CHAPITRE XXII.
INVARIANTS INTÉGRAUX.
Mouvement d’un fluide permanent.
233.Pour bien faire comprendre l’origine et la portée de la
notion des invariants intégraux, je crois utile de commencer par
l’étude d’un exemple particulier emprunté à une application physique.
Considérons un fluide quelconque, et soient les trois
composantes de la vitesse de la molécule, qui, à l’instant a pour
coordonnées
Nous regarderons comme des fonctions de et
nous supposerons que ces fonctions sont données.
Si sont indépendants de et ne dépendent que de
et on dit que le mouvement du fluide est permanent. Nous
supposerons que cette condition est remplie.
La trajectoire d’une molécule quelconque du fluide est alors
une courbe qui est définie par l’équation différentielle
(1)
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Si l’on savait intégrer ces équations, on en tirerait
de sorte que et seraient exprimés en fonction du temps
et de leurs valeurs initiales
Connaissant la position initiale d’une molécule, on en déduirait
ainsi la position de cette même molécule au temps
Considérons des molécules fluides dont l’ensemble forme à
l’origine des temps une certaine figure quand ces molécules
se déplaceront, leur ensemble formera une nouvelle figure qui ira
en se déformant d’une manière continue, et à l’instant l’ensemble
des molécules envisagées formera une nouvelle figure
Nous supposerons que le mouvement du fluide est continu,
c’est-à-dire que sont des fonctions continues de
il existe alors entre les figures et certaines relations que la
continuité rend évidentes.
Si la figure est une courbe ou une surface continue, la
figure sera une courbe ou une surface continue.
Si la figure est un volume simplement connexe, la figure
sera un volume simplement connexe.
Si la figure est une courbe ou une surface fermée, il en sera
de même de la figure
Examinons en particulier le cas des liquides ; c’est celui où le
fluide est incompressible, c’est-à-dire où le volume d’une masse
fluide est invariable.
Supposons alors que la figure soit un volume, au bout du
temps la masse fluide qui remplissait ce volume occupera un
volume différent qui ne sera autre chose que la figure
Le volume de la masse fluide n’a pas dû changer ; donc et
ont même volume : c’est ce que l’on peut écrire
(2)
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la première intégrale est étendue au volume et l’autre au volume
Nous dirons alors que l’intégrale
est un invariant intégral.
On sait que la condition d’incompressibilité peut s’exprimer
par l’équation
(3)
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Les deux équations (2) et (3) sont donc équivalentes.
Revenons au cas des gaz, c’est-à-dire au cas où le volume d’une
masse fluide est variable ; c’est alors la masse qui demeure invariable,
de sorte que si l’on appelle la densité du gaz on aura
(4)
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La première intégrale est étendue au volume la seconde au
volume En d’autres termes, l’intégrale
est un invariant intégral.
Dans ce cas, le mouvement étant permanent, l’équation de
continuité s’écrit
(5)
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Les conditions (4) et (5) sont donc encore équivalentes.
234.Un second exemple nous est fourni par la théorie des
tourbillons de Helmholtz.
Supposons que la figure soit une courbe fermée, il en sera
de même de la figure
Supposons que le fluide, compressible ou non, soit à une température
constante et ne soit soumis qu’à des forces admettant
un potentiel ; il faut alors, pour que le mouvement reste permanent,
que satisfassent à certaines conditions qu’il est
inutile de développer ici.
Supposons-les remplies.
Cela posé, considérons l’intégrale
Elle aura, comme nous l’apprend le théorème de Helmholtz, même
valeur le long de la courbe et le long de la courbe
En d’autres termes, cette intégrale est un invariant intégral.
Définition des invariants intégraux.
235.Dans les exemples que je viens de citer on est facilement
conduit, par la nature même de la question, à la considération
des invariants intégraux.
Mais il est clair que l’on peut employer ces invariants en en
généralisant la définition dans des cas beaucoup plus étendus où
l’on ne pourrait plus leur attribuer une signification physique
aussi simple.
Considérons des équations différentielles de la forme
(1)
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étant des fonctions données de
Si l’on savait les intégrer on en tirerait en fonction de
et de leurs valeurs initiales
Si nous regardons comme représentant le temps et
comme représentant les coordonnées d’un point mobile dans
l’espace, les équations (1) définiront les lois du mouvement de
ce point mobile.
Les mêmes équations une fois intégrées nous feraient connaître
la position du point au temps connaissant sa position initiale
dont les coordonnées sont
Si l’on considère des points mobiles suivant la même loi et
dont l’ensemble forme à l’origine des temps une figure l’ensemble
de ces mêmes points formera à l’instant une autre
figure qui sera une ligne, une surface ou un volume suivant
que la figure sera elle-même une ligne, une surface ou un
volume.
Considérons alors une intégrale simple
(2)
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où sont des fonctions connues de et il peut
arriver que si est une ligne, cette intégrale (2) étendue à tous
les éléments de la ligne soit une constante indépendante du
temps et soit égale par conséquent à la valeur de cette même
intégrale étendue à tous les éléments de la ligne
Supposons maintenant que et soient des surfaces et envisageons
l’intégrale double
(3)
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où sont des fonctions de et Il peut arriver que
cette intégrale ait la même valeur, qu’on l’étende à tous les éléments
de la surface ou à tous ceux de la surface
Imaginons maintenant que et soient des volumes et envisageons
l’intégrale triple
(4)
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étant une fonction de il peut arriver qu’elle ait même
valeur pour et pour
Dans ces différents cas, nous dirons que les intégrales (2), (3)
ou (4) sont des invariants intégraux.
Il arrivera quelquefois que l’intégrale simple (2) n’aura la même
valeur pour les lignes et que si ces deux courbes sont fermées ;
ou bien que l’intégrale double (3) n’aura la même valeur pour les
surfaces et que si ces deux surfaces sont fermées.
Nous dirons alors que (2) est un invariant intégral par rapport aux courbes fermées
et que (3) est un invariant intégral par rapport aux surfaces fermées.
236.La représentation géométrique dont nous avons fait usage
ne joue évidemment aucun rôle essentiel ; nous pouvons la laisser
de côté et rien n’empêchera plus d’étendre les définitions précédentes
au cas où le nombre des variables est plus grand que trois. Considérons alors les équations
(1)
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où sont des fonctions données de
si l’on savait les intégrer, on connaîtrait en fonctions
de et de leurs valeurs initiales Nous pouvons,
pour conserver le même langage, appeler point le système de
valeurs et point le système de valeurs
Considérons un ensemble de points formant une variété
et l’ensemble des points correspondants formant une autre
variété [1].
Nous supposerons que et sont des variétés continues à
dimensions où
Considérons alors une intégrale d’ordre
(2)
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où est une fonction de et où est le produit
de différentielles prises parmi les différentielles
Il peut se faire que cette intégrale ait même valeur pour les
deux variétés et Nous dirons alors que c’est un
invariant intégral.
Il peut arriver aussi que cette intégrale ait même valeur pour
les deux variétés et mais seulement à la condition que ces
deux variétés soient fermées. C’est alors un invariant intégral
par rapport aux variétés fermées.
On peut encore imaginer d’autres espèces d’invariants intégraux.
Supposons, par exemple, que et que et se réduisent à des lignes ; il peut arriver que l’intégrale
ait même valeur pour et et soit invariant intégral ; mais il
peut arriver aussi que l’intégrale
où les et les sont comme les des fonctions de
il peut arriver, dis-je, que cette intégrale ait même valeur pour
et et il serait facile d’imaginer d’autres exemples analogues.
Le nombre s’appellera l’ordre de l’invariant intégral.
Relations entre les invariants et les intégrales.
237.Reprenons le système
(1)
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Si l’on savait l’intégrer, on saurait former tous ses invariants intégraux.
Si en effet l’intégration était effectuée, on pourrait en mettre le
résultat sous la forme
(2)
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étant des constantes arbitraires, les et étant
des fonctions données des
Changeons de variables en prenant pour variables nouvelles,
au lieu des les et
Considérons alors un invariant intégral quelconque ; cet invariant
devra contenir sous le signe qui sera répété fois si
l’invariant est d’ordre il devra contenir, dis-je, une certaine expression, fonction des et de leurs différentielles Après le
changement des variables, cette expression deviendra une fonction
des de et de leurs différentielles et
Pour passer d’un point de la figure au point correspondant
de la figure il faut, sans changer les changer en
Donc, en passant d’un arc infiniment petit de à l’arc correspondant
de les différentielles et ne changent pas (la
quantité qu’on ajoute à est en effet la même pour les deux
extrémités de l’arc) ; enfin, si l’on considère une figure infiniment
petite d’un nombre quelconque de dimensions et la figure correspondante
un produit d’un nombre (égal à celui des dimensions
de et ) de différentielles ou ne changera pas non
plus quand on passera d’une figure à l’autre.
En résumé, pour qu’une expression soit un invariant intégral,
il faut et il suffit que n’y figure pas ; les les et
peuvent y figurer d’une manière quelconque.
Considérons une expression de même forme que celle que nous
avons envisagée dans le paragraphe précédent
(3)
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cette expression représente une intégrale d’ordre est une
fonction de est un produit de différentielles
prises parmi les différentielles
Nous voulons savoir si c’est un invariant intégral ; faisant le
changement de variables indiqué plus haut, l’expression (3)
deviendra
est une fonction des et de est un produit de
différentielles prises parmi les différentielles
Pour que l’expression (3) soit un invariant intégral, il faut et il
suffit que tous les soient indépendants de et ne dépendent
que des
Reprenons de même, comme dans le numéro précédent,
l’expression
(4)
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les et les étant des fonctions des
Après le changement de variables, cette expression deviendra
j’ai posé, pour plus de symétrie dans les notations,
Pour que l’expression (4) soit un invariant intégral, il faut et
il suffit que tous les et les soient indépendants de et ne
dépendent que de
Invariants relatifs.
238.Nous sommes conduits maintenant à chercher à former
les invariants intégraux relatifs aux variétés fermées. Supposons
d’abord et cherchons quelle est la condition pour que l’intégrale simple
(1)
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soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.
Faisons le changement de variables indiqué plus haut, notre
intégrale deviendra
ce que je puis encore écrire, en reprenant la notation plus symétrique
de la fin du numéro précédent,
(1 bis)
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Cette intégrale simple, étendue à une variété fermée à une dimension,
c’est-à-dire à une ligne fermée, peut être transformée par le théorème de Stokes en une intégrale double étendue à une variété
non fermée à deux dimensions, c’est-à-dire à une surface non fermée ; on a
(2)
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Mais l’intégrale du second membre de (2) doit être un invariant
intégral absolu et non seulement par rapport aux variétés fermées.
Nous conclurons donc ceci :
Pour que (1) soit un invariant intégral par rapport aux
lignes fermées, il faut et il suffit que les binômes
soient tous indépendants de
De même et plus généralement soit
(3)
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une expression intégrale d’ordre de même forme d’ailleurs que
celles qui ont été envisagées dans les numéros précédents ; nous
voulons savoir si c’est un invariant intégral par rapport aux
variétés fermées d’ordre
Nous supposons cette intégrale étendue à une variété fermée
quelconque d’ordre un théorème analogue à celui de Stokes
nous apprendra alors qu’elle peut être transformée en une intégrale
d’ordre étendue à une variété quelconque, fermée ou
non, d’ordre L’intégrale transformée s’écrit
(4)
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On prend toujours le signe si est pair et alternativement
le signe et le signe si est impair. [Je renverrai pour plus
de détails à mon Mémoire sur les résidus des intégrales doubles
(Acta Mathematica, tome viii), et à mon Mémoire du Cahier du
Centenaire du Journal de l’École Polytechnique.]
La condition nécessaire et suffisante pour que (3) soit un invariant intégral d’ordre par rapport aux variétés fermées, c’est
que (4) soit un invariant intégral absolu d’ordre
239.Reprenons l’expression (1) du numéro précédent et supposons
que ce soit un invariant relatif, je veux dire un invariant
intégral par rapport aux lignes fermées.
Amenons-la à la forme (1 bis) par notre changement de variables
Soit un point de
ses coordonnées (avec les nouvelles variables).
Soit le point correspondant de
ses coordonnées. Les seront des fonctions des et de mais
je mettrai en évidence, en écrivant sous la forme
Nous aurons alors, si la ligne est fermée,
ce qui veut dire que l’expression
(3)
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est une différentielle exacte que je pose égale à la fonction
dépendra non seulement des et de mais encore de
Pour elle doit se réduire à une constante.
Si nous supposons infiniment petit et que nous appelions
la dérivée de par rapport à l’expression (3) se réduit à
L’expression
(4)
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est alors une différentielle exacte que je pose égale à La fonction
ainsi définie dépendra des et de mais ne dépendra
plus de Je mettrai encore en évidence en écrivant il vient alors
étant une fonction arbitraire de
Or peut être regardé comme la dérivée par rapport à
d’une autre fonction dépendant aussi des et l’on aura
Comme d’autre part doit se réduire à une constante pour
nous conclurons finalement
désignant une fonction arbitraire de seulement que l’on
pourrait d’ailleurs supposer nulle sans restreindre essentiellement
la généralité.
On trouve alors
étant indépendant de de sorte que l’expression (1 bis) se
réduit à
la première intégrale étant celle d’une différentielle exacte et la
seconde étant un invariant intégral absolu.
240.Traitons de même un invariant relatif d’ordre supérieur
au premier ; soit
cet invariant qui, après le changement de variables, deviendra
L’intégrale
(1)
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devra être nulle quelle que soit la variété fermée d’ordre à
laquelle on l’étende.
Elle devra donc satisfaire à certaines « conditions d’intégrabilité »
analogues à celles qui expriment qu’une différentielle
totale du premier ordre est une différentielle exacte.
Considérons maintenant une variété de dimensions, mais
non fermée et limitée par une variété de dimensions qui
lui servira de frontière.
L’intégrale (1), étendue à la variété ne sera pas nulle, mais si
on la calcule pour d’autres variétés analogues etc., ayant
même frontière , on trouvera la même valeur, c’est-à-dire que
la valeur de l’intégrale (1) ne dépend que de la frontière
Elle est égale à une intégrale d’ordre p-1,
(2)
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étendue à la variété et où désigne un produit quelconque
de différentielles pendant que est une fonction des
de et de
Cette intégrale (2) est évidemment une fonction de dépendant
en outre de la variété Considérons sa dérivée par rapport à
on aura
Cette dérivée, comme le montre sa dernière expression, ne change
pas quand on y change en et quand, en même temps, on
transforme (ou ) en y changeant partout en
On en conclut que est de la forme suivante
étant une fonction de
L’intégrale
(3)
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est d’ordre mais on peut la transformer facilement en une
intégrale d’ordre il suffit d’appliquer la transformation qui,
dans le no 238, nous a permis de passer de l’intégrale (3) à l’intégrale (4), et qui est inverse de celle par laquelle, dans le présent
numéro, nous avons passé de l’intégrale (1) à l’intégrale (2).
L’intégrale (3), étendue à la variété est donc égale à l’intégrale
d’ordre
(4)
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étendue à la variété
Nous dirons, par analogie avec la terminologie consacrée pour
les intégrales simples, que l’intégrale (4) est une intégrale de
différentielle exacte. Et en effet :
1o Elle est nulle pour toute variété fermée ;
2o Elle est réductible à une intégrale d’ordre moindre.
Cela posé, on aura
les intégrales sont étendues à la variété
Mais cette égalité peut encore s’écrire
et elle est vraie pour une variété quelconque.
Cela veut dire que
est un invariant intégral absolu.
Nous arrivons donc au résultat suivant :
Tout invariant intégral relatif est la somme d’une intégrale
de différentielle exacte et d’un invariant intégral absolu.
241.Nous avons vu au no 238 comment, d’un invariant relatif
d’ordre on pouvait déduire un invariant absolu d’ordre
Le même procédé est évidemment applicable aux invariants
absolus, de sorte qu’on pourrait être tenté de l’appliquer de
proche en proche et de construire successivement des invariants
d’ordre
Mais on serait promptement arrêté dans cette voie.
Il y a un cas en effet où le procédé en question est illusoire,
c’est celui où l’invariant que l’on veut transformer est une intégrale
de différentielle exacte. L’invariant intégral auquel conduirait
la transformation serait alors identiquement nul.
Si maintenant on transforme un invariant d’ordre on obtient
un invariant d’ordre mais cet invariant est une intégrale de
différentielle exacte, de sorte que si l’on veut le transformer de
nouveau, on tombe sur un résultat identiquement nul.
Relation entre les invariants et l’équation aux variations.
242.Reprenons le système
(1)
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Nous pouvons former les équations aux variations correspondantes
telles qu’elles ont été définies au début du Chapitre IV.
Pour former ces équations, on change dans les équations (1)
en et l’on néglige les carrés des on trouve ainsi le
système d’équations linéaires
(2)
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Il y a, entre les intégrales des équations (2) et les invariants intégraux
des équations (1), un lien intime qu’il est aisé d’apercevoir.
Soit
une intégrale quelconque des équations (2). Ce sera une fonction
homogène par rapport aux et dépendant d’ailleurs des d’une
manière quelconque. Je pourrai toujours supposer que cette fonction
est homogène de degré 1 par rapport aux car s’il n’en
était pas ainsi, je n’aurais qu’à élever à une puissance convenable
pour trouver une fonction homogène du degré 1.
Considérons maintenant l’expression
(3)
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je dis que c’est un invariant intégral du système (1).
J’observe d’abord que la quantité sous le signe
est un infiniment petit du premier ordre, puisque
sont des infiniment petits du premier ordre et que est
homogène du premier ordre par rapport à ces quantités.
L’intégrale simple (3) est donc finie.
Cela posé, supposons d’abord que la figure se réduise à une
ligne infiniment petite, dont les extrémités aient pour coordonnées
L’intégrale (3) se réduira à un seul élément et sera par conséquent égale à
Cette expression étant une intégrale des équations (2) demeurera
constante et aura même valeur pour la ligne et pour la ligne
Si maintenant la ligne et par conséquent la ligne sont finies,
nous décomposerons la ligne en parties infiniment petites. L’intégrale (3),
étendue à l’une de ces parties infiniment petites de
sera égale à l’intégrale (3), étendue à la partie infiniment petite
correspondante de L’intégrale étendue à la ligne tout entière
sera égale à l’intégrale étendue à la ligne tout entière.
Donc l’intégrale (3) est un invariant intégral.
C. Q. F. D.
Réciproquement, supposons que (3) soit un invariant intégral
du premier ordre, je dis que
sera une intégrale des équations (2).
En effet, l’intégrale (3) doit être la même pour la ligne et
pour la ligne quelles que soient ces lignes, et en particulier,
si se réduit à un élément infiniment petit dont les extrémités
ont pour coordonnées
et
L’intégrale (3) se réduit alors, comme nous l’avons vu, à
(4)
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Comme l’intégrale est un invariant, cette expression (4) doit être
constante.
C’est donc une intégrale des équations (2).
C. Q. F. D.
Ainsi, à chaque invariant intégral du premier ordre des équations (1)
correspond une intégrale des équations (2) et réciproquement.
243.Voyons maintenant à quoi correspondent les invariants
d’ordre supérieur au premier.
Considérons deux solutions particulières quelconques des équations (2) ; soient
(5)
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ces deux solutions.
Il peut exister des fonctions
qui dépendent à la fois des des et des et qui, quelles que
soient les deux solutions choisies, se réduisent à des constantes
indépendantes du temps.
En d’autres termes, la fonction sera une intégrale du système
(6)
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auquel satisfont les et les
Faisons une hypothèse plus particulière et supposons que
soit de la forme
les étant fonctions des seulement.
Je dis alors que l’intégrale double
est un invariant intégral des équations (1).
Supposons, en effet, que la figure se réduise à un parallélogramme
infiniment petit dont les sommets ont pour coordonnées
les valeurs pour de
La figure sera aussi assimilable à un parallélogramme infiniment
petit dont les sommets auront pour coordonnées les valeurs
pour de
L’intégrale se réduira à un seul élément qui aura précisément
pour valeur
et, comme cette expression est par hypothèse une intégrale du
système (6), elle aura même valeur pour les deux figures et
Supposons maintenant que et soient deux surfaces finies ;
décomposons en parallélogrammes infiniment petits à chacun
desquels correspondra un parallélogramme élémentaire de La
valeur de est donc la même pour chaque élément de et pour
l’élément correspondant de elle est donc la même encore pour
la surface entière et pour la surface entière.
L’intégrale est donc un invariant intégral.
C. Q. F. D.
La réciproque se démontrerait comme au numéro précédent.
244.Le théorème est évidemment général et s’applique aux invariants
d’ordre supérieur à deux. Énonçons-le encore pour ceux
d’ordre trois. Considérons trois solutions particulières des équations (2),
ces trois solutions devront satisfaire au système
(7)
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Si le système (7) admet une intégrale de la forme
(8)
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où les sont fonctions des l’intégrale triple
(9)
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sera un invariant intégral des équations (1) et réciproquement.
245.Les invariants étant ainsi ramenés aux intégrales de
l’équation aux variations, on trouve facilement un très grand
nombre de procédés qui permettent de transformer ces invariants.
Si l’on connaît un certain nombre d’invariants intégraux des équations
(1)
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on déduira de chacun d’eux une intégrale des équations aux
variations
(2)
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|
En combinant entre elles ces diverses intégrales, on obtiendra
une nouvelle intégrale des équations (2), d’où l’on déduira un
nouvel invariant des équations (1).
Commençons par étudier le cas des invariants de premier ordre.
Soient
un certain nombre d’intégrales des équations (1), ces intégrales
seront des fonctions des seulement.
Soient maintenant
invariants intégraux du premier ordre de ces mêmes équations (1).
Les fonctions sous le signe
dépendront des et de leurs différentielles Elles pourront
dépendre des d’une manière quelconque ; mais par rapport aux
différentielles
elles devront être homogènes et du premier ordre.
Alors
seront des intégrales des équations (2) et seront homogènes et du
premier ordre par rapport aux
Soit maintenant
une fonction des et des dépendant des d’une manière quelconque,
mais homogène et du premier ordre par rapport aux
Alors
sera une nouvelle intégrale des équations (2) ; de plus ce sera une
fonction homogène et du premier ordre par rapport aux
Il en résulte que
est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).
On aurait pu arriver tout aussi facilement au même résultat
en transformant les invariants par le changement des variables
du no 237.
Par exemple
et
seront des invariants intégraux.
246.Le même calcul peut s’appliquer aux invariants d’ordre
plus élevé.
Soient encore
intégrales des équations (1), et
invariants intégraux du second ordre. Les seront des fonctions
des et des produits de différentielles
Elles seront homogènes et du premier ordre par rapport à ces
produits.
Alors
seront des intégrales du système (6).
Si alors
est une fonction quelconque des et des homogène du premier
ordre par rapport aux l’expression
sera une intégrale des équations (6) ; elle sera de plus homogène
et du premier ordre par rapport aux déterminants
Il en résulte que l’intégrale double
sera un invariant intégral du second ordre des équations (1).
247.Nous avons ainsi le moyen, connaissant plusieurs invariants
du même ordre, de les combiner de façon à obtenir d’autres
invariants du même ordre.
Le même procédé permet, connaissant plusieurs invariants du
même ordre, d’obtenir de nouveaux invariants d’ordre différent.
Soient, par exemple,
deux invariants intégraux du premier ordre ; je suppose, ce qui
est le cas le plus général, que et sont des fonctions linéaires
et homogènes des différentielles
Les expressions
seront homogènes et du premier ordre par rapport aux et ce
seront des intégrales des équations (2).
De même
seront des intégrales des équations (6).
Il en résulte que
(10)
|
|
|
sera une intégrale du système (6).
Comme et sont linéaires par rapport aux on aura
Il en résulte que l’expression (10), qui d’ailleurs change de
signe quand on permute les et les ne change pas quand on
change en
Nous en conclurons que cette expression (10) est une fonction
linéaire et homogène des déterminants
les coefficients dépendant des seulement, mais non des et des
De cette expression (10) on pourra donc déduire un invariant
intégral du deuxième ordre des équations (1).
Soient maintenant
deux invariants intégraux des équations (1), le premier du premier
ordre et le second du deuxième ordre. Je supposerai que et
sont des fonctions linéaires et homogènes, la première par rapport
aux différentielles la seconde par rapport aux produits
produits
Les fonctions
seront des intégrales du système (6).
L’expression
(11)
|
|
|
sera une intégrale du système (7).
Il est aisé, d’autre part, de vérifier qu’elle sera linéaire et homogène
par rapport aux déterminants
On pourra donc en déduire un invariant intégral du troisième ordre.
Soient maintenant
deux invariants de deuxième ordre des équations (1).
Nous en déduirons deux intégrales des équations (6), à savoir
ce que je pourrai écrire, pour abréger,
Alors l’expression
(12)
|
|
|
sera une intégrale du système obtenu en adjoignant aux équations (7) les équations
De plus, ce sera une fonction linéaire et homogène par rapport aux déterminants formés avec quatre des quantités et les quantités
correspondantes.
Je continue, bien entendu, à supposer que et sont homogènes
et linéaires par rapport aux produits
On pourra donc déduire de l’expression (12) un invariant intégral
du quatrième ordre.
Il est à remarquer que cet invariant ne devient pas identiquement
nul quand on suppose
L’expression (12), divisée par 2, se réduit alors à
D’un invariant du deuxième ordre on peut donc toujours en
déduire un du quatrième ordre ; par le même procédé, on en
obtiendrait un du sixième ordre ; et, plus généralement, on en
obtiendrait un d’ordre ( étant un nombre pair quelconque).
248.Soit, en général,
deux invariants quelconques des équations (1), le premier
d’ordre le second d’ordre
Je suppose que et soient des fonctions linéaires et homogènes,
la première par rapport aux produits de différentielles
la seconde par rapport aux produits de différentielles.
Soient
solutions des équations (2). Ces solutions satisferont au
système d’équations différentielles
(13)
|
|
|
Soit alors ce que devient quand on y remplace chaque
produit de différentielles par le déterminant correspondant
formé à l’aide des solutions
Soit de même ce que devient quand on y remplace chaque
produit de différentielles par le déterminant correspondant
formé à l’aide des solutions
Alors le produit
sera une intégrale du système (13).
Cela posé, faisons subir aux lettres
une permutation quelconque. Le produit deviendra
et ce sera encore là une intégrale du système (13).
Nous affecterons ce produit du signe si la permutation considérée
appartient au groupe alterné, c’est-à-dire si elle se ramène
à un nombre pair de permutations entre deux lettres.
Nous affecterons, au contraire, le produit du signe si la permutation
n’appartient pas au groupe alterné, c’est-à-dire si elle se
ramène à un nombre impair de permutations entre deux lettres.
Dans tous les cas, l’expression
(14)
|
|
|
sera une intégrale du système (13).
Nous avons permutations possibles ; nous obtiendrons
donc expressions analogues à (14). Mais il n’y en aura que
qui seront distinctes ; car l’expression (14) ne change pas quand
on permute seulement entre elles les lettres qui entrent dans
et entre elles, d’autre part, les lettres qui entrent dans
Faisons maintenant la somme de toutes les expressions (14).
Nous aurons encore une intégrale de système (13). Mais cette
intégrale sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants
d’ordre que l’on peut former avec les lettres
On pourra donc en déduire un invariant d’ordre des équations (1).
Si et que soit identique avec l’invariant ainsi
obtenu sera identiquement nul si est impair ; mais il n’en sera
plus de même si est pair ainsi que je l’ai expliqué à la fin du
numéro précédent.
Autres relations entre les invariants et les intégrales.
249.Voyons maintenant comment, de la connaissance d’un certain
nombre d’invariants, on peut déduire celle d’une ou plusieurs
intégrales.
Je suppose d’abord que l’on connaisse deux invariants du ième ordre
et
où et sont des fonctions des je dis que le rapport sera
une intégrale des équations (1).
En effet, considérons les équations aux variations (2) et soient
solutions quelconques linéairement indépendantes de ces équations.
Ces solutions satisferont à un système d’équations différentielles,
analogue aux systèmes (6) et (7), que j’appellerai le système
Soit le déterminant formé à l’aide des lettres Alors
et
seront des intégrales du système il en sera donc de même du rapport
et comme ce rapport ne dépend que des et pas des il devra
être une intégrale des équations (1).
On peut démontrer le même résultat d’une autre manière.
Faisons le changement de variables du no 237. Nos deux invariants
intégraux deviendront
et
désignant le jacobien ou déterminant fonctionnel des variables
anciennes par rapport aux variables nouvelles
D’après le no 237, et ne doivent dépendre que de
{{SA|il en est donc de même du rapport et comme toute fonction
des est une intégrale des équations (1), ce rapport est une intégrale
des équations (1).
C. Q. F. D.
250.On peut varier ce procédé de plusieurs manières.
Soient, par exemple,
invariants linéaires du premier ordre. Supposons que l’on ait
identiquement
les dépendant seulement des et non des différentielles
Je dis que les si seront des intégrales des équations (1).
En effet, soit le coefficient de dans ; on devra avoir
Faisons le changement de variables du no 237 ; nos invariants
deviendront
Si d’ailleurs on pose
on devra avoir
Nous aurons là équations linéaires d’où nous pourrons tirer
les pourvu que
Or, d’après le no 237, les ne dépendent que des et pas
de il en est donc de même des ce qui veut dire que les
sont des intégrales des équations (1).
251.Soit maintenant
une intégrale ; il est clair que
sera un invariant intégral du premier ordre.
On peut alors se poser la question suivante :
Considérons un invariant intégral du premier ordre
et supposons que la quantité sous le signe soit une différentielle
exacte ; quelle relation y aura-t-il entre l’intégrale de cette différentielle
exacte et les intégrales des équations (1) ?
Pour nous en rendre compte, faisons le changement de variables
du no 237 ; notre invariant deviendra
Les et devront dépendre des mais pas de
Si cette expression est une différentielle exacte, la fonction
devra donc être de la forme
et étant des intégrales de l’équation (1). On aura alors
Or on a, si l’on revient aux anciennes variables
Il résulte de là que
est une intégrale des équations (1). Si cette expression est nulle, on a
et est une intégrale des équations (1).
252.On pourrait multiplier les exemples de ce genre ; je n’en
citerai plus qu’un seul.
Considérons un invariant du premier ordre de la forme
Soit le discriminant de la forme quadratique
Faisons le changement de variables du no 237, notre invariant
deviendra
Soit le discriminant de la forme quadratique
Soit le jacobien ou déterminant fonctionnel des par rapport
aux on aura
D’ailleurs sera manifestement (comme les et les ), une
intégrale des équations (1).
Soit, maintenant, un invariant du ième ordre
Après le changement de variables du no 237, il deviendra
et devra être une intégrale des équations (1).
J’en conclus que
c’est-à-dire
doit être une intégrale des équations (1).
Changements de variables.
253.Quand on change d’une manière quelconque les variables
sans toucher à la variable qui représente le temps, on
n’a qu’à appliquer aux invariants intégraux les règles ordinaires
du changement de variables dans les intégrales définies simples
ou multiples. C’est ce que nous avons déjà fait plusieurs fois.
Mais quand on change la variable la difficulté est plus grande.
Il aurait même semblé a priori que cette transformation ne dût
conduire à aucun résultat.
Et en effet : considérons le système
(1)
|
|
|
Introduisons une nouvelle variable définie par la relation
étant une fonction donnée de
Le système (1) deviendra
(2)
|
|
|
Supposons que les valeurs initiales représentent
les coordonnées d’un certain point de l’espace à dimensions.
Si le mouvement de ce point est défini par les équations (1),
représentant le temps, ce point sera, à l’époque venu en
Si le mouvement est au contraire défini par les équations (2),
représentant le temps, le point sera, à l’époque venu
en
Considérons maintenant une figure occupée à l’instant zéro
par différents points
Si le mouvement et la déformation de cette figure sont définis
par les équations (1), elle sera, à l’époque devenue une
figure nouvelle
Si le mouvement est défini par les équations (2), la figure sera,
à l’époque devenue une figure nouvelle différente de
Et non seulement sera différente de mais elle ne coïncidera
pas non plus, en général, avec une des positions occupées par
à une époque différente de l’époque
Il semble donc que l’on ait profondément altéré les données du
problème et l’on ne doit pas s’attendre à ce que des invariants
de (1) on puisse déduire ceux de (2).
C’est cependant ce qui arrive pour les invariants d’ordre
Faisons le changement de variables du no 237 ; le système (1)
deviendra
(1 bis)
|
|
|
et le système (2)
(2 bis)
|
|
|
doit alors être supposé exprimé en fonctions des et de
Posons alors
l’intégration se faisant par rapport à (les étant regardés comme
des constantes), et à partir d’une origine quelconque pouvant
dépendre des
Le système (2) deviendra
(2 ter)
|
|
|
et aura même forme que (1 bis).
Soit alors
un invariant d’ordre des équations (1) ; par le changement de
variables du no 237, il deviendra
étant le jacobien des par rapport aux et à devra être
une fonction des
Alors
sera un invariant des équations (2 ter) ;
sera un invariant des équations (2 bis), et enfin
sera un invariant des équations (2).
Remarques diverses.
253 bis. Considérons un système d’équations différentielles
(1)
|
|
|
et leurs équations aux variations
(2)
|
|
|
Supposons que les équations (1) admettent un invariant intégral
du premier ordre
l’expression sera une intégrale des équations (2).
D’autre part, ces équations (2) admettront pour solution
étant une constante infiniment petite quelconque.
En effet, soit
une solution quelconque des équations (1) ; si est une constante
très petite,
sera encore une solution des équations (1), et
sera une solution des équations (2).
Il résulte de là que
doit être une constante.
Donc est une intégrale des équations (1).
Supposons maintenant que les équations (1) admettent un invariant
intégral du second ordre
Alors
sera une intégrale des équations (2) et des équations (2 bis) que
l’on en déduit en changeant les en
Faisons-y
étant une constante. Cela est permis, car est une
solution de (2 bis).
Alors
sera une intégrale de (2) ; ce qui montre que
est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).
Ce procédé permet donc de trouver un invariant d’ordre
quand on en connaît un d’ordre le procédé peut quelquefois
être illusoire parce que l’invariant ainsi trouvé peut être identiquement nul.
Envisageons maintenant un invariant de la forme suivante
où et sont des fonctions des nous rencontrerons dans la
suite des invariants de cette forme.
Alors
sera une intégrale des équations (2) ; il en résulte que
doit être une constante.
Soit, pour abréger.
l’expression
doit être une constante, ce qui entraîne la condition
ou bien
(3)
|
|
|
Les les les sont des fonctions ds Il en est donc
de même de
L’identité (3) ne peut donc avoir lieu que si l’on a identiquement
et
La première de ces relations nous apprend que est une intégrale des équations (1).
253 ter.Soit
une intégrale des équations (2) ; la fonction doit être une forme,
c’est-à-dire un polynôme entier et homogène par rapport aux
dont les coefficients dépendent d’ailleurs des d’une façon quelconque.
Soit le degré de ce polynôme. L’expression
(où n’est autre chose que où les ont été remplacés par les
différentielles ), cette expression, dis-je, sera un invariant
intégral des équations (1).
Cela posé, soit un invariant quelconque de la forme
Faisons le changement de variables du no 237, les équations (1)
deviendront
(1 bis)
|
|
|
et, si l’on désigne par et les variations de et les équations
aux variations de (I bis) se réduiront à
Avec ces nouvelles variables, deviendra une forme entière,
homogène et de degré par rapport aux et à les coefficients
peuvent être des fonctions quelconques des mais d’après le
théorème du no 237, puisque nous avons affaire à un invariant
intégral, ces coefficients ne peuvent pas dépendre de
Les sont des fonctions des et de et l’on en déduit entre
les variations les relations suivantes
(4)
|
|
|
Les sont donc des fonctions linéaires des et de et le déterminant de ces équations linéaires (4) n’est autre chose que le jacobien
des par rapport à et à jacobien que j’appelle
On passe ainsi de la forme à la forme par la substitution
linéaire (4) dont le déterminant est
Soit l’invariant de qui correspond à l’invariant de on aura
étant le degré de l’invariant.
Mais est une fonction des coefficients de et, par conséquent,
une fonction des indépendante de c’est donc une
intégrale des équations (1).
Soit le dernier multiplicateur des équations (1) de telle façon
que l’on ait
et que
soit un invariant intégral d’ordre
Nous avons vu au no 252 que sera une intégrale des équations (1).
Donc
sera une intégrale des équations (1). À chaque invariant de la
forme correspond donc une intégrale de ces équations.
Soit maintenant un covariant de la forme de degré par
rapport aux coefficients de et par rapport aux variables
Si est le covariant correspondant de on aura
Les coefficients de sont des fonctions des coefficients de
ils sont donc indépendants de il en est de même de ceux de
Donc est une intégrale des équations (2) ; donc
où n’est autre chose que où les ont été remplacés par
est un invariant intégral des équations (1).
Voilà donc un moyen de former un grand nombre d’invariants
intégraux ; le cas particulier où est nul (c’est-à-dire le cas des
invariants ou covariants dits absolus) mérite d’attirer l’attention ;
si par exemple, est un covariant absolu de
sera un invariant intégral des équations (1). On peut donc former
un nouvel invariant intégral sans connaître le dernier multiplicateur
Le même procédé s’applique aux invariants intégraux d’ordre
supérieur. Soit, par exemple, un invariant intégral du second ordre
À cet invariant intégral se rattache la forme bilinéaire
qui est une intégrale des équations (2) et (2 bis).
Tout invariant ou covariant de cette forme, multiplié par une
puissance convenable de sera une intégrale des équations (2),
(2 bis) et donnera, par conséquent, naissance à un nouvel invariant
intégral.
De même, si l’on a un système d’invariants intégraux, on en
déduira un système de formes analogues à et qui seront des
intégrales des équations (2), (2 bis). À tout invariant de ce système
de formes correspondra une intégrale des équations (1) ; à
tout covariant de ce système de formes correspondra un invariant
intégral des équations (1).
Soient, par exemple, et deux formes quadratiques par
rapport aux et ce qu’elles deviennent quand on y remplace
les par les différentielles Supposons que et
soient des intégrales de (2) et que, par conséquent,
soient des invariants intégraux de (1).
Considérons la forme
où est une indéterminée. En écrivant que le discriminant de
cette forme est nul, nous obtiendrons une équation algébrique de
degré en dont les racines seront évidemment des invariants
absolus du système de formes Ce seront donc des intégrales
des équations (1).
Mais ce n’est pas tout ; soient ces racines, et
pourront se mettre sous la forme
étant des formes linéaires que l’on peut déterminer
par des opérations purement algébriques.
peuvent être regardés comme des covariants de
degré zéro du système de sorte que
sont des invariants intégraux des équations (1), si l’on désigne
par ce que devient quand on y remplace les par les différentielles
Il y aurait exception pourtant si l’équation en avait des
racines multiples. Si, par exemple, était égal à on ne pourrait
plus affirmer que
sont des invariants intégraux, mais seulement que
est un invariant intégral.
Soient maintenant
deux invariants intégraux du second ordre. Les deux formes bilinéaires
seront des intégrales de (2) et (2 bis).
Le cas le plus intéressant est celui où est pair ; soit donc
Considérons la forme
et égalons son déterminant à 0. Nous aurons une équation algébrique
en de degré mais le premier membre de cette
équation est un carré parfait, de sorte qu’elle se réduit à une
équation d’ordre Les racines
seront, pour la même raison que plus haut, des intégrales des
équations (1).
Maintenant et pourront se mettre sous la forme
les et les étant polynômes linéaires par rapport aux
et les et les étant les mêmes polynômes où les ont été
remplacés par les
Alors les expressions
seront des covariants du système et par conséquent des
intégrales de (2), (2 bis) auxquelles correspondront des invariants intégraux.
Il y aurait exception si l’équation en avait des racines
multiples.
Si l’on avait, par exemple,
on ne pourrait plus affirmer que les deux expressions
sont des intégrales de (2), (2 bis) mais seulement que leur somme
est une intégrale de (2), (2 bis).