{\displaystyle \int {\sqrt[{m}]{\Phi '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afee577be947e624fe19f73d4865b83d2c4ef7b)
(où
n’est autre chose que
où les
ont été remplacés par les
différentielles
), cette expression, dis-je, sera un invariant
intégral des équations (1).
Cela posé, soit
un invariant quelconque de la forme
Faisons le changement de variables du no 237, les équations (1)
deviendront
(1 bis)
|
|
|
et, si l’on désigne par
et
les variations de
et
les équations
aux variations de (I bis) se réduiront à
![{\displaystyle {\frac {d\eta _{i}}{dt}}={\frac {d\zeta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7a1a4d15eff27e53d8fe10536b64f38d809140)
Avec ces nouvelles variables,
deviendra une forme
entière,
homogène et de degré
par rapport aux
et à
les coefficients
peuvent être des fonctions quelconques des
mais d’après le
théorème du no 237, puisque nous avons affaire à un invariant
intégral, ces coefficients ne peuvent pas dépendre de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Les
sont des fonctions des
et de
et l’on en déduit entre
les variations les relations suivantes
(4)
|
|
|
Les
sont donc des fonctions linéaires des
et de
et le déterminant de ces équations linéaires (4) n’est autre chose que le jacobien
des
par rapport à
et à
jacobien que j’appelle ![{\displaystyle \mathrm {J} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaba700503d638cb69b5402d318275ddbea26c90)
On passe ainsi de la forme
à la forme
par la substitution
linéaire (4) dont le déterminant est
Soit
l’invariant de
qui correspond à l’invariant
de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {I} =\mathrm {I} _{0}\mathrm {J} ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6c8ecfee68d072145b55f54b719659c6c07c44)
étant le degré de l’invariant.
Mais
est une fonction des coefficients de
et, par conséquent,
une fonction des
indépendante de
c’est donc une
intégrale des équations (1).
Soit
le dernier multiplicateur des équations (1) de telle façon
que l’on ait
![{\displaystyle \sum {\frac {d\mathrm {MX} _{i}}{dx_{i}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39da7c020794a8d979e640f882adb1e6b023d8c9)
et que
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d380f1820f7430a968c5ef14fa6f1c1f6233eba)
soit un invariant intégral d’ordre ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Nous avons vu au no 252 que
sera une intégrale des équations (1).
Donc
![{\displaystyle \mathrm {I} _{0}\left(\mathrm {MJ} \right)^{p}=\mathrm {IM} ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8243e21fc997560d4f3075c2b7a19630402ef8)
sera une intégrale des équations (1). À chaque invariant de la
forme
correspond donc une intégrale de ces équations.
Soit maintenant
un covariant de la forme
de degré
par
rapport aux coefficients de
et
par rapport aux variables
Si
est le covariant correspondant de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}\mathrm {J} ^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5667a58e7484c934a96df5de1ec9bf945ce6aa8)
Les coefficients de
sont des fonctions des coefficients de
ils sont donc indépendants de
il en est de même de ceux de
![{\displaystyle \mathrm {C} _{0}\left(\mathrm {MJ} \right)^{p}=\mathrm {CM} ^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10785520584858704669d45804541c9d152da1e6)
Donc
est une intégrale des équations (2) ; donc
![{\displaystyle \int {\sqrt[{q}]{\mathrm {C'M} ^{p}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bdfddc2c4b8a880f6d26b49bca19545ae9eb52)
où
n’est autre chose que
où les
ont été remplacés par
est un invariant intégral des équations (1).
Voilà donc un moyen de former un grand nombre d’invariants
intégraux ; le cas particulier où
est nul (c’est-à-dire le cas des
invariants ou covariants dits absolus) mérite d’attirer l’attention ;
si
par exemple, est un covariant absolu de
![{\displaystyle \int {\sqrt[{q}]{\mathrm {C'} ^{p}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bcc8e15c2eeb657e7263d6487d85f5d3106ad1f)
sera un invariant intégral des équations (1). On peut donc former
un nouvel invariant intégral sans connaître le dernier multiplicateur ![{\displaystyle \mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1688d03c31d091e6090c3c8e5e0f47a4c2802191)
Le même procédé s’applique aux invariants intégraux d’ordre
supérieur. Soit, par exemple, un invariant intégral du second ordre
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1610f1928ebefcd6e4050f1ef7b4b9ae0528a6cd)
À cet invariant intégral se rattache la forme bilinéaire
![{\displaystyle \Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93ef59619bf9bcce347295151adb03f9bfade16)
qui est une intégrale des équations (2) et (2 bis).
Tout invariant ou covariant de cette forme, multiplié par une
puissance convenable de
sera une intégrale des équations (2),
(2 bis) et donnera, par conséquent, naissance à un nouvel invariant
intégral.
De même, si l’on a un système d’invariants intégraux, on en
déduira un système de formes analogues à
et qui seront des
intégrales des équations (2), (2 bis). À tout invariant de ce système
de formes correspondra une intégrale des équations (1) ; à
tout covariant de ce système de formes correspondra un invariant
intégral des équations (1).
Soient, par exemple,
et
deux formes quadratiques par
rapport aux
et
ce qu’elles deviennent quand on y remplace
les
par les différentielles
Supposons que
et
soient des intégrales de (2) et que, par conséquent,
![{\displaystyle \int {\sqrt {\mathrm {F} '}},\quad \int {\sqrt {\mathrm {F} _{1}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d3c37ceb6cac95587d4d718140b2aad09ac79c)
soient des invariants intégraux de (1).
Considérons la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} -\lambda \mathrm {F} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d604da0587dbb08e48b056322ea7adb85ba81225)
où
est une indéterminée. En écrivant que le discriminant de
cette forme est nul, nous obtiendrons une équation algébrique de
degré
en
dont les
racines seront évidemment des invariants
absolus du système de formes
Ce seront donc des intégrales
des équations (1).
Mais ce n’est pas tout ; soient
ces racines,
et
pourront se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {F} \;&=\lambda _{1}&&\mathrm {A} _{1}^{2}&{}+&{}\lambda _{2}&&\mathrm {A} _{2}^{2}&{}+&{}\ldots +\lambda _{n}&&\mathrm {A} _{n}^{2},\\\mathrm {F} _{1}&=&&\mathrm {A} _{1}^{2}&{}+&{}&&\mathrm {A} _{2}^{2}&{}+&{}\ldots +&&\mathrm {A} _{n}^{2},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eba0b2c320b4fe0ed03ad2b43ec1893c8e428c)
étant des formes linéaires que l’on peut déterminer
par des opérations purement algébriques.
peuvent être regardés comme des covariants de
degré zéro du système
de sorte que
![{\displaystyle \int \mathrm {A} _{1}',\quad \int \mathrm {A} _{2}',\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {A} _{n}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242a43f3f6bfdb5df947ba49cfac9f524b4f9fc5)
sont des invariants intégraux des équations (1), si l’on désigne
par
ce que devient
quand on y remplace les
par les différentielles ![{\displaystyle dx_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff0d869d200c671f06706fd6e83870e7986236a)
Il y aurait exception pourtant si l’équation en
avait des
racines multiples. Si, par exemple,
était égal à
on ne pourrait
plus affirmer que
![{\displaystyle \int \mathrm {A} _{1}',\quad \int \mathrm {A} _{2}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0619372a97abef76ff8ae490d8938482e47ca3dd)
sont des invariants intégraux, mais seulement que
![{\displaystyle \int {\sqrt {\mathrm {A} _{1}'^{2}+\mathrm {A} _{2}'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f14d3fa1c605c1f95785b52c2ce42b291430944)
est un invariant intégral.
Soient maintenant
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k},\quad \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5dde2a6d30c5046d90e3b2dfc00af9c3cea6c0e)
deux invariants intégraux du second ordre. Les deux formes bilinéaires
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)\\\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23df12aa1e31789b5daa7e9e3794d2ecc4137047)
seront des intégrales de (2) et (2 bis).
Le cas le plus intéressant est celui où
est pair ; soit donc
Considérons la forme
![{\displaystyle \Phi -\lambda \Phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2f1b57bcbbb0e83fea41f9f5fb0d62d067d676)
et égalons son déterminant à 0. Nous aurons une équation algébrique
en
de degré
mais le premier membre de cette
équation est un carré parfait, de sorte qu’elle se réduit à une
équation d’ordre
Les
racines
![{\displaystyle \lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c79e5de0f91f577c82e71d8f50ebe680a7e21a)
seront, pour la même raison que plus haut, des intégrales des
équations (1).
Maintenant
et
pourront se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &=\sum _{i=1}^{i=m}\lambda _{i}\left(\mathrm {P} _{i}\mathrm {Q} _{i}'-\mathrm {Q} _{i}\mathrm {P} _{i}'\right)\\\Phi _{1}&={\textstyle \sum }\left(\mathrm {P} _{i}\mathrm {Q} _{i}'-\mathrm {Q} _{i}\mathrm {P} _{i}'\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda50a55d563627c597d92acd202cca163bc8ff3)
les
et les
étant
polynômes linéaires par rapport aux
et les
et les
étant les mêmes polynômes où les
ont été
remplacés par les ![{\displaystyle \xi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578fdcc28ae09d6ef46527bb6149ad1e3f08561d)
Alors les expressions
![{\displaystyle \mathrm {P} _{1}\mathrm {Q} _{1}'-\mathrm {Q} _{1}\mathrm {P} _{1}',\quad \mathrm {P} _{2}\mathrm {Q} _{2}'-\mathrm {Q} _{2}\mathrm {P} _{2}',\quad \ldots ,\quad \mathrm {P} _{m}\mathrm {Q} _{m}'-\mathrm {Q} _{m}\mathrm {P} _{m}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766fef56d50716d1d81ca27b72426fc0a0c6290b)
seront des covariants du système
et par conséquent des
intégrales de (2), (2 bis) auxquelles correspondront des invariants intégraux.
Il y aurait exception si l’équation en
avait des racines
multiples.
Si l’on avait, par exemple,
![{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1ea91c1365037d133ecc585c552b617fe7d2d8)
on ne pourrait plus affirmer que les deux expressions
![{\displaystyle \mathrm {P} _{1}\mathrm {Q} _{1}'-\mathrm {P} _{1}'\mathrm {Q} _{1},\quad \mathrm {P} _{2}\mathrm {Q} _{2}'-\mathrm {P} _{2}'\mathrm {Q} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e09078cb24413fded0632c7ff63921864b7f7d)
sont des intégrales de (2), (2 bis) mais seulement que leur somme
![{\displaystyle \mathrm {P} _{1}\mathrm {Q} _{1}'-\mathrm {P} _{1}'\mathrm {Q} _{1}+\mathrm {P} _{2}\mathrm {Q} _{2}'-\mathrm {P} _{2}'\mathrm {Q} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8c05a0f1ad4b0d45d063f5735476d3e7b93cc0)
est une intégrale de (2), (2 bis).