Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.21

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 427-476).

CHAPITRE XXI.

EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

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Extension au problème du n^o 134.

219.J’ai expliqué au début du Chapitre XI quelles étaient les difficultés particulières que présente le problème des trois Corps. Ces difficultés proviennent de ce fait, que toutes les variables de la première série, c’est-à-dire les variables $x_{i},$ ne figurent pas dans la fonction $\mathrm {F} _{0}.$

Nous avons vu dans les Chapitres XI et XIII comment on peut se tirer de cette difficulté et construire néanmoins une fonction $\mathrm {S}$ développée suivant les puissances de $\mu ,$ satisfaisant à l’équation de Jacobi

$\mathrm {F} =\mathrm {C} ,$

et telle que ses dérivées par rapport aux $y_{i}$ soient des fonctions périodiques des $y_{i}.$

Cette fonction $\mathrm {S}$ dépend en outre de $n$ constantes d’intégration, par exemple des $n$ quantités

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.$

Si l’une des combinaisons linéaires

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}.$

est très petite et de l’ordre de grandeur de ${\sqrt {\mu }},$ nous pourrons poser, comme nous l’avons fait au n^o 211,

$n_{i}=\alpha _{i}^{0}+\alpha _{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{i}^{2}\mu +\ldots ,$

les $\alpha _{i}^{p}$ étant de nouvelles constantes, et supposer que

$m_{1}\alpha _{1}^{0}+m_{2}\alpha _{2}^{0}+\ldots +m_{n}\alpha _{n}^{0}=0.$

Ordonnons ensuite chacun des termes de $\mathrm {S}$ suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }},$ et groupons ensemble les termes qui contiennent en facteur une même puissance de ${\sqrt {\mu }}\,;$ chacun des groupes de termes ainsi obtenus devra jouir de la même propriété que la fonction $\mathrm {S}$ elle-même, c’est-à-dire que leurs dérivées seront des fonctions périodiques des $y.$

On peut donc prévoir que la méthode de M. Bohlin est encore applicable aux cas où $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend pas de toutes les variables de la première série et, en particulier, au problème des trois Corps. Mais l’application soulève quelques questions délicates et je suis obligé d’insister.

220.Imaginons donc que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépende pas de toutes les variables de la première série. Pour mettre ce fait en évidence, j’appellerai les variables de la première série

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{p},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{q},$

et les variables correspondantes de la deuxième série

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{p},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{q},$

et je supposerai que $\mathrm {F} _{0}$ dépend de tous les $x_{i},$ mais ne dépend pas des $z_{i}.$

Je me propose de former une fonction $\mathrm {S}$ des $y$ et des $u,$ qui satisfasse à l’équation de Jacobi

(1)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},{\frac {d\mathrm {S} }{du_{i}}},y_{i},u_{i}\right)=\mathrm {C} ,$

où je suppose que dans le premier membre les variables de la première série $x_{i}$ et $z_{i}$ ont été remplacées par les dérivées correspondantes ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{du_{i}}}\cdot$

Je veux également que la fonction $\mathrm {S}$ soit développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et que ses dérivées soient périodiques par rapport aux $y$ et aux $u.$

En faisant $\mu =0,$ l’équation (1) devient

(2)

$\mathrm {F} _{0}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{p}}}\right)=\mathrm {C} _{0},$

ce qui nous apprend que $\mathrm {S} _{0}$ est de la forme

$\mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+\mathrm {T} _{0},$

$\mathrm {T} _{0}$ ne dépendant que des $u.$

Nous poserons

$n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}}}\cdot$

S’il n’y a entre les $n_{i}^{0}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers, il n’y a pas de difficulté, les calculs du Chapitre XI sont applicables et l’on peut former la fonction $\mathrm {S}$ qui ne contiendra d’ailleurs que des puissances entières de $\mu \,;$ car les termes contenant des puissances impaires de ${\sqrt {\mu }}$ disparaissent.

Supposons donc qu’il y ait entre les $n_{i}^{0}$ une relation linéaire, et soit

$n_{i}^{0}=0$

cette relation ; ce que je puis supposer, car dans le cas contraire, j’appliquerais le changement de variables du n^o 202.

Avant d’aller plus loin, introduisons une notation nouvelle. Soit $\mathrm {U}$ une fonction périodique quelconque des $y,$ dépendant en outre de $u\,;$ je désignerai par

$[\mathrm {U} ]$

la valeur moyenne de $\mathrm {U}$ considérée comme fonction de $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}$ et par

$[[\mathrm {U} ]]$

la valeur moyenne de $\mathrm {U}$ considérée comme fonction de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}.$

Il résulte de cette définition que $[\mathrm {U} ]$ est une fonction de $y_{1}$ et des $u,$ tandis que $[[\mathrm {U} ]]$ n’est fonction que des $u.$

Si nous supposons que $\mathrm {U} ,$ au lieu d’être une fonction périodique des $y,$ est une fonction telle que ses dérivées soient périodiques, de telle sorte que

$\mathrm {U} =x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+\mathrm {U} ',$

$\mathrm {U} '$ étant périodique et les $x_{i}^{0}$ étant des constantes ; nous poserons

$[\mathrm {U} ]=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+[\mathrm {U} '],$

et

$[[\mathrm {U} ]]=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+[[\mathrm {U} ']].$

Cela posé, reprenons les équations (3) de la page 343. La première de ces équations n’est autre chose que l’équation (2) que nous venons de considérer.

La seconde nous apprend que

${\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{n}}},$

sont des constantes ; nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que ces constantes sont nulles ; c’est là en effet reprendre les hypothèses (9) de la page 348.

Alors $\mathrm {S} _{1}$ n’est plus fonction que de $y_{1}$ et des $u,$ de sorte que

$\mathrm {S} _{1}=[\mathrm {S} _{1}].$

Considérons maintenant la troisième équation (3).

La fonction $\Phi$ qui figure au second membre n’est autre chose que $-\mathrm {F} _{1}.$

Le second terme du premier membre se rôdai t à

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{{dx_{1}^{0}}^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2},$

parce que les autres ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}$ sont nuls.

Posons

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{{dx_{1}^{0}}^{2}}}=\mathrm {A} ,$

l’équation devient alors

(4)

$-{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}+\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}=\mathrm {C} _{2}-\mathrm {F} _{1}.$

Seulement il importe de remarquer qu’ici la fonction $\mathrm {F} _{1}$ n’est pas connue ; elle dépend en effet des $x,$ des $z,$ des $y$ et des $u,$ et l’on doit y remplacer les $x_{i}$ par les $x_{i}^{0}$ qui sont connus, et les $z_{i}$ par les

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{du_{i}}}={\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}$

qui ne le sont pas.

Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres par rapport à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$ D’abord les $\left[{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}\right]$ se réduisent à des constantes, et je puis supposer, sans restreindre la généralité, que ces constantes sont nulles ; car c’est reprendre les hypothèses (10) de la page 349.

D’autre part,

$\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right]^{2}=\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2},$

puisque $\mathrm {S} _{1}$ ne dépend pas de $y_{2},$ $y_{3},$ $...,\,y_{n}.$

Enfin il importe de remarquer que, dans le calcul de la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1},$ on peut opérer comme si les fonctions ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}$ (qu’on doit y substituer à la place des $z_{i}$) étaient des constantes, puisque ces fonctions ne dépendent pas de $y_{2},$ $y_{3},$ $...,\,y_{n}.$

Il vient donc

(4 bis)

$\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}=\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}],$

d’où

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}={\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\mathrm {A} }}}\cdot$

Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres par rapport à $y_{1},$ il viendra

$\left[\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right]\right]=\left[\left[{\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\mathrm {A} }}}\right]\right].$

Si $\mathrm {S} _{1}$ est une fonction dont les dérivées sont périodiques, le premier membre se réduira à une constante que j’appelle $h.$ On doit donc avoir

$\left[\left[{\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\mathrm {A} }}}\right]\right]=h$

ou

(5)

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}}\,dy_{1}=2\pi \mathrm {A} h.$

Le premier membre dépend des $u_{i}$ et en outre des dérivées ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}$ qui entrent dans $\mathrm {F} _{1}.$ C’est donc une équation aux dérivées partielles qui définit $\mathrm {T} _{0}.$ Nous définirons cette fonction $\mathrm {T} _{0}$ de telle façon que ses dérivées soient périodiques. Nous pourrons écrire l’équation (5) sous la forme

(5 bis)

$\Theta \left({\frac {d\mathrm {T} }{du_{i}}},\,u_{i}\right)=2\pi \mathrm {A} h.$

Tout est donc ramené à l’intégration de cette équation (5 bis) ; j’y reviendrai plus loin ; supposons cette intégration possible et soit

$\mathrm {T} _{0}=z_{1}^{0}u_{1}+z_{2}^{0}u_{2}+\ldots +z_{q}^{0}u_{q}+\mathrm {T} _{0}',$

une solution complète de cette équation contenant les $q$ constantes d’intégration $z_{i}^{0}.$ Je suppose, bien entendu, que $\mathrm {T} _{0}'$ est une fonction des $u_{i}$ et des constantes $z_{i}^{0}$ périodique par rapport aux $u_{i}.$

$\mathrm {T} _{0}$ étant ainsi déterminé, nous pouvons calculer ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ et, par conséquent,

$\mathrm {S} _{1}-[[\mathrm {S} _{1}]].$

Nous pouvons donc écrire

$\mathrm {S} _{1}=\mathrm {S} _{1}'+\mathrm {T} _{1},$

$\mathrm {S} _{1}'$ étant une fonction connue de $y_{1}$ et des $u,$ et $\mathrm {T} _{1}$ une fonction encore inconnue des $u.$

L’équation (4) nous donne ensuite

$-{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}=[\mathrm {F} _{1}]-\mathrm {F} _{1},$

d’où l’on déduit

${\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{2}-[\mathrm {S} _{2}].$

Considérons maintenant la quatrième équation (3).

Dans le second terme du premier membre, les ${\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}$ sont connus, à l’exception de ${\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}\,;$ ce second terme peut donc s’écrire

$2\mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\Phi .$

D’autre part, j’ai, à la page 343, désigné le second membre par $\Phi$ parce qu’il était entièrement connu. Mais ici, il n’en est plus de même parce que ce second membre dépend des ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{du_{i}}}$ et, par conséquent, des ${\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}$ que nous ne connaissons pas. Il est aisé de voir que ce second membre sera de la forme

$-\sum {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\Phi ,$

$\Phi$ étant connue.

Notre équation s’écrit donc

(6)

$-{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}+2\mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\sum {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}=\Phi .$

Il va sans dire que, dans ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dz_{i}}},$ les $x_{i}$ et les $z_{i}$ doivent être remplacés respectivement par les $x_{i}^{0}$ et les ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}\cdot$

Prenons les valeurs moyennes des deux membres par rapport à $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n}.$ Nous pouvons supposer, comme plus haut, que les valeurs moyennes des ${\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}\;(i>1)$ sont nulles ; il viendra alors

(7)

$2\mathrm {A} {\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\sum {\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}=\Phi .$

Nous tirons de là

${\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{1}}}={\frac {\Phi -{\displaystyle \sum {\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}}}{2\mathrm {A} \,{\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}}}\cdot$

Les deux membres de cette équation dépendent de $y_{1}$ et des $u\,;$ la valeur moyenne du premier membre doit se réduire à une constante à laquelle je puis, sans restreindre la généralité, attribuer une valeur arbitraire, par exemple la valeur zéro ; on doit donc avoir

$\left[\left[{\frac {\Phi -{\displaystyle \sum {\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}}}{2\mathrm {A} {\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}}}\right]\right]=0,$

ce que je puis écrire

(8)

$-\int _{0}^{2\pi }{\frac {\displaystyle \sum {\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}}{2{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}}}}\,dy_{1}=\Phi ,$

ou bien encore

(8 bis)

$\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}=\Phi .$

$\Theta$ est une fonction des $z_{i}$ et des $u_{i},$ périodique par rapport aux $u_{i}\,;$ quand on y remplace les $z_{i}$ par les ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}},$ on obtient le premier membre de (5 bis) ; de même dans (8 bis), je suppose que dans les dérivées ${\frac {d\Theta }{dz_{i}}},$ les $z_{i}$ ont été remplacés par les ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}\cdot$

L’équation (8 bis) doit déterminer $\mathrm {T} _{1}\,;$ je vais montrer que l’intégration en est aisée quand on sait intégrer (5 bis).

En effet, si nous savons intégrer (5 bis), nous connaîtrons une fonction $\mathrm {T} _{0}$ dépendant des $u_{i}$ et de $q$ constantes $z_{i}^{0}$ et telle que si l’on substitue ses dérivées dans $\Theta$ à la place des $z_{i},$ cette fonction $\Theta$ se réduise à une constante par rapport aux $u_{i},$ c’est-à-dire à une fonction des $z_{i}^{0}$ que j’appelle

$\theta (z_{1}^{0},z_{2}^{0},\ldots ,z_{q}^{0}).$

Nous poserons d’autre part

(9)

${\begin{aligned}z_{i}&={\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}\,;&u_{i}^{0}&={\frac {d\mathrm {T} _{0}}{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous aurons ainsi $2q$ relations entre les $4q$ quantités $z_{i},$ $u_{i},$ $z_{i}^{0},$ $u_{i}^{0}\,;$ de sorte que nous pourrons prendre pour variables indépendantes, soit les $z_{i}$ et les $u_{i},$ soit les $z_{i}^{0}$ et les $u_{i},$ soit les $z_{i}^{0}$ et les $u_{i}^{0}.$

Pour éviter toute confusion, nous représenterons les dérivées par la lettre $d$ lorsque nous prendrons pour variables les $z_{i}$ et les $u_{i}$ ou bien les $z_{i}^{0}$ et les $u_{i}^{0},$ et par la lettre $\partial {}$ lorsque nous prendrons pour variables les $z_{i}^{0}$ et les $u_{i}.$

Dans l’équation (8 bis), $\Theta$ doit être considéré comme exprimé à l’aide des $z_{i}$ et des $u_{i}$ ${\bigg (}$car ce n’est qu’après la différentiation qu’on remplace les $z_{i}$ par les ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}{\bigg )}\cdot$ Au contraire, $\mathrm {T} _{1}$ est une fonction

des $u_{i}$ dépendant en outre des constantes d’intégration $z_{i}^{0}.$

Avec notre nouvelle notation, l’équation (8 bis) doit donc s’écrire

$\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {T} _{1}}{\partial u_{i}}}=\Phi .$

D’autre part, on a identiquement

$\theta =\Theta$

et, comme $\theta$ ne dépend que des $z_{i}^{0},$

${\frac {\partial \Theta }{\partial u_{i}}}=0.$

Cette équation peut encore s’écrire

${\frac {d\Theta }{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=0.$

On a d’ailleurs

${\frac {\partial \mathrm {T} _{1}}{\partial u_{i}}}={\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=0.$

On trouve alors successivement en transformant (8 bis)

$\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=\Phi ,$

ou, par permutation d’indices,

$\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{k}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=\Phi \,;$

car

${\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}={\frac {\partial z_{i}}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {T} _{0}}{\partial u_{i}\,\partial u_{k}}},$

d’où

$\sum \left({\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}-{\frac {d\Theta }{du_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}}}\right)=\Phi .$

ou, en prenant pour variables les $u_{i}^{0}$ et les $z_{i}^{0},$

$\sum \left({\frac {d\Theta }{dz_{i}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}^{0}}}-{\frac {d\Theta }{du_{i}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}^{0}}}\right)=\Phi .$

Comme $\Theta$ se réduit à $\theta$ qui ne dépend pas des $u_{i}^{0},$ il vient enfin

(8 ter)

$\sum {\frac {d\theta }{dz_{i}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}^{0}}}=\Phi .$

$\Phi$ doit être exprimé en fonction des variables $u_{i}^{0}$ et des constantes d’intégration $z_{i}^{0}.$ Comme les dérivées de $\theta$ ne dépendent que des constantes $z_{i}^{0},$ ce sont aussi des constantes. Il en résulte que l’équation (8 ter) étant à coefficients constants s’intègre immédiatement.

$\Phi$ est périodique par rapport aux $u_{i}\,;$ il arrivera souvent que la forme de la fonction $\mathrm {T} _{0}$ et des équations (9) sera telle que les $u_{i}$ seront des fonctions uniformes des $u_{i}^{0}$ et inversement. Alors les différences $u_{i}-u_{i}^{0}$ seront des fonctions périodiques soit des $u_{i},$ soit des $u_{i}^{0}.$

Alors $\Phi$ qui est périodique par rapport aux $u_{i},$ le sera également par rapport aux $u_{i}^{0}.$ On pourra alors intégrer l’équation (8 ter) de telle façon que les dérivées ${\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}^{0}}}$ soient périodiques par rapport aux $u_{i}^{0},$ ou, ce qui revient au même, de façon que les dérivées ${\frac {\partial \mathrm {T} _{1}}{\partial u_{i}}}$ soient périodiques par rapport aux $u_{i},$ ou bien encore que $\mathrm {T} _{1}$ augmente d’une constante quand $u_{i}$ augmente de $2\pi .$

L’équation (8) étant ainsi intégrée, l’équation (7) nous donnera ${\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{1}}},$ de sorte que nous pourrons écrire

$\mathrm {S} _{2}=\mathrm {S} _{2}'+\mathrm {T} _{2},$

$\mathrm {S} _{2}'$ étant une fonction entièrement connue des $y$ et des $u$ et $\mathrm {T} _{2}$ une fonction inconnue ne dépendant que des $u.$

L’équation (6) peut alors s’écrire

${\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}=\Phi$

et elle détermine

${\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{3}-[\mathrm {S} _{3}]$

et ainsi de suite.

Extension au problème des trois Corps.

221. Tout se trouve ainsi ramené à l’intégration de l’équation (5). Voyons donc quelle est, dans le cas du problème des trois Corps, la forme de cette équation. Elle s’écrit

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}}\,dy_{1}=2\pi \mathrm {A} h.$

Mais quelle est la forme de $[\mathrm {F} _{1}]$ ?

Nous choisirons pour variables les quantités

${\begin{array}{rrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',\end{array}}$

définies à la page 87, auxquelles nous devrons adjoindre, si les trois corps ne se meuvent pas dans un même plan, les variables

${\begin{array}{rr}p,&p',\\q,&q',\end{array}}$

définies tome I, page 30.

Alors la fonction $\mathrm {F}$ sera développée suivant les puissances positives de $\mu ,$ $\xi _{1},$ $\xi _{1}',$ $\eta _{1},$ $\eta _{1}',$ $p,$ $q,$ $p',$ $q'$ et suivant les sinus et cosinus des multiples de $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$ Un terme en

${\begin{array}{cc}\cos \\\sin \end{array}}\left(m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'\right)$

devra contenir en facteur un monome dont le degré par rapport aux variables $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $p,$ $q,\,\ldots$ sera au moins égal à $|m+m'|$ et n’en pourra différer que d’un nombre pair. Enfin $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que de $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'.$

Cela posé, imaginons que l’on ait

$m\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{1}^{0}}}+m'\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{1}'^{0}}}=0,$

$m$ et $m'$ étant deux entiers ; $\Lambda _{1}^{0}$ et $\Lambda _{1}'^{0}$ deux constantes auxquelles nous égalerons ${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda _{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda _{1}'}},$ analogues par conséquent aux constantes que nous désignions par $x_{i}^{0}$ dans le numéro précédent. Nous poserons alors

$m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'=y_{1}\,;$

et pour former ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}$ nous n’avons qu’à supprimer dans $\mathrm {F} _{1}$ tous les termes qui dépendent de $\lambda _{1}$ ou de $\lambda _{1}',$ sauf ceux qui ne dépendent que de $y_{1}.$

Pour mettre en évidence le degré de chaque terme par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, remplaçons partout

$\xi _{1},\quad \eta _{1},\quad \xi _{1}',\quad \eta _{1}',\quad p,\quad q,\quad p',\quad q'$

par

$\varepsilon \xi _{1},\quad \varepsilon \eta _{1},\quad \varepsilon \xi _{1}',\quad \varepsilon \eta _{1}',\quad \varepsilon p,\quad \varepsilon q,\quad \varepsilon p',\quad \varepsilon q'$

et rendons-nous compte du degré de chacun des termes de $\mathrm {F} _{1}$ par rapport à $\varepsilon .$

Nous aurons

$[\mathrm {F} _{1}]=\mathrm {R} +\mathrm {R} ',$

où $\mathrm {R}$ est l’ensemble des termes indépendants à la fois de $\lambda _{1}$ et de $\lambda _{1}',$ de telle sorte que

$\mathrm {R} =\left[\left[\mathrm {F} _{1}\right]\right]$

et où $\mathrm {R} '$ est l’ensemble des termes dépendant de $y_{1},$ et de $y_{1}$ seulement.

$\mathrm {R}$ est alors développable suivant les puissances de $\varepsilon ^{2}$ et nous aurons

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}+\varepsilon ^{4}\mathrm {R} _{4}+\ldots .$

Quant à $\mathrm {R} ',$ il est divisible par

$\varepsilon ^{\left|m+m'\right|}.$

On aura, en général,

$|m+m'|>2,$

de telle sorte que l’on peut poser

$\mathrm {R} '=\varepsilon ^{3}\mathrm {R} ''.$

$\mathrm {R} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda _{1}^{0}$ et $\Lambda _{1}'^{0}$ et peut être regardé comme une constante ; je puis donc poser

$\mathrm {C} _{2}=\mathrm {R} _{0}+k_{0}^{2}+\varepsilon ^{2}k_{1}$

et en même temps

$\mathrm {A} h=k_{0}+\varepsilon ^{2}k_{1}',$

de telle sorte que l’équation (5) devient

$\int _{0}^{2\pi }\!\!{\sqrt {k_{0}^{2}+\varepsilon ^{2}k_{1}-\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}-\varepsilon ^{3}\mathrm {R} ''-\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{4}-\ldots }}\,dy_{1}=2\pi (k_{0}+\varepsilon ^{2}k_{1}'),$

où, en développant le radical suivant les puissances de $\varepsilon ,$ réduisant et divisant par $2\pi \varepsilon ^{2},$

${\frac {k_{1}-\mathrm {R} _{2}}{2k_{0}}}+\varepsilon \,\mathrm {Z} =k_{1}',$

$\mathrm {Z}$ représente une fonction développable suivant les puissances positives de $\varepsilon ,$ des $\xi ,$ des $\eta ,$ des $p$ et des $q.$

En posant enfin

$k_{1}-2k_{0}k_{1}'=\mathrm {K} ,$

il vient

$\mathrm {R} _{2}-2\varepsilon k_{0}\mathrm {Z} =\mathrm {K} .$

La fonction $\mathrm {R} _{2}$ est la même qui a été désignée ainsi page 40 (sauf que les lettres $\xi$ et $\eta$ sont affectées de l’indice 1). Nous pourrons alors définir absolument comme au n^o 131 les variables $\rho _{i}$ et $\omega _{i}$ (en les formant toutefois avec les $\xi _{1}$ et les $\eta _{1}$ au lieu de les former avec les $\xi$ et les $\eta$), et je prendrai pour variables nouvelles

${\begin{array}{rrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i}.\end{array}}$

Alors $\mathrm {R} _{2}$ se réduit à

$2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4},$

(Cf. p. 44).

Remplaçons $\rho _{i}$ par ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}},$ nous aurons finalement à intégrer l’équation

(5 ter)

$\Theta \left({\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}},\omega _{i}\right)=\mathrm {R} _{2}-2\varepsilon k_{0}\mathrm {Z} =\mathrm {K} .$

Le premier membre $\Theta$ est périodique par rapport aux $\omega _{i},$ il est développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et, quand on y fait $\varepsilon =0,$ il se réduit à $\mathrm {R} _{2}$ et ne dépend plus des $\omega _{i}$ mais seulement des ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}}\cdot$ Nous pouvons donc appliquer les procédés du n^o 125.

L’intégration de l’équation (5) à laquelle nous avions ramené le problème est donc possible.

Le cas où

$m+m'=\pm 1$pi$\pm 2$

se traiterait d’une manière analogue ; le cas où

$m+m'=0,$

d’où

$\Lambda _{1}^{0}=\Lambda _{1}'^{0},$

c’est-à-dire celui où les deux grands axes diffèrent très peu, présente des difficultés spéciales.

Discussion des séries.

222.Reprenons les notations du n^o 220 et supposons que l’on ait déterminé la fonction $\mathrm {S}$ par les procédés de ce numéro. Le problème n’est pas encore entièrement résolu. Il faut encore former les équations

(10)

$\;\left\{{\begin{aligned}&(k>1),&{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}&=w_{k}+\theta _{k}w_{1},\\{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {C} _{2}}}&=\theta _{1}w_{1},&{\frac {d\mathrm {S} }{dz_{i}^{0}}}&=w_{i}'+\theta _{i}'w_{1},&x_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&z_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{du_{i}}}\,;\end{aligned}}\right.$

où les $\theta$ et les $\theta '$ seront des fonctions convenablement choisies des constantes $x_{i}^{0}$ et $z_{i}^{0}\,;$ puis résoudre ces équations pour obtenir les $x_{i},$ les $y_{i},$ les $u_{i}$ en fonctions des $x_{i}^{0},$ des $z_{i}^{0},$ des $w_{i},$ des $w_{i}'\,;$ enfin remplacer les $w_{i}$ et les $w_{i}'$ par des fonctions linéaires du temps dont les coefficients seront convenablement choisis. On obtiendra ainsi les expressions des coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ $u$ en fonctions du temps.

Voyons d’abord quelle sera la forme des équations (10).

La fonction $\mathrm {S}$ ayant ses dérivées périodiques peut s’écrire

$\mathrm {S} =\beta y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+x_{3}^{0}y_{3}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+z_{1}^{0}u_{1}+\ldots +z_{q}^{0}u_{q}+\mathrm {S} ',$

$\beta$ étant une constante indépendante des $y$ et des $u$ et $\mathrm {S} '$ étant périodique par rapport aux $y$ et aux $u.$ Les coefficients de $y_{k}\;(k>1)$ et de $u_{i}$ peuvent, sans que la généralité s’en trouve restreinte, être supposés égaux à $x_{k}^{0}$ et à $z_{i}^{0}\,;$ c’est là, en effet, reprendre les hypothèses (10) de la page 349.

Quant à $\beta ,$ il est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$

$\beta =\beta _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\beta _{1}+\mu \,\beta _{2}+\ldots ,$

$\beta _{0}$ est égal à $x_{1}^{0},$ et $\beta _{1}$ à la constante $h$ de l’équation (5) du n^o 220.

De même $\mathrm {S} '$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}'+\mathrm {S} _{1}'{\sqrt {\mu }}+\ldots$

avec

$\mathrm {S} _{0}'=\mathrm {T} _{0}',$

$\mathrm {S} _{1}'=\int \left({\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\lambda }}}-h\right)dy_{1}+\mathrm {T} _{1}'.$

Les équations (10) deviennent alors

(11)

$\left\{{\begin{aligned}w_{k}+\theta _{k}w_{1}&=y_{k}+{\frac {d\beta }{dx_{k}^{0}}}\,y_{1}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},\\\theta _{1}w_{1}&={\frac {d\beta }{d\mathrm {C} _{2}}}\,y_{1}+{\frac {d\mathrm {S} '}{d\mathrm {C} _{2}}},\\w_{i}'+\theta _{i}'w_{1}&=u_{i}+{\frac {d\beta }{dz_{i}^{0}}}\,y_{1}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Nous sommes ainsi conduits à prendre

${\begin{aligned}\theta _{k}&={\frac {d\beta }{dx_{k}^{0}}},&\theta _{1}&={\frac {d\beta }{d\mathrm {C} _{2}}},&\theta _{i}'&={\frac {d\beta }{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Mais la difficulté provient de la circonstance suivante. Comme $\beta _{0}=x_{1}^{0}$ ne dépend pas de $\mathrm {C} _{2}$ ni de $z_{i}^{0},$ $\theta _{1}$ et $\theta _{i}'$ s’annulent pour $\mu =0$ et sont divisibles par ${\sqrt {\mu }}.$ Au contraire, ${\frac {d\mathrm {S} '}{d\mathrm {C} _{2}}}$ pour $\mu =0$ se réduit à

${\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\mathrm {C} _{2}}}$

et ne s’annule pas.

Il faut faire ensuite

${\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i}\,;&w_{i}'&=n_{i}'t+\varpi _{i}',\end{aligned}}$

les $n$ étant des constantes déterminées et les $\varpi$ des constantes arbitraires. Pour déterminer les $n,$ on opère de la façon suivante.

Quand dans $\mathrm {F}$ on remplace les $x_{i}$ et les $z_{i}$ par ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{du_{i}}},$ cette fonction $\mathrm {F} ,$ d’après la définition même de la fonction $\mathrm {S} ,$ devra se réduire à une constante ou plutôt à une fonction des constantes d’intégration $x_{k}^{0},$ $\mathrm {C} _{2}$ et $z_{i}^{0}.$ Soit donc

$\mathrm {F} =\varphi (x_{k}^{0},\mathrm {C} _{2},z_{i}^{0}),$

on aura

(12)

$\left\{{\begin{aligned}n_{k}+\theta _{k}n_{1}&=-{\frac {d\varphi }{dx_{k}^{0}}},\quad (k>1),\\\theta _{1}n_{1}&=-{\frac {d\varphi }{d\mathrm {C} _{2}}},\\n_{i}'+\theta _{i}'n_{1}&=-{\frac {d\varphi }{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

On voit que les $n$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$ Pour nous rendre compte de la forme du développement, développons la fonction $\varphi$ elle-même suivant les puissances de $\mu \,;$ il vient

$\varphi =\mathrm {C_{0}+\mu \,C_{2}+\mu ^{2}C_{4}} +\ldots .$

On a d’ailleurs

$\mathrm {C} _{0}=\mathrm {F} _{0}\left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}\right),$

d’où

${\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{k}^{0}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{k}^{0}}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}=-n_{k}^{0}-n_{1}^{0}\,{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}=-n_{k}^{0}.$

puisque $n_{1}^{0}$ est nul.

D’ailleurs on voit que

${\frac {d\varphi }{d\mathrm {C} _{2}}}=\mu$

et que le développement de ${\frac {d\varphi }{dz_{i}^{0}}}$ commence par un terme en $\mu ^{2}.$

La seconde équation (12), où le coefficient $\theta _{1}$ est divisible par ${\sqrt {\mu }}$ et le second membre par $\mu ,$ nous apprend que le développement de $n_{1}$ commence par un terme en ${\sqrt {\mu }}.$ Comme $\theta _{i}'$ est également divisible par ${\sqrt {\mu }},$ $\theta _{i}'n_{1}$ par $\mu ,$ et le second membre par $\mu ^{2}\,;$ la troisième équation (12) nous apprend que $n_{i}'$ est divisible par $\mu .$

Remarquons, d’autre part, que les équations (11) sont susceptibles de simplification. Nous avons supposé jusqu’ici que $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ étaient exprimés en fonctions des variables $y$ et $u$ et des constantes $x_{k}^{0},$ $\mathrm {C} _{2}$ et $z_{i}^{0}.$ Posons maintenant

$\beta =x_{1}^{0}+\gamma {\sqrt {\mu }}$

et supposons, ce qui revient au même, que $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ sont exprimés en fonctions des $y$ et des $u$ et des constantes $x_{k}^{0},$ $\gamma$ et $z_{i}^{0}.$ Nos équations (11) deviennent alors

(11 bis)

$\left\{{\begin{aligned}(w_{k}-y_{k})+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}(w_{1}-y_{1})&={\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},\\{\sqrt {\mu }}(w_{1}-y_{1})&={\frac {d\mathrm {S} '}{d\gamma }},\\w_{i}'-u_{i}&={\frac {d\mathrm {S} '}{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Il n’en subsiste pas moins que, si ces équations (11) et (11 bis) nous donnent implicitement nos coordonnées en fonctions des $w,$ nous ne pouvons plus les résoudre par le procédé du n^o 30, et que, par conséquent, les relations entre ces coordonnées et les $w$ sont beaucoup plus compliquées qu’au n^o 127 ou qu’aux Chapitres XI et XX.

Nous nous bornerons à remarquer ce qui suit. Que deviennent nos équations pour $\mu =0\,?$ Impliquent-elles contradiction ? Comme $n_{1}$ et $n_{i}'$ s’annulent pour $\mu =0,$ $w_{1}$ et $w_{i}'$ se réduisent à des constantes $\varpi _{1}$ et $\varpi _{i}'\,;$ de sorte que nous avons d’abord

$\varpi _{i}'-u_{i}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{dz_{i}^{0}}}\cdot$

Comme $\mathrm {T} _{0}'$ ne contient d’autres variables que les $u_{i},$ ces équations nous apprennent que les $u_{i}$ sont des constantes. Passons à la seconde équation (11 bis) et, comme $\varpi _{1}$ est une constante arbitraire, égalons-la à ${\frac {\alpha _{1}}{\sqrt {\mu }}},$ $\alpha _{1}$ étant une constante donnée et finie. La seconde équation devient

$\alpha _{1}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}$ ou ${\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}=\mathrm {const.}$

et comme $\mathrm {T} _{0}'$ ne dépend que des $u$ qui sont des constantes, elle est satisfaite d’elle-même.

Voyons maintenant ce que devient la première ; posons encore

$\varpi _{k}={\frac {\alpha _{k}}{\sqrt {\mu }}}+\alpha _{k}',$

$\alpha _{k}$ et $\alpha _{k}'$ étant des constantes finies ; remplaçons $w_{1}-y_{1}$ par sa valeur tirée de la seconde équation et écrivons les termes en ${\frac {1}{\sqrt {\mu }}}$ et les termes indépendants de ${\sqrt {\mu }}\,;$ il viendra

${\frac {\alpha _{k}}{\sqrt {\mu }}}+(\alpha _{k}'+n_{k}t-y_{k})+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\left({\frac {1}{\sqrt {\mu }}}{\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}+{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{d\gamma }}\right)={\frac {d\mathrm {S} _{0}'}{dx_{k}^{0}}}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{dx_{k}^{0}}},$

d’où

$\alpha _{k}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}=0$ ou ${\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}=\mathrm {const.} ,$

$\alpha _{k}'+n_{k}t-y_{k}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{d\gamma }}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{dx_{k}^{0}}}\cdot$

La première est satisfaite d’elle-même et la seconde nous donne $y_{k}.$

Seconde méthode.

223.On peut aussi diriger autrement les calculs et, au lieu de se servir de l’équation (5) du n^o 220, s’attaquer directement à l’équation (4 bis), qui s’écrit

(4 bis)

$\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}=\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}],$

Reprenons les notations du n^o 221 et choisissons comme variables les quantités

${\begin{array}{rrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}$

telles qu’elles ont été définies dans ce n^o 221. Voyons quelle sera la forme de l’équation (4 bis).

1^o Les deux membres de cette équation ne dépendront pas d’une manière quelconque de $\lambda _{1}$ et de $\lambda _{1}',$ mais seulement de

$m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'=y_{1},$

$m$ et $m'$ étant les entiers définis au n^o 221. En effet, on a obtenu $[\mathrm {F} _{1}]$ en supprimant dans $\mathrm {F} _{1}$ tous les termes qui dépendent de $\lambda _{1}$ et de $\lambda _{1}'$ autrement que par la combinaison $m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'.$

2^o Ils dépendent de $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'\,;$ mais ces quantités y doivent être remplacées par les constantes $\Lambda _{1}^{0}$ et $\Lambda _{1}'^{0}$ analogues aux $x_{i}^{0}.$ $\mathrm {A}$ devient ainsi une constante.

3^o Ils sont périodiques par rapport à $y_{1}$ et aux $\omega _{i}.$

4^o Ils sont développables par rapport aux puissances entières de $\varepsilon ,$ et aux puissances fractionnaires des $\rho _{i}$ qui doivent être remplacés par ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}}\cdot$

L’équation (4 bis) peut ainsi s’écrire

(4 a)

$\mathrm {H} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}},y_{1},\omega _{i}\right)=\mathrm {C} _{2}.$

Envisageons le développement de $\mathrm {H}$ suivant les puissances de $\varepsilon .$ Le terme indépendant de $\varepsilon$ se réduit à

$\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}+\mathrm {R} _{0}.$

$\mathrm {R} _{0},$ défini comme au n^o 221, est une constante qui ne dépend que de $\Lambda _{1}^{0}$ et $\Lambda _{1}'^{0}.$

Le terme en $\varepsilon$ est nul (sauf si $m+m'=\pm 1,$ cas que nous laissons de côté).

Le terme en $\varepsilon ^{2}$ se réduit à

$\mathrm {R} _{2}+2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}.$

Le premier terme qui dépend de $y_{1}$ est le terme en

$\varepsilon ^{|m+m'|}.$

Voici comment on peut traiter l’équation (4 a). Cherchons à développer $\mathrm {S} _{1}$ suivant les puissances de $\varepsilon ,$ et soit

$\mathrm {S} _{1}=\mathrm {U} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {U} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathrm {U} _{2}+\ldots .$

Développons de même $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {T} _{0},$ et soit

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{2}&=\gamma _{0}+\varepsilon \gamma _{1}+\varepsilon ^{2}\gamma _{2}+\ldots ,&\mathrm {T} _{0}&=\mathrm {V} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {V} _{1}+\ldots \,;\end{aligned}}$

en remplaçant $\mathrm {T} _{0}$ par cette valeur dans $\mathrm {R}$ et développant $\mathrm {R} ,$ il vient

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}'+\varepsilon ^{3}\mathrm {R} _{3}'+\ldots .$

Nous trouvons d’abord

$\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dy_{1}}}\right)^{2}+\mathrm {R} _{0}'=\gamma _{0},$

ce qui nous montre que ${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dy_{1}}}$ est une constante. Soit donc

$\mathrm {U} _{0}=\alpha \,y_{1},$

$\alpha$ étant une constante qui dépendra de la constante d’intégration $\gamma _{0}.$ Il vient ensuite

$2\alpha \mathrm {A} {\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dy_{1}}}=\gamma _{1},$

ce qui nous montre que ${\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dy_{1}}}$ est encore une constante. Nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que $\mathrm {U} _{1}$ et $\gamma _{1}$ sont nuls.

Il vient donc ensuite

$2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dy_{1}}}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{0}}{d\omega _{i}}}=\gamma _{2}.$

Cette équation montre que ${\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dy_{1}}}$ est encore une constante que nous pourrons encore considérer comme nulle sans restreindre la généralité et il nous restera à traiter l’équation

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{0}}{d\omega _{i}}}=\gamma _{2},$

qui montre que les ${\frac {d\mathrm {V} _{0}}{d\omega _{i}}}$ sont des constantes que nous pouvons choisir arbitrairement puisque $\gamma _{2}$ est arbitraire.

Il vient ensuite

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega _{i}}}+2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{3}}{dy_{1}}}=\gamma _{3}.$

Nous pourrons encore supposer $\mathrm {U} _{3}$ et $\gamma _{3}$ nuls sans restreindre la généralité, puis

$2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{4}}{dy_{1}}}+\mathrm {R} _{4}'=\gamma _{4}.$

Nous supposerons encore $\mathrm {U} _{4}$ nul et il restera

$\mathrm {R} _{4}'=\gamma _{4},$

qui permettra facilement de déterminer $\mathrm {T} _{2},$ car $y_{1}$ n’y entre pas.

On ira ainsi jusqu’au terme en $\varepsilon ^{|m+m'|}.$ Posons $|m+m'|=q,$ il vient alors

$2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{q}}{dy_{1}}}+\mathrm {R} _{q}'+\mathrm {M} _{q}\cos y_{1}+\mathrm {N} _{q}\sin y_{1}=\gamma _{q},$

$\mathrm {M} _{q}$ et $\mathrm {N} _{q},$ dépendant des $\omega _{i}$ et de $\mathrm {V} _{0},$ $\mathrm {V} _{1},$ $\ldots ,\,\mathrm {V} _{q-3}$ qui sont des fonctions connues des $\omega _{i},$ pourront être regardés comme connus.

Quant à $\mathrm {R} _{q}',$ on aura

$\mathrm {R} _{q}'=2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}+\mathrm {L} _{q},$

$\mathrm {L} _{q}$ étant une fonction connue des $\omega _{i}.$

Nous pourrons alors décomposer l’équation précédente en deux et écrire

${\begin{aligned}2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{q}}{dy_{1}}}&=-\mathrm {M} _{q}\cos y_{1}-\mathrm {N} _{q}\sin y_{1},\\2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}&=\gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}.\end{aligned}}$

Les seconds membres sont connus, de sorte que nous déduirons facilement de ces équations les valeurs de $\mathrm {U} _{q}$ et $\mathrm {V} _{q-2}.$ On voit que les dérivées de $\mathrm {V} _{q-2}$ sont périodiques par rapport à $\omega _{i}\,;$ nous pouvons même sans restreindre la généralité choisir $\gamma _{q}$ de façon à annuler la valeur moyenne de $\gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}.$ Alors $\mathrm {V} _{q-2}$ est lui-même périodique. Quant à $\mathrm {U} _{q},$ on voit qu’il sera périodique par rapport à $y_{1}$ et aux $\omega _{i}.$

On continuera de la sorte. En égalant les coefficients de $\varepsilon ^{p}\;(p>q),$ on trouvera

(13)

$2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{p}}{dy_{1}}}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{p-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma _{p}+\Phi ,$

$\Phi$ étant une fonction connue périodique par rapport à $y_{1}$ et aux $\omega _{i}\,;$ nous supposerons la fonction $\Phi$ développée en série trigonométrique et nous choisirons $\gamma _{p}$ de façon à annuler la valeur moyenne du second membre.

Nous poserons ensuite

$\gamma _{p}+\Phi =\Phi '+\Phi '',$

$\Phi '$ représentant l’ensemble des termes qui dépendent de $y_{1}$ et $\Phi ''$ l’ensemble des termes qui n’en dépendent pas, de sorte que

$\Phi ''=\left[\left[\gamma _{p}+\Phi \right]\right].$

Nous décomposerons alors l’équation (13) en deux en écrivant

${\begin{aligned}2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{p}}{dy_{1}}}&=\Phi ',\\2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{p-2}}{d\omega _{i}}}&=\Phi ''\,;\end{aligned}}$

ces deux équations détermineront $\mathrm {V} _{p-2}$ et $\mathrm {U} _{p}\,;$ et les deux fonctions ainsi obtenues seront périodiques.

L’équation (4 bis) du n^o 220 étant ainsi intégrée, l’équation (4) nous donnera $\mathrm {S} _{2}-[\mathrm {S} _{2}]$ et l’on formera ensuite les équations (6) et (7).

Nous allons traiter l’équation (7) comme nous avons traité l’équation (4 bis). Les deux membres de (7) étant développés suivant les puissances de $\varepsilon ,$ nous développerons de même $[\mathrm {S} _{2}]$ et $\mathrm {T} _{1}$ et nous écrirons

${\begin{aligned}{\big [}\mathrm {S} _{2}{\big ]}&=\mathrm {U} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {U} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {U} _{2}'+\ldots ,\\\mathrm {T} _{1}&=\mathrm {V} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {V} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {V} _{2}'+\ldots .\end{aligned}}$

Nous égalerons ensuite dans les deux membres de (7) les coefficients des puissances semblables de $\varepsilon ,$ et nous obtiendrons une série d’équations qui nous permettront de déterminer par récurrence les $\mathrm {U} _{i}'$ et les $\mathrm {V} _{i}'.$

En égalant les coefficients de $\varepsilon ^{p},$ on obtiendra une équation qui servira à déterminer $\mathrm {U} _{p}'$ et $\mathrm {V} _{p-2}'.$ Cette équation serait de même forme que (13), sauf que $\mathrm {U} _{p}$ et $\mathrm {V} _{p-2}$ seraient remplacés par $\mathrm {U} _{p}'$ et $\mathrm {V} _{p-2}'.$ On la traiterait donc de la même manière.

L’équation (7) étant ainsi intégrée, on continuera de la même manière.

Cas de la libration.

224.Comment le cas de la libration peut-il se présenter ?

Reprenons nos équations du numéro précédent et supposons que

$\alpha =\mathrm {U} _{0}=0.$

On poursuivra le calcul comme plus haut jusqu’à ce qu’on arrive à l’équation obtenue en égalant les coefficients de $\varepsilon ^{q}.$ On aura alors

$\mathrm {U} _{i}=0\quad \left(i=1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,{\frac {q}{2}}-1\right)$

et, si $q$ est pair, l’équation en $\varepsilon ^{q}$ pourra s’écrire

(14)

$\;\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}\right)^{2}\!+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}+\mathrm {L} _{q}+\mathrm {M} _{q}\cos y_{1}+\mathrm {N} _{q}\sin y_{1}=\gamma _{q}.$

Si nous posons, pour abréger,

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\mathrm {X}$

et si nous supprimons pour un instant l’indice ${\frac {q}{2}}$ de $\mathrm {U}$ et les indices $q$ de $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {N}$ et $\gamma ,$ il viendra

${\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}={\sqrt {\frac {\gamma -\mathrm {L} -\mathrm {X} -\mathrm {M} \cos y_{1}-\mathrm {N} \sin y_{1}}{\mathrm {A} }}}={\sqrt {\mathrm {Z} }}$

en appelant $\mathrm {Z} ,$ pour abréger, la quantité sous le radical.

L’intégrale

$\int {\sqrt {\mathrm {Z} }}\,dy_{1}$

est une intégrale elliptique de deuxième espèce. L’une de ses périodes est

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {Z} }}\,dy_{1}.$

Si $\gamma$ et $\mathrm {X}$ sont choisis de façon que $\mathrm {Z}$ soit toujours positif, cette période est toujours réelle ; nous voulons qu’elle soit constante et indépendante des $\omega _{i}.$ J’égale donc cette période à une constante donnée $h$ et j’obtiens une équation

(15)

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {Z} }}\,dy_{1}=h.$

En résolvant cette équation par rapport à $\mathrm {X} ,$ il vient

$\mathrm {X} =\gamma +\psi (\omega _{i}),$

$\psi$ étant une fonction des $\omega _{i}$ que l’on peut regarder comme donnée et qui est périodique.

Cela nous donne

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma +\psi (\omega _{i}),$

équation qui détermine $\mathrm {V} _{q-2},,$ après quoi on tirera facilement $\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}$ de l’équation (14).

C’est là le cas ordinaire.

Mais il peut se faire que $\gamma$ et $\mathrm {X}$ soient choisis de telle sorte que $\mathrm {Z}$ puisse s’annuler. Dans ce cas c’est la seconde période de notre intégrale elliptique qui est réelle. En égalant cette seconde période à une constante donnée $h,$ on obtiendra une équation (15 bis) analogue à (15). Si l’on résout par rapport à $\mathrm {X} ,$ il viendra

$\mathrm {X} =\gamma +\psi '(\omega _{i})$

ou

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma +\psi '(\omega _{i}),$

qui déterminera $\mathrm {V} _{q-2}$ puisque $\psi '$ est connue et périodique.

C’est là le cas de la libration.

On obtiendra le cas limite en écrivant que l’une des périodes de l’intégrale elliptique de première espèce correspondante est infinie, ce qui donne pour déterminer $\mathrm {V} _{q-2}$ l’équation suivante

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\mathrm {L} \gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}+{\sqrt {\mathrm {M} _{q}^{2}+\mathrm {N} _{q}^{2}}}.$

L’inconvénient de cette façon d’opérer, c’est que les expressions obtenues dans les deux cas ne sont pas la continuation analytique l’une de l’autre.

Égalons maintenant les coefficients de $\varepsilon ^{q+1},$ il viendra

(16)

$2\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+1}}{dy_{1}}}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-1}}{d\omega _{i}}}=\gamma _{q+1}+\Phi ,$

$\Phi$ étant connu et périodique.

Si nous sommes, par exemple, dans le cas ordinaire, nous devrons écrire que

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}+1}{dy_{1}}}\,dy_{1}$

est égal à une constante donnée $h$ indépendante des $\omega _{i}\,;$ nous trouverons ainsi ${\bigg (}$en posant, pour abréger, ${\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}=\mathrm {W} {\bigg )}$

(17)

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-1}}{d\omega _{i}}}=\gamma +{\frac {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {\Phi \,dy_{1}}{2\mathrm {AW} }}-h}{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dy_{1}}{2\mathrm {AW} }}}}\cdot$

Cette équation nous donnera $\mathrm {V} _{q-1}$ et l’équation (16) nous donnerait ensuite

$\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+1}.$

Les équations obtenues en égalant les coefficients des autres puissances de $\varepsilon$ seraient de même forme que (16). Il en serait encore de même des équations que l’on obtiendrait en égalant dans les deux membres de (7) les coefficients des diverses puissances de $\varepsilon .$

Toutes ces équations pourraient donc se traiter de la même manière.

Les résultats seraient absolument les mêmes si $q$ était impair ; seulement il faudrait modifier la forme du développement de $\mathrm {S} _{1}$ et écrire

$\mathrm {S} _{1}=\varepsilon ^{\frac {q}{2}}\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}+\varepsilon ^{{\frac {q}{2}}+1}\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+1}+\varepsilon ^{{\frac {q}{2}}+2}\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+2}+\ldots ,$

$\mathrm {S} _{1}$ étant ainsi développé suivant les puissances impaires de ${\sqrt {\varepsilon }}.$

Tous les résultats obtenus depuis le commencement de ce Chapitre sont bien incomplets et de nouvelles études deviendront nécessaires. Elles seraient prématurées.

Divergence des séries.

225.Nous avons vu au n^o 212 que les séries auxquelles conduit la méthode de M. Bohlin sont généralement divergentes et j’ai cherché à expliquer le mécanisme de cette divergence. Je crois devoir revenir sur ce sujet et étudier avec quelques détails un exemple simple qui fera mieux comprendre ce mécanisme. Soit

$-\mathrm {F} =p+q^{2}-2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}-\mu \varepsilon \varphi (y)\cos x,$

où $(p,x\,;\,q,y)$ sont deux paires de variables conjuguées, $\varphi (y)$ une fonction périodique de $y$ de période $2\pi$ et où $\mu$ et $\varepsilon$ sont deux constantes que je supposerai très petites.

Formons les équations canoniques

(1)

$\;\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}=1\;&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}=2q,\\{\frac {dp}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dx}}=-\mu \varepsilon \varphi (y)\sin x\,;&{\frac {dq}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=\mu \sin y+\mu \varepsilon \varphi '(y)\cos x,\end{aligned}}\right.$

d’où

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2\mu \sin y+2\mu \varepsilon \varphi '(y)\cos x.$

L’intégration de ces équations est presque immédiate quand $\varepsilon =0.$ Écrivons l’équation aux dérivées partielles de Jacobi et soit

(2)

${\frac {d\mathrm {S} }{dx}}+\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy}}\right)^{2}=2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}+\mu \varepsilon \varphi (y)\cos x+\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante. Développons $\mathrm {S}$ et $\mathrm {C}$ suivant les puissances de $\varepsilon$ et soit

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\mathrm {S} _{1}\varepsilon &{}+&{}\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}&{}+&{}\ldots .\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\mathrm {C} _{1}\varepsilon &{}+&{}\mathrm {C} _{2}\varepsilon ^{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}$

Pour $\varepsilon =0,$ l’équation (2) devient

(3)

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}+\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}\right)^{2}=2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}+\mathrm {C} _{0}.$

L’intégration, ai-je dit plus haut, est presque immédiate, et en effet, pour obtenir l’intégrale complète de (3), il suffit de prendre, en appelant $\mathrm {A} _{0}$ une constante,

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}&=\mathrm {A} _{0}\,;&\mathrm {C} _{0}&=\mathrm {A} _{0}+2h\mu \,;&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}&={\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\cdot \end{aligned}}$

$\mathrm {S} _{0}=\mathrm {A} _{0}x+{\sqrt {2\mu }}\int {\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,dy.$

Nous retombons en somme, aux notations près, sur l’exemple que nous avons traité au n^o 199. Le cas de $h>0$ correspond au cas ordinaire ; le cas de $h<0$ à celui de la libration ; le cas de $h=0$ au cas limite.

Mettons en évidence les solutions particulières remarquables.

Nous avons d’abord la solution simple

${\begin{aligned}x&=t,&p&=0,&y&=0,&q&=0,\end{aligned}}$

qui est une solution périodique. Voyons quelles sont les solutions asymptotiques correspondantes.

On les obtiendra en faisant $\mathrm {A} _{0}=h=0$ dans $\mathrm {S} _{0},$ ce qui donne

$\mathrm {S} _{0}=\mp 2{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y}{2}},$

d’où

${\begin{aligned}p&=0,&q&=\pm {\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}\,;&\mathrm {tang} {\frac {y}{4}}&=\mathrm {C} e^{\pm t{\sqrt {2\mu }}},&x&=t,\end{aligned}}$

ce qui montre que les exposants caractéristiques sont égaux à $\pm {\sqrt {2\mu }}.$

Calculons maintenant $\mathrm {S} _{1},\,\mathrm {S} _{2},\,\ldots .$

En égalant dans l’équation (2) les coefficients de $\varepsilon ,$ je trouve

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx}}+2{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy}}=\mu \varphi (y)\cos x+\mathrm {C} _{1},$

$\mathrm {C} _{1}$ étant une constante que je pourrai d’ailleurs supposer nulle sans restreindre la généralité, ou bien

(4)

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx}}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy}}=\mu \varphi (y)\cos x.$

$\mathrm {S} _{1}$ est alors la partie réelle de la fonction $\Sigma$ définie par l’équation

(4 bis)

${\frac {d\Sigma }{dx}}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\Sigma }{dy}}=\mu \varphi (y)e^{ix}\,;$

nous l’obtiendrons en posant

$\Sigma =\psi e^{ix},$

d’où

(4 ter)

$i\psi +2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=\mu \varphi .$

Pour intégrer cette équation linéaire, intégrons d’abord l’équation sans second membre qui peut s’écrire

$\alpha \psi +{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=0,$

en posant

$\alpha ={\frac {i}{2{\sqrt {2\mu }}}},$

d’où

$\psi =\mathrm {K} e^{-\alpha {\displaystyle \int }{\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}},$

$\mathrm {K}$ étant une constante. Je poserai l’intégrale elliptique

$\int {\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}=u,$

d’où

$\psi =\mathrm {K} e^{-\alpha u}$

pour l’intégrale générale de l’équation sans second membre. Pour intégrer l’équation à second membre, je regarderai $\mathrm {K}$ comme une fonction de $y,$ ce qui donne

$2{\sqrt {2\mu }}\,{\frac {d\mathrm {K} }{dy}}\,e^{-\alpha u}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}=\mu \varphi ,$

d’où

$\mathrm {K} ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi {\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi \,du,$

et enfin

(5)

$\psi =e^{-\alpha u}{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi \,du.$

Si je pose $\alpha =\beta i,$ $\beta$ sera réel, et j’aurai

(6)

$\;\mathrm {S} _{1}={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\left[\cos(\beta u-x)\!\int \!\varphi \cos \beta u\,du+\sin(\beta u-x)\!\int \!\varphi \sin \beta u\,du\right].$

Nous discuterons plus loin les expressions (5) et (6) ; montrons d’abord comment on conduirait les approximations suivantes.

On trouverait

(7)

${\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dx}}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy}}=\Phi ,$

$\Phi$ étant une fonction connue de $y$ et de $x,$ périodique par rapport à $x$ et que par conséquent nous pourrons mettre sous la forme

$\Phi ={\textstyle \sum }\,\varphi _{n}e^{nix},$

$n$ étant un entier positif ou négatif et $\varphi _{n}$ une fonction connue de $y\,;$ dans la somme du second membre le nombre des termes est limité. Si nous posons alors

$\mathrm {S} _{2}={\textstyle \sum }\,\psi _{n}e^{nix},$

$\psi _{n}$ ne dépendant que de $y,$ la fonction $\psi _{n}$ devra satisfaire à l’équation différentielle

$in\psi _{n}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi _{n}}{dy}}=\varphi _{n}.$

Cette équation étant tout à fait de même forme que (4 ter) se traitera de la même manière.

Les fonctions $\mathrm {S} _{3},\,\mathrm {S} _{4},\,\ldots$ seraient données ensuite par une équation de même forme que (7) et qui se traiterait de la même manière.

Cette méthode a été employée sous une forme assez différente par M. Gyldén dans son Mémoire du Tome IX des Acta mathematica.

Discutons maintenant les expressions (5) et (6).

Considérons d’abord le cas ordinaire où $h>0\,;$ alors $\varphi (y)$ étant une fonction périodique de $y$ sera également une fonction périodique de $u,$ dont la période sera égale à la période réelle de l’intégrale elliptique de $u.$ Je pourrai donc écrire

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}e^{im\lambda u},$

$\lambda$ étant une constante réelle dépendant de la période de l’intégrale $u$ et $m$ étant un entier.

On en déduit

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}{\frac {e^{im\lambda u}}{\alpha +im\lambda }}$

ou

$\psi =\sum {\frac {\mu \,\mathrm {A} _{m}}{i}}{\frac {e^{im\lambda u}}{1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}}},$

et enfin, si $\rho _{m}$ et $\omega _{m}$ sont le module et l’argument de $\mathrm {A} _{m},$

(8)

$\mathrm {S} _{1}={\textstyle \sum }\,\mu \rho _{m}{\frac {\sin(m\lambda u+x+\omega _{m})}{1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}}}\cdot$

On voit que chacun des termes de $\mathrm {S} _{1}$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$ On peut chercher à effectuer le développement puis à réunir en un seul tous les termes qui contiennent en facteur une même puissance de ${\sqrt {\mu }}\,;$ on obtiendra ainsi, au point de vue formel, le développement de $\mathrm {S} _{1}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ soit

(9)

$\mathrm {S} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{p}\mu ^{\frac {p}{2}}.$

On a

$\mathrm {T} _{p+2}=\left(-\lambda {\sqrt {8}}\right)^{p}{\textstyle \sum }\,m^{p}\rho _{m}\sin(m\lambda u+x+\omega _{m}).$

C’est au même résultat que l’on serait parvenu en appliquant la méthode de M. Bohlin. On aurait développé $\mathrm {S}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et l’on aurait trouvé

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}'{\sqrt {\mu }}+\mathrm {S} _{2}'\mu +\ldots +\mathrm {S} _{p}'\mu ^{\frac {p}{2}}+\ldots .$

La fonction $\mathrm {S} _{p}'$ aurait été à son tour développable suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ et le coefficient de $\varepsilon$ n’aurait été autre chose que $\mathrm {T} _{p}.$

La série $\mathrm {T} _{p}$ aurait été convergente ; en effet, si, comme je le suppose, la fonction $\varphi (y)$ est holomorphe pour toutes les valeurs réelles de $y,$ on aura

$\rho _{m}<kh_{0}^{|m|},$

$k$ et $h_{0}$ étant deux constantes positives $(h_{0}<1)\,;$ d’où il suit que la série

${\textstyle \sum }\,m^{p}\rho _{m}$

converge absolument, de même a fortiori que la série $\mathrm {T} _{p+2}.$

D' autre part, le développement (8) converge, mais il n’en est pas de même du développement (9).

Pour nous en rendre compte, il nous suffira d’envisager un exemple très particulier.

Faisons

$x={\frac {\pi }{2}},\quad u=0,\quad \omega _{m}=0,\quad \rho _{m}=\mathrm {A} ^{|m|},\quad 0<\mathrm {A} <1,\quad \lambda ={\frac {1}{\sqrt {8}}},$

il viendra

$\mathrm {T} _{p+2}={\textstyle \sum }\,(-m)^{p}\mathrm {A} ^{|m|}\quad (m\;$variant de$\;-\infty \;$à$\;+\infty ),$

ce qui montre que $\mathrm {T} _{p+2}$ est nul si $p$ est impair et égal à

$2\,{\textstyle \sum }\,m^{p}\mathrm {A} ^{m}\quad (m\;$variant de$\;1\;$à$\;+\infty ).$

Or nous avons évidemment

${\textstyle \sum }\,m^{p}\mathrm {A} ^{m}>{\textstyle \sum }\,m(m-1)\ldots (m-p+1)\mathrm {A} ^{m}={\frac {p!\,\mathrm {A} ^{p}}{\left(1-\mathrm {A} \right)^{p+1}}},$

d’où, pour $\mathrm {A} ={\tfrac {1}{2}}$ par exemple,

$\mathrm {T} _{p+2}>2(p!).$

Les termes du développement (9) sont alors nuls de deux en deux et ceux qui restent sont plus grands que les termes correspondants du développement

$2\,{\textstyle \sum }\,q!\,\mu ^{q+1},$

qui est manifestement divergent.

Ce que je viens de dire du développement de $\mathrm {S} _{1}$ s’appliquerait évidemment à celui de $5_{2}$ et des autres fonctions analogues.

Il n’y a presque rien à changer à ce qui précède dans le cas de $h<0,$ c’est-à-dire dans le cas de la libration. La seule différence est que la période réelle de l’intégrale $u,$ n’est plus

$u_{0}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {R} }}},$

mais

$u_{1}=\int _{-\beta }^{+\beta }{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {R} }}},$

en appelant ${\sqrt {\mathrm {R} }}$ le radical ${\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}$ et posant

$\beta =2\operatorname {arc~sin} {\sqrt {-h}}.$

La quantité $\lambda$ doit alors être égale non plus à ${\frac {2\pi }{u_{0}}},$ mais à ${\frac {2\pi }{u_{1}}}\cdot$

226.Le cas limite où $h=0$ présente plus d’intérêt. Dans ce cas on a

$u=\int {\frac {dy}{\sin {\dfrac {y}{2}}}}=2\log \operatorname {tang} {\frac {y}{4}},$

et en posant

${\begin{array}{c}\operatorname {tang} {\dfrac {y}{4}}=t,\\du={\dfrac {2\,dt}{t}}\cdot \end{array}}$

Soit d’abord, par exemple,

$\varphi (y)=\sin y,$

il viendra

$\varphi (y)={\frac {4t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot$

d’où

$\psi =t^{-2\alpha }{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int {\frac {4\,t^{2\alpha }(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot$

Or, en intégrant par parties, on trouve

$\int {\frac {t^{2\alpha }(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}={\frac {t^{2\alpha +1}}{1+t^{2}}}-2\alpha \int {\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},$

d’où

(10)

$\psi =4{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int {\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot$

On pourrait se proposer de développer, au moins au point de vue formel, la fonction $\psi$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ mais il vaut peut-être mieux pour cela revenir au cas général.

Quand $y$ varie de 0 à 2$\pi ,$ $u$ varie de $-\infty$ à $+\infty \,;$ $\varphi (y)$ est une fonction de $u\,;$ supposons qu’elle puisse être représentée par l’intégrale de Fourier sous la forme

$\varphi =\int _{-\infty }^{+\infty }e^{iqu}\theta (q)\,dq.$

Pour cela il suffit, puisque $\varphi (y)$ est pour toutes les valeurs réelles de $y$ analytique et périodique, il suffit, dis-je, que

$\varphi (0)=0.$

Nous trouverons alors

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int du\int _{-\infty }^{+\infty }e^{(\alpha +iq)u}\theta (q)\,dq.$

Cette formule contient en réalité une constante arbitraire, puisque les limites de l’intégration par rapport à $u$ sont indéterminées ; je disposerai de cette constante de la manière suivante :

Intervertissons l’ordre des intégrations et effectuons l’intégration par rapport à $u,$ il viendra

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int _{-\infty }^{+\infty }\left[{\frac {e^{(\alpha +iq)u}}{\alpha +iq}}\theta (q)+\eta (q)\theta (q)\right]dq,$

$\eta (q)$ étant une fonction arbitraire de $q$ introduite par l’intégration. On pourrait d’abord dans certains cas supposer cette fonction nulle, et il resterait

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{(\alpha +iq)u}\theta (q)\,dq}{\alpha +iq}}$

ou bien

(11)

$\psi ={\frac {\mu }{i}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{iqu}\theta (q)\,dq}{1+q{\sqrt {8\mu }}}}$

ou encore, en appelant $\rho$ et $\omega$ le module de l’argument de $\theta (q),$

(12)

$\mathrm {S} _{1}=\mu \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\rho \sin(qu+x+\omega )\,dq}{1+q{\sqrt {8\mu }}}},$

où $\rho$ et $\omega$ sont des fonctions de $q.$

Mais, pour que la formule (11) ait un sens, il faut que l’intégrale soit finie et pour cela que la fonction sous le signe $\textstyle \int$ ne devienne pas infinie pour $q=-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}},$ c’est-à-dire que

$\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)=0.$

Comme cela n’aura pas lieu en général, on pourrait remplacer la formule (11) par la suivante [ce qui est une autre manière de disposer de la fonction arbitraire $\eta (q)$]

(11 bis)

$\psi ={\frac {\mu }{i}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{iqu}-e^{iqu_{0}+\alpha (u_{0}-u)}}{1+q{\sqrt {8\mu }}}}\,\theta (q)\,dq,$

$u_{0}$ étant une constante arbitraire, d’où

(12 bis)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} _{1}=\mu \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\rho \,dq}{1+q{\sqrt {8\mu }}}}{\Bigg [}\sin(qu+x+\omega )&\\-\sin \left(qu_{0}+x+\ \omega +{\frac {u_{0}-u}{\sqrt {8\mu }}}\right)&{\Bigg ]}\cdot \end{aligned}}\right.$

Mais on peut encore s’en tirer d’une autre manière. En général, $\theta (q)$ sera une fonction de $q$ qui restera holomorphe si $q$ est réel ou si la partie imaginaire de $q$ n’est pas trop grande. Soit, par exemple,

$\varphi =\sin y={\frac {4\,t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot$

Comme on a, d’après la formule de Fourier,

$\theta (q)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}e^{-iuq}du,$

il vient, en remplaçant $\varphi$ et $u$ en fonctions de $t,$

$2\pi \theta (q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {4t^{-2iq}(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot$

En appliquant à cette intégrale la transformation qui nous a conduits à la formule (10), on trouve

$2\pi \theta (q)=8qi\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-2iq}\,dt}{1+t^{2}}}={\frac {8qi\pi }{e^{\frac {q\pi }{2}}+e^{-{\frac {q\pi }{2}}}}},$

d’où enfin

$\theta (q)={\frac {4qi}{e^{\frac {q\pi }{2}}+e^{-{\frac {q\pi }{2}}}}}\cdot$

On voit que $\theta (q)$ ne cesse d’être holomorphe que quand $q$ est égal à ${\sqrt {-1}}$ multiplié par un entier impair.

Cela posé, la formule

$\varphi =\int _{-\infty }^{+\infty }e^{iqu}\theta (q)\,dq$

restera vraie quand l’intégrale sera prise non plus le long de l’axe des quantités réelles, mais le long d’une courbe $\mathrm {C}$ restant au-dessus de cet axe, mais s’en éloignant assez peu pour qu’entre cette courbe et cet axe il n’y ait aucun point singulier de $\theta (q).$

Alors les formules (11) et (12) seront vraies également en prenant les intégrales le long de $\mathrm {C} \,;$ mais elles le seront sans restriction, car, quel que soit $\theta (q),$ la quantité sous le signe $\textstyle \int$ ne deviendra pas infinie le long du chemin d’intégration.

On voit tout de suite une importante propriété de la fonction $\psi$ définie par cette fonction (11). Nous avons sous le signe $\textstyle \int$ l’exponentielle $e^{iqu}\,;$ comme la partie imaginaire de $q$ est positive, si $u$ est réel, positif et très grand, le module de cette exponentielle est très petit. Donc pour $u=+\infty ,$ c’est-à-dire pour $y=2\pi ,$ $\psi$ et $\mathrm {S} _{1}$ s’annulent. On peut aussi remplacer le chemin d’intégration $\mathrm {C}$ par un autre chemin $\mathrm {C} '$ qui reste au-dessous de l’axe des quantités réelles sans s’en éloigner beaucoup, de façon qu’entre $\mathrm {C} '$ et cet axe il n’y ait aucun point singulier de $\theta .$

Les intégrales (11) et (12), prises le long de $\mathrm {C} ',$ nous donneront d’autres valeurs de $\psi$ et de $\mathrm {S} _{1}$ que je désignerai par $\psi '$ et $\mathrm {S} _{1}'$ pour les distinguer des premières.

Comme la partie imaginaire de $q$ est négative, si $u$ est réel, négatif et très grand, l’exponentielle $e^{iqu}$ aura son module très petit. Donc, pour $u=-\infty ,$ c’est-à-dire pour $y=0,$ $\psi '$ et $\mathrm {S} _{1}'$ s’annulent.

On peut se demander si $\psi$ est égal à $\psi '.$ On voit qu’entre les deux chemins d’intégration $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} ',$ la quantité sous le signe $\textstyle \int$ présente un point singulier qui est le point

$q=-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\cdot$

Ce point singulier est un pôle. La différence des deux intégrales sera donc égale à $2i\pi$ multiplié par le résidu ; ce qui donne

$\psi '-\psi =\pi {\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\,e^{\frac {-iu}{\sqrt {8\mu }}}\,\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right),$

et, en appelant $\rho _{0}$ et $\omega _{0}$ le module et l’argument de $\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right),$

$\mathrm {S} _{1}'-\mathrm {S} _{1}=\pi {\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\,\rho _{0}\cos \left(x-{\frac {u}{\sqrt {8\mu }}}+\omega _{0}\right).$

On voit que $\psi '$ n’est pas égal $\psi$ à moins que

$\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)=\theta (i\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}\,e^{\alpha u}\,du=0.$

Cherchons maintenant à développer $\psi$ et $\psi '$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ voici ce que nous obtiendrons ; soit

${\begin{aligned}\psi &={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\psi _{p},&\psi '&={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\psi _{p}',\end{aligned}}$

il viendra

$\psi _{p}$ et $\psi _{p}'=\int {\frac {e^{iqu}}{i}}\,\theta (q)\left(-q{\sqrt {8}}\right)^{p-2}dq,$

l’intégrale étant prise le long de $\mathrm {C}$ pour $\psi _{p}$ et le long de $\mathrm {C} '$ pour $\psi _{p}'.$

Mais, cette fois, la quantité sous le signe $\textstyle \int$ ne présente pas de point singulier entre $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ ; d’où il résulte que l’on a

$\psi _{p}=\psi _{p}'.$

Ainsi, bien que les fonctions $\psi$ et $\psi '$ ne soient pas égales, leurs développements formels suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ sont identiques. C’est assez dire que ces développements ne sont pas convergents.

Cela montre toutefois que si $\mu$ est considéré comme un infiniment petit du premier ordre, la différence $\psi -\psi '$ sera un infiniment petit d’ordre infini, comme est, par exemple, $e^{-{\frac {1}{\mu }}}.$

Et, en effet, dans le cas particulier où $\varphi (y)=\sin y,$ on a

$\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)={\frac {-i{\sqrt {\dfrac {\mu }{2}}}}{e^{\frac {\pi }{4{\sqrt {2\mu }}}}+e^{-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2\mu }}}}}}},$

ce qui montre que les différences $\psi -\psi '$ et $\mathrm {S} _{1}-\mathrm {S} _{1}'$ sont du même ordre de grandeur que

${\frac {1}{\sqrt {\mu }}}e^{-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2\mu }}}}}.$

227.Nous retrouverons plus loin les mêmes résultats par des moyens plus simples, mais je tenais à les présenter sous cette forme, afin de mieux faire comprendre le passage du cas ordinaire au cas limite.

Comparons en effet les formules (8) et (12). Dans la formule (8), nous avons une série où entre la quantité $m\lambda \,;$ comme $m$ est un entier, $m\lambda$ ne pourra prendre que certaines valeurs qui seront d’autant plus rapprochées les unes des autres que $\lambda$ sera plus petit. Quand $h$ tend vers zéro, la période de l’intégrale $u$ croît indéfiniment, et $\lambda$ tend vers zéro. Les valeurs de $m\lambda$ deviennent de plus en plus rapprochées et, à la limite, la série se transforme en une intégrale, ce qui conduit à la formule (12).

Mais quand $\lambda$ décroîtra ainsi d’une manière continue, il passera par certaines valeurs pour lesquelles il se produira une circonstance qui mérite de fixer l’attention.

Si $-{\frac {1}{\lambda {\sqrt {8\mu }}}}$ devient entier, l’un des dénominateurs de la formule (8)

$1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}$

s’annule et la formule devient illusoire. Et en effet un des termes de cette formule devient infini. Dans ce cas, il est aisé de voir que le terme qui devient ainsi infini doit être remplacé par

(13)

${\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\mathrm {A} _{m}ue^{-\alpha u}={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\mathrm {A} _{m}ue^{im\lambda u}$

et, en effet, on a

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\int e^{(im\lambda +\alpha )u}\,du.$

Si $im\lambda +\alpha$ n’est pas nul, l’intégrale du second membre est égale à

${\frac {e^{(im\lambda +\alpha )u}}{im\lambda +\alpha }}$

plus une constante que l’on peut supposer nulle. Mais, si $im\lambda +\alpha$ est nul, cette intégrale est égale à $u$ plus une constante que l’on peut supposer nulle.

En substituant ainsi l’expression (13) dans $\psi$ à la place du terme qui deviendrait infini, la fonction $\psi$ ne devient plus infinie, mais elle cesse d’être périodique par rapport à $u.$

228.Revenons au cas limite où $h$ est nul et supposons d’abord

$\varphi (y)=\sin y.$

La formule (10) nous donne alors

$\psi =4\,{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{0}^{t}{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}+\mathrm {C} \,t^{-2\alpha },$

$\mathrm {C}$ étant une constante d’intégration. Le premier terme est développable suivant les puissances croissantes de $t,$ pourvu que $t$ soit plus petit que 1. Il en est de même du second terme, car

${\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}={\textstyle \sum }\,t^{(2\alpha +2n)}(-1)^{n}.$

On en conclut, en effectuant l’intégration,

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\textstyle \sum }\,t^{2n+1}(-1)^{n}-i\sum {\frac {t^{2n+1}(-1)^{n}}{2\alpha +2n+1}}+\mathrm {C} t^{-2\alpha }.$

On voit ainsi que, pour $t=0,$ $\psi -\mathrm {C} t^{-2\alpha }$ s’annule. D’autre part, comme la partie réelle de $\alpha$ est nulle, l’expression $t^{-2\alpha }$ ne s’annule pas pour $t=0.$

Pour que la fonction $\psi$ s’annule pour $t=0,$ c’est-à-dire pour $u=-\infty ,$ il faut donc et il suffit que la constante $\mathrm {C}$ s’annule. La fonction que nous avons appelée $\psi '$ au n^o 226 est donc égale à

$\psi '={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot$

Je puis écrire aussi la formule (10) sous la forme

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha },$

$\mathrm {C} '$ étant une nouvelle constante.

Si nous supposons que $t$ soit plus grand que 1 et que nous développions suivant les puissances décroissantes de $t,$ il viendra

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\textstyle \sum }\,t^{-(2n+1)}-(1)^{n}+i\sum {\frac {t^{-(2n+1)}(-1)^{n}}{2n+1-2\alpha }}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }.$

Le premier et le second terme s’annulent pour $t=\infty ,$ mais il n’en est pas de même du troisième.

Pour que la fonction $\psi$ s’annule pour $t=\infty ,$ c’est-à-dire pour $u=+\infty ,$ il faut donc et il suffit que la constante $\mathrm {C} '$ s’annule. La fonction que nous avons appelée $\psi$ au n^o 226 est donc égale à

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot$

Pour que $\psi$ fût égal à $\psi ',$ il faudrait donc que l’on eût

$\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}=0,$

ce qui, comme nous l’avons vu plus haut, n’a pas lieu.

Plus généralement, supposons que $\varphi (y)$ s’annule pour $y=0,$ il viendra

$\psi =t^{-2\alpha }{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int \varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt.$

$\varphi$ s’annule pour $y=0,$ c’est-à-dire pour $t=0$ et pour $y=2\pi ,$ c’est-à-dire pour $t=\infty .$ Soit donc d’abord $t$ petit et développons $\varphi$ suivant les puissances de $t,$ soit

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n},$

d’où

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{0}^{t}\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt+\mathrm {C} t^{-2\alpha }={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}{\frac {t^{n}}{2\alpha +n}}+\mathrm {C} t^{-2\alpha },$

$\mathrm {C}$ étant une constante d’intégration. Pour que cette expression s’annule pour $t=0,$ il faut et il suffit que $\mathrm {C}$ soit nul. La fonction $\psi '$ du n^o 226 est donc égale à

(14)

$\psi '={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{0}^{t}\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\,{\frac {t^{n}}{2\alpha +n}}\cdot$

Soit maintenant $t$ très grand ; développons $\varphi$ suivant les puissances décroissantes de $t$ et soit

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}t^{-n},$

il viendra

$\psi =-{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\sum {\frac {\mathrm {B} _{n}t^{-n}}{2\alpha -n}}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }\,;$

$\mathrm {C} '$ étant une constante d’intégration. Pour que cette expression s’annule pour $t=\infty ,$ il faut et il suffit que $\mathrm {C} '$ soit nul. La fonction $\psi$ du n^o 226 est donc égale à

(15)

$\psi =-{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\sum {\frac {\mathrm {B} _{n}t^{-n}}{2\alpha -n}}\cdot$

Pour que $\psi$ fût égale à $\psi ',$ il faudrait que

$\int _{0}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt={\tfrac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi \,e^{\alpha u}\,du=0,$

c’est-à-dire que

$\theta (i\alpha )=0,$

ce qui n’a pas lieu en général.

Développons maintenant les expressions (14) et (15) suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$ On trouve

$\psi '={\frac {\mu }{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}{\frac {t^{n}}{1-in{\sqrt {2\mu }}}},$

ce qui nous donne pour le développement formel de $\psi '$

(16)

${\begin{aligned}\psi '&={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{p}'\mu ^{\frac {p+2}{2}},&\mathrm {T} _{p}'&={\frac {1}{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n}n^{p}\left({\sqrt {-2}}\right)^{p}.\end{aligned}}$

La formule (15) nous donne de même

$\psi ={\frac {\mu }{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}{\frac {t^{-n}}{1+in{\sqrt {2\mu }}}},$

d’ou

(16 bis)

${\begin{aligned}\psi &={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{p}\mu ^{\frac {p+2}{2}},&\mathrm {T} _{p}&={\frac {1}{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}t^{-n}n^{p}\left(-{\sqrt {-2}}\right)^{p}.\end{aligned}}$

Sous cette forme l’identité des deux développements n’est pas aussi immédiatement manifeste que sous la forme que nous lui avions donnée d’abord.

229.Mais il est aisé de passer de l’une à l’autre.

Nous avons, en effet,

$\theta (q)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}\,e^{-iqu}\,du.$

Je dis que $\theta (q)$ est une fonction méromorphe de $q$ qui n’a d’autre singularité que des pôles et dont les pôles sont égaux à ${\tfrac {1}{2}}i$ multiplié par un entier positif ou négatif. Écrivons, en effet,

$2\pi \theta (q)=\int _{0}^{+\infty }\varphi \,e^{-iqu}\,du+\int _{-\infty }^{0}\varphi \,e^{-iqu}\,du.$

Si la partie imaginaire de $q$ est positive, la seconde intégrale est une fonction holomorphe de $q,$ ne présentant aucune singularité ; car, pour $u=-\infty ,$ $\varphi$ et $e^{-iqu}$ s’annulent. Il peut ne pas en être de même de la première.

Si, au contraire, la partie imaginaire de $q$ est négative, la première intégrale sera une fonction holomorphe de $q,$ mais il pourra n’en pas être de même de la seconde.

Étudions donc les singularités que peut présenter la seconde intégrale quand la partie imaginaire de $q$ est négative. Supposons que cette partie imaginaire soit plus grande que $-{\frac {n}{2}}\cdot$ Reprenons le développement

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}e^{+{\frac {nu}{2}}}.$

Nous pourrons écrire

$\varphi =\mathrm {A} _{1}e^{+{\frac {u}{2}}}+\mathrm {A} _{2}e^{+u}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{+{\frac {nu}{2}}}+\mathrm {R} _{n}$

et, quand $u$ tendra vers $-\infty ,$ $\mathrm {R} _{n}\,e^{-{\frac {nu}{2}}}$ tendra vers zéro. La seconde intégrale peut s’écrire alors

$\mathrm {J} _{1}+\mathrm {J} _{2}+\ldots +\mathrm {J} _{n}+\mathrm {S} _{n},$

où

${\begin{aligned}\mathrm {J} _{\mathrm {K} }&=\mathrm {A} _{\mathrm {K} }\int _{-\infty }^{0}e^{\left({\frac {\mathrm {K} }{2}}-iq\right)u}\,du,&\mathrm {S} _{n}&=\int _{-\infty }^{0}e^{-iqu}\,du.\end{aligned}}$

L’intégrale $\mathrm {J} _{\mathrm {K} }$ n’a pas de sens par elle-même dès que la partie imaginaire de $q$ est plus petite que $-{\tfrac {\mathrm {K} }{2}}$ et l’on ne peut lui en attribuer un que par continuité analytique. On trouve alors

$\mathrm {J} _{\mathrm {K} }={\frac {\mathrm {A} _{\mathrm {K} }}{{\frac {\mathrm {K} }{2}}-iq}}\cdot$

Quant à $\mathrm {S} _{n},$ tant que la partie imaginaire de $q$ est plus grande que $-{\frac {n}{2}},$ c’est une fonction de $q$ qui ne présente aucune singularité, car la quantité sous le signe $\textstyle \int$ s’annule pour $u=\infty .$

On voit ainsi que la seconde intégrale est une fonction méromorphe de $q$ admettant pour pôles

$q=-i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}\quad (\mathrm {K}$ entier positif$)$

avec le résidu

$i\mathrm {A} _{\mathrm {K} }.$

On verrait de même que la première intégrale est une fonction méromorphe de $q$ admettant pour pôles

$q=i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}\quad (\mathrm {K}$ entier positif$)$

avec le résidu

$-i\,\mathrm {B} _{\mathrm {K} }.$

Les pôles de $\theta (q)$ sont donc

$q=\pm i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}$

avec les résidus respectifs

${\frac {\mathrm {B} _{\mathrm {K} }}{2i\pi }},$

quand on prend le signe supérieur et

$-{\frac {\mathrm {A} _{\mathrm {K} }}{2i\pi }},$

quand on prend le signe inférieur.

Reprenons alors la formule (11) et supposons que l’intégrale soit prise le long de la courbe $\mathrm {C} .$

Construisons un cercle $\mathrm {K}$ ayant pour centre l’origine et pour rayon ${\tfrac {2m+1}{4}},$ $m$ étant très grand. Soit $\mathrm {K} _{1}$ la partie de ce cercle qui est située au-dessus de la courbe $\mathrm {C} .$ Soit $\mathrm {C} _{1}$ la partie de la courbe $\mathrm {C}$ qui est intérieure au cercle $\mathrm {K} .$

Les deux arcs $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {K} _{1}$ formeront un contour fermé et l’intégrale (11), prise le long de ce contour, sera égale à $2i\pi$ multiplié par la somme des résidus relatifs aux pôles intérieurs au contour ; c’est-à-dire à la somme des $m$ premiers termes de la série (15).

On montrerait que l’intégrale (11) prise le long de $\mathrm {K} _{1}$ tend vers zéro quand $m$ croît indéfiniment ; le calcul se ferait sans difficulté, mais il est inutile puisque nous savons d’avance que la série (15) est convergente.

L’intégrale prise le long de $\mathrm {C} _{1}$ tend vers $\psi \,;$ donc $\psi$ est égal à la somme de la série (15).

Nous retrouvons ainsi le développement (14) ainsi que les développements (16) et (16 bis).

Ce qui précède suffira pour faire comprendre comment on peut passer des développements du n^o 226 à ceux du n^o 228.

230.On peut se proposer maintenant de rattacher les développements du n^o 228 à ceux du Chapitre VII.

Nous avons vu au n^o 225 que, quand $\varepsilon =0,$ les équations admettent une solution périodique simple

$x=t,\qquad p=y=q=0$

avec les exposants caractéristiques $\pm {\sqrt {2\mu }}$ et que les solutions asymptotiques correspondantes sont

${\begin{aligned}p&=0,&q&=\pm {\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}},&\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}&=\mathrm {C} e^{\pm t{\sqrt {2\mu }}},&x&=t.\end{aligned}}$

La troisième de ces équations peut aussi s’écrire

$\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}=\mathrm {C} e^{t{\sqrt {2\mu }}}$

ou

$\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}=\mathrm {C} e^{t{\sqrt {2\mu }}}$

suivant qu’on prend le signe supérieur ou le signe inférieur.

Comme les exposants caractéristiques ne sont pas nuls, les principes des Chapitres III et IV nous apprennent que, pour les petites valeurs de $\varepsilon ,$ il existera encore une solution périodique ; nous aurons encore $x=t,$ pendant que $p,$ $y$ et $q$ seront des fonctions de $t$ et de $\varepsilon ,$ développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ s’annulant avec $\varepsilon$ et périodiques de période $2\pi$ par rapport à $t.$

De même les exposants caractéristiques qui seront égaux et de signe contraire, et que j’appellerai $\pm \beta ,$ seront développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon$ (Cf. Chapitre IV) ; $\beta$ se réduira à $+{\sqrt {2\mu }}$ pour $\varepsilon =0.$

Pour les petites valeurs de $\varepsilon$ il existera également deux séries de solutions asymptotiques qui se présenteront sous la forme suivante ; pour la première série, nous aurons

(17)

${\begin{aligned}x&=t,&p&=\eta _{1},&q&=\eta _{2},&\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}&=\eta _{3},\end{aligned}}$

$\eta _{1},$ $\eta _{2}$ et $\eta _{3}$ étant des séries développées suivant les puissances de $\mathrm {C} e^{-\beta t},$ et dont les coefficients sont périodiques en $t.$

Pour la seconde série, nous aurons

(17 bis)

${\begin{aligned}x&=t,&p&=\eta _{1}',&q&=\eta _{2}',&\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}&=\eta _{3}'\,;\end{aligned}}$

$\eta _{1}',$ $\eta _{2}'$ et $\eta _{3}'$ étant des séries développées suivant les puissances de $\mathrm {C} e^{+\beta t},$ et dont les coefficients sont périodiques en $t.$

Si nous considérons maintenant ces quantités comme fonctions de $\varepsilon ,$ le n^o 106 nous apprendra que les six fonctions $\eta$ sont développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon .$

Si nous les considérons comme fonctions de µ, le n^o 104 nous apprendra que chacun des termes des six fonctions $\eta$ aura un coefficient de la forme

${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},$

$\mathrm {N}$ étant un polynôme développé suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }}$ et de $\beta$ et $\Pi$ étant un produit de facteurs de la forme

$m{\sqrt {-1}}+n\beta ,$

$m$ et $n$ étant des entiers positifs ou négatifs.

${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},$ comme nous l’avons vu au n^o 108, peut être développé suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ mais le développement est en général purement formel parce que les exposants caractéristiques s’annulent pour $\mu =0.$

Transformons maintenant les expressions (17) et (17 bis). Commençons par remplacer partout $t$ par $x.$ Résolvons ensuite l’équation

$\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}=\eta _{3}$

par rapport à $\mathrm {C} ,$ nous trouverons

$\mathrm {C} e^{\beta x}=\zeta .$

Si nous observons que, pour $\varepsilon =0,$ $\eta _{3}$ se réduit à $\mathrm {C} e^{\beta x}\,;$ nous verrons que $\zeta$ peut se développer suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$ et que ses coefficients sont périodiques en $x.$

Substituons $\zeta$ à la place de $\mathrm {C} e^{\beta x}$ dans $\eta _{1}$ et $\eta _{2}\,;$ alors $\eta _{1}$ et $\eta _{2}$ deviendront des fonctions de $x$ et de $y$ et l’expression

$\eta _{1}\,dx+\eta _{2}\,dy$

sera une différentielle exacte $d\mathrm {S} .$ Intégrons cette différentielle, nous obtiendrons une certaine fonction $\mathrm {S}$ jouissant des propriétés suivantes :

1^o Ses dérivées seront périodiques par rapport à $x.$

2^o Elle sera développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$

3^o Un terme quelconque de

${\frac {d\mathrm {S} }{dx}}=\eta _{1}$ ou de ${\frac {d\mathrm {S} }{dy}}=\eta _{2}$

se composera du cosinus ou du sinus d’un multiple de $x,$ multiplié par une puissance de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}},$ par une puissance de $\varepsilon ,$ et par un coefficient de la forme

${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},$

où $\mathrm {N}$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ de ${\sqrt {\mu }}$ et de $\beta ,$ et où $\Pi$ est un produit de facteurs de la forme

$m{\sqrt {-1}}+n\beta .$

4^o L’expression ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de ${\sqrt {\mu }}\,;$ il en est donc de même de $\mathrm {S} \,;$ seulement, tandis que le développement de $\mathrm {S}$ suivant les puissances de $\varepsilon$ est convergent, le développement suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ n’a de valeur qu’au point de vue formel.

Nous aurions pu opérer de même sur l’expression (17 bis) et nous aurions obtenu une fonction $\mathrm {S} '$ tout à fait analogue à la fonction $\mathrm {S} ,$ avec cette seule différence qu’au lieu d’être développée suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}},$ elle serait développée suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}\cdot$

J’ai dit que $\mathrm {S}$ (et $\mathrm {S} '$) est développable suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ soit donc

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon +\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots .$

Alors $\mathrm {S} _{1}$ n’est autre chose que la partie réelle de $\psi e^{ix}\,;$ et $\psi$ se présente sous la forme d’un développement procédant suivant les puissances de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}},$ c’est-à-dire suivant les puissances décroissantes de la variable que j’ai appelée $t$ au n^o 228.

Ce développement n' est autre chose que le développement (15).

Voyons ce que deviennent dans cette transformation les expressions ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}\cdot$

$\mathrm {N}$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ d’autre part, $\beta$ étant développable également suivant les puissances de $\varepsilon ,$ il en sera de même de

${\frac {1}{m{\sqrt {-1}}+n\beta }}$

et le premier terme du développement sera

${\frac {1}{m{\sqrt {-1}}+n{\sqrt {2\mu }}}}\cdot$

Supposons donc que nous ayons une expression ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ où le premier terme du développement de $\mathrm {N}$ suivant les puissances de $\varepsilon$ se réduise à ${\frac {\varepsilon \mu }{2}}\mathrm {B} _{n}$ et où le produit $\Pi$ se réduise à un seul facteur

${\sqrt {-1}}-n\beta .$

Alors le développement de ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ aura pour premier terme

${\frac {\varepsilon \mu }{2}}\,{\frac {\mathrm {B} _{n}}{{\sqrt {-1}}-n{\sqrt {2\mu }}}}=\varepsilon \,{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {\mathrm {B} _{n}}{2\alpha -n}}\cdot$

Ainsi s’explique, dans le développement (15), la présence du coefficient

${\frac {\mathrm {B} _{n}}{2\alpha -n}}\cdot$

De même $\mathrm {S} '$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ ce qui donne

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} _{0}'+\mathrm {S} _{1}'\varepsilon +\ldots \,;$

$\mathrm {S} _{1}'$ est la partie réelle de $\psi 'e^{ix},$ et $\psi '$ se présente sous la forme d’un développement procédant suivant les puissances de $t$ et qui n’est autre chose que le développement (14).

231. Les fonctions $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ se présentent sous la forme de développements. Le développement de $\mathrm {S}$ procédant suivant les puissances de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}},$ n’est convergent que quand $y$ est voisin de $2\pi \,;$ celui de $\mathrm {S} ',$ procédant suivant les puissances de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}},$ n’est convergent que quand $y$ est voisin de zéro. Mais on peut, par continuité analytique, définir $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ pour des valeurs de $y$ quelconques ; on peut « continuer » ainsi ces fonctions de telle façon qu’elles soient définies toutes deux pour les valeurs de $y$ comprises entre $y_{0}$ et $y_{1},$, $y_{0}$ et $y_{1}$ étant elles-mêmes comprises entre 0 et 2$\pi .$

On peut se demander si dans ce champ où elles sont définies toutes deux, les fonctions $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ sont égales. La réponse doit être négative. En effet, si l’on avait identiquement

$\mathrm {S} =\mathrm {S} ',$

les termes des développements convergents de $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} ',$ suivant les puissances de $\varepsilon ,$ devraient être égaux et l’on devrait avoir en particulier

$\mathrm {S} _{1}=\mathrm {S} _{1}',$

et par conséquent

$\psi =\psi '.$

Or nous avons vu dans les numéros précédents que $\psi$ n’est pas égal à $\psi '.$

Ainsi $\mathrm {S}$ n’est pas égal à $\mathrm {S} '\,;$ on peut tirer de là une conséquence importante. Nous savons que $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ sont développables formellement suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ soient

(18)

$\left\{{\begin{array}{r}\mathrm {S} =\mathrm {T} _{0}+\mathrm {T} _{1}{\sqrt {\mu }}+\mathrm {T} _{2}\mu +\ldots ,\\\,\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\\mathrm {S} '=\mathrm {T} _{0}'+\mathrm {T} _{1}'{\sqrt {\mu }}+\mathrm {T} _{2}'\mu +\ldots ;\end{array}}\right.$

ces développements peuvent s’obtenir, soit par les procédés des n^os 207 à 210, soit en partant des séries (17) et (17 bis), les développant suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ (Cf. n^o 108) et les traitant ensuite comme je l’ai fait au numéro précédent.

La fonction $\mathrm {T} _{i}$ est, pour $y$ voisin de $2\pi ,$ développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$ et la fonction $\mathrm {T} _{i}',$ pour $y$ voisin de zéro, se développe suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}\cdot$ Cette propriété est caractéristique. La fonction $\mathrm {S}$ est la seule, en effet, qui soit développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$ et qui satisfasse à l’équation (2) ; de même $\mathrm {S} '$ est la seule fonction qui soit développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}$ et qui satisfasse à l’équation (2).

D’autre part, les n^os 207 à 210 nous apprennent que les fonctions $\mathrm {T} _{i}$ peuvent être mises sous la forme de séries procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de ${\frac {y}{2}}\cdot$ Elles sont donc développables à la fois suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$ pour $y$ voisin de $2\pi ,$ et suivant celles de $\varepsilon$ et de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}$ pour $y$ voisin de zéro.

On a donc

$\mathrm {T} _{i}=\mathrm {T} _{i}'.$

Si donc les développements (18) étaient convergents, on aurait

$\mathrm {S} =\mathrm {S} '.$

Donc les développements (18) divergent.

Donc les développements du n^o 108, d’où on peut les tirer, ne convergent pas non plus.

(Cf. Tome I, p. 351, lignes 3 sqq., et Tome II, p. 392, ligne 13.)

232. J’ai supposé, dans ce qui précède, que $\varphi (y)$ s’annule pour $y=0.$ Cette restriction n’a rien d’essentiel. Si $\varphi (0)$ ne s’annulait pas et était égal par exemple à $\mathrm {A} _{0},$ il suffirait d’ajouter aux développements (14) et (15) un terme

${\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {\mathrm {A} _{0}}{2\alpha }},$

et d’ajouter la même constante aux intégrales (11) qui définissent $\psi$ et $\psi '.$

J’ai insisté assez longuement sur cet exemple, qui non seulement me permettait de démontrer la divergence des séries des n^os 108 et 207, mais qui présentait encore d’autres avantages.

D’abord il montrait comment on peut passer des développements analogues à ceux du n^o 225 à des développements analogues à ceux du n^o 104, en passant par l’intermédiaire des développements des n^os 226 et 228.

Ensuite les singularités que j’ai signalées dans les lignes qui précèdent sont la première indication de l’existence des solutions périodiques du deuxième gendre et doublement asymptotiques, sur lesquelles de me réserve de revenir plus tard.

FIN DU TOME DEUXIÈME.