CHAPITRE XXI.
EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.
Extension au problème du no 134.
219.J’ai expliqué au début du Chapitre XI quelles étaient les
difficultés particulières que présente le problème des trois Corps.
Ces difficultés proviennent de ce fait, que toutes les variables de
la première série, c’est-à-dire les variables
ne figurent pas dans
la fonction
Nous avons vu dans les Chapitres XI et XIII comment on peut
se tirer de cette difficulté et construire néanmoins une fonction
développée suivant les puissances de
satisfaisant à l’équation
de Jacobi
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90506e8016f7bbafa448a2e3f664b86119f4c1ad)
et telle que ses dérivées par rapport aux
soient des fonctions
périodiques des ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
Cette fonction
dépend en outre de
constantes d’intégration,
par exemple des
quantités
![{\displaystyle n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8bb1236d61c1eaf81a094770812eddb17a2ce4)
Si l’une des combinaisons linéaires
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35467c131507e39ce6595a58d93419089faef15f)
est très petite et de l’ordre de grandeur de
nous pourrons
poser, comme nous l’avons fait au no 211,
![{\displaystyle n_{i}=\alpha _{i}^{0}+\alpha _{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{i}^{2}\mu +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c2bd5e2d09c0b42733776f3e4aacb03fb06e9c)
les
étant de nouvelles constantes, et supposer que
![{\displaystyle m_{1}\alpha _{1}^{0}+m_{2}\alpha _{2}^{0}+\ldots +m_{n}\alpha _{n}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b01fcff9af16df4e120936ace0228c53e061d5)
Ordonnons ensuite chacun des termes de
suivant les puissances
croissantes de
et groupons ensemble les termes qui
contiennent en facteur une même puissance de
chacun des
groupes de termes ainsi obtenus devra jouir de la même propriété
que la fonction
elle-même, c’est-à-dire que leurs dérivées seront
des fonctions périodiques des
On peut donc prévoir que la méthode de M. Bohlin est encore
applicable aux cas où
ne dépend pas de toutes les variables de
la première série et, en particulier, au problème des trois Corps.
Mais l’application soulève quelques questions délicates et je suis
obligé d’insister.
220.Imaginons donc que
ne dépende pas de toutes les
variables de la première série. Pour mettre ce fait en évidence,
j’appellerai les variables de la première série
![{\displaystyle x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{p},\quad z_{1},\quad z_{2},\quad \ldots ,\quad z_{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096fb20f2ca2867a70077e31eb5861b2f661e5b1)
et les variables correspondantes de la deuxième série
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{p},\quad u_{1},\quad u_{2},\quad \ldots ,\quad u_{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55691458ef375ac19411737de0ec163fb5fbcdd1)
et je supposerai que
dépend de tous les
mais ne dépend
pas des ![{\displaystyle z_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2eba33123b585ec2ce4d0b15fc71d0023f8509)
Je me propose de former une fonction
des
et des
qui
satisfasse à l’équation de Jacobi
(1)
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où je suppose que dans le premier membre les variables de la
première série
et
ont été remplacées par les dérivées correspondantes
et ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{du_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5462712ab233ccefb31e92e0987f3b27bbea5bbd)
Je veux également que la fonction
soit développable suivant
les puissances de
et que ses dérivées soient périodiques par
rapport aux
et aux
En faisant
l’équation (1) devient
(2)
|
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ce qui nous apprend que
est de la forme
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+\mathrm {T} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a76eaa01ccf436f252011bca455546adf695e2)
ne dépendant que des ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Nous poserons
![{\displaystyle n_{i}^{0}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c65883f455fdc42fdd068d04ae3f2f6ee26e88)
S’il n’y a entre les
aucune relation linéaire à coefficients
entiers, il n’y a pas de difficulté, les calculs du Chapitre XI sont
applicables et l’on peut former la fonction
qui ne contiendra
d’ailleurs que des puissances entières de
car les termes contenant
des puissances impaires de
disparaissent.
Supposons donc qu’il y ait entre les
une relation linéaire, et soit
![{\displaystyle n_{i}^{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53878b03e3741d6b819d67a937120e9bb8875038)
cette relation ; ce que je puis supposer, car dans le cas contraire,
j’appliquerais le changement de variables du no 202.
Avant d’aller plus loin, introduisons une notation nouvelle.
Soit
une fonction périodique quelconque des
dépendant en
outre de
je désignerai par
![{\displaystyle [\mathrm {U} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256c1fd11e623b2e2410c62506f9fd6a72c5b384)
la valeur moyenne de
considérée comme fonction de
et par
![{\displaystyle [[\mathrm {U} ]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca0c3c89f6a33ae51645b288b0949058084adbd)
la valeur moyenne de
considérée comme fonction de
![{\displaystyle \ldots ,\,y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5f207aa775e60f598099ca1b341d4f700da059)
Il résulte de cette définition que
est une fonction de
et
des
tandis que
n’est fonction que des
Si nous supposons que
au lieu d’être une fonction périodique
des
est une fonction telle que ses dérivées soient périodiques,
de telle sorte que
![{\displaystyle \mathrm {U} =x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+\mathrm {U} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b3f933b6d14898e0ab4329eff001d4452db070)
étant périodique et les
étant des constantes ; nous poserons
![{\displaystyle [\mathrm {U} ]=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+[\mathrm {U} '],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1b48b082a65e8ea3ecee01da3d095d35beabcc)
et
![{\displaystyle [[\mathrm {U} ]]=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+[[\mathrm {U} ']].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627078dcada47542cc9f8acf49f80600afe00391)
Cela posé, reprenons les équations (3) de la page 343. La première
de ces équations n’est autre chose que l’équation (2) que
nous venons de considérer.
La seconde nous apprend que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S_{1}} }{dy_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61410f603e51b339aadf8433fb06b4fd6fc8445e)
sont des constantes ; nous pouvons, sans restreindre la généralité,
supposer que ces constantes sont nulles ; c’est là en effet reprendre
les hypothèses (9) de la page 348.
Alors
n’est plus fonction que de
et des
de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=[\mathrm {S} _{1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f063d140f4e9172a0b8479140639e10a2d280aac)
Considérons maintenant la troisième équation (3).
La fonction
qui figure au second membre n’est autre chose
que
Le second terme du premier membre se rôdai t à
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{{dx_{1}^{0}}^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96448d426343ab02025ac12c02930369cf9a103a)
parce que les autres
sont nuls.
Posons
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{{dx_{1}^{0}}^{2}}}=\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a075e8ea21f5223b1ca6e920e11fcb8bd83487)
l’équation devient alors
(4)
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Seulement il importe de remarquer qu’ici la fonction
n’est pas
connue ; elle dépend en effet des
des
des
et des
et l’on
doit y remplacer les
par les
qui sont connus, et les
par les
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{0}}{du_{i}}}={\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c580d4f6faac9d241995220393c5cef96694d9b4)
qui ne le sont pas.
Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres
par rapport à
D’abord les
se réduisent à
des constantes, et je puis supposer, sans restreindre la généralité, que ces constantes sont nulles ; car c’est reprendre les hypothèses (10) de la page 349.
D’autre part,
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right]^{2}=\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e619c1f4e9d80dc39fc947925c83c59e64d9dd)
puisque
ne dépend pas de
![{\displaystyle ...,\,y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc5a74c880bbcabebe4ee7c8cfb0a3e6d119804)
Enfin il importe de remarquer que, dans le calcul de la valeur
moyenne de
on peut opérer comme si les fonctions
(qu’on
doit y substituer à la place des
) étaient des constantes, puisque
ces fonctions ne dépendent pas de
Il vient donc
(4 bis)
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d’où
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}={\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\mathrm {A} }}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7b86bb252c8f35874406a4820a3049499a4998)
Prenons maintenant les valeurs moyennes des deux membres
par rapport à
il viendra
![{\displaystyle \left[\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right]\right]=\left[\left[{\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\mathrm {A} }}}\right]\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179722bd5e6ff56d7af52114449b9eec0dfd347d)
Si
est une fonction dont les dérivées sont périodiques, le premier
membre se réduira à une constante que j’appelle
On doit donc avoir
![{\displaystyle \left[\left[{\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\mathrm {A} }}}\right]\right]=h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122d2973968cfb2b11249040d6ca7d18700c0b4f)
ou
(5)
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Le premier membre dépend des
et en outre des dérivées
qui entrent dans
C’est donc une équation aux dérivées partielles
qui définit
Nous définirons cette fonction
de telle
façon que ses dérivées soient périodiques. Nous pourrons écrire l’équation (5) sous la forme
(5 bis)
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Tout est donc ramené à l’intégration de cette équation (5 bis) ; j’y
reviendrai plus loin ; supposons cette intégration possible et soit
![{\displaystyle \mathrm {T} _{0}=z_{1}^{0}u_{1}+z_{2}^{0}u_{2}+\ldots +z_{q}^{0}u_{q}+\mathrm {T} _{0}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d174e202049fdadec6fe8f209c5736bb580cd1e3)
une solution complète de cette équation contenant les
constantes
d’intégration
Je suppose, bien entendu, que
est une fonction
des
et des constantes
périodique par rapport aux ![{\displaystyle u_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f89c186305a7404fa27735b8db0514aa6d3447)
étant ainsi déterminé, nous pouvons calculer
et, par
conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}-[[\mathrm {S} _{1}]].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636c91d763d084dbdcf2c8a14a99b4480dce5913)
Nous pouvons donc écrire
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\mathrm {S} _{1}'+\mathrm {T} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856b3071f4c034d106137aa376ba1ec2d7607b68)
étant une fonction connue de
et des
et
une fonction
encore inconnue des ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
L’équation (4) nous donne ensuite
![{\displaystyle -{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}=[\mathrm {F} _{1}]-\mathrm {F} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bcdef3832e20c00cd181e9ee4a2d58550c36b1)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{2}-[\mathrm {S} _{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c06707712ad29efabe3f48f246a37b71c56f10)
Considérons maintenant la quatrième équation (3).
Dans le second terme du premier membre, les
sont connus,
à l’exception de
ce second terme peut donc s’écrire
![{\displaystyle 2\mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf865be7e4bb97fa7ce231ecf87586e202f1d26)
D’autre part, j’ai, à la page 343, désigné le second membre par
parce qu’il était entièrement connu. Mais ici, il n’en est plus de
même parce que ce second membre dépend des
et, par conséquent, des
que nous ne connaissons pas. Il est aisé de voir
que ce second membre sera de la forme
![{\displaystyle -\sum {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd0ec9982f1231faaae00c074f41f901352939f)
étant connue.
Notre équation s’écrit donc
(6)
|
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|
Il va sans dire que, dans
les
et les
doivent être remplacés
respectivement par les
et les
Prenons les valeurs moyennes des deux membres par rapport
à
Nous pouvons supposer, comme plus haut, que
les valeurs moyennes des
sont nulles ; il viendra alors
(7)
|
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Nous tirons de là
![{\displaystyle {\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{1}}}={\frac {\Phi -{\displaystyle \sum {\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}}}{2\mathrm {A} \,{\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea79486cf1cda0777eec3155be8c4643eaa98789)
Les deux membres de cette équation dépendent de
et des
la valeur moyenne du premier membre doit se réduire à une constante
à laquelle je puis, sans restreindre la généralité, attribuer
une valeur arbitraire, par exemple la valeur zéro ; on doit donc avoir
![{\displaystyle \left[\left[{\frac {\Phi -{\displaystyle \sum {\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}}}{2\mathrm {A} {\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}}}\right]\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51eff78ca09c4068a94c1cc73f162fc816b62b2)
ce que je puis écrire
(8)
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ou bien encore
(8 bis)
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est une fonction des
et des
périodique par rapport aux
quand on y remplace les
par les
on obtient le premier
membre de (5 bis) ; de même dans (8 bis), je suppose que dans les
dérivées
les
ont été remplacés par les
L’équation (8 bis) doit déterminer
je vais montrer que l’intégration
en est aisée quand on sait intégrer (5 bis).
En effet, si nous savons intégrer (5 bis), nous connaîtrons une
fonction
dépendant des
et de
constantes
et telle que si
l’on substitue ses dérivées dans
à la place des
cette fonction
se réduise à une constante par rapport aux
c’est-à-dire à une
fonction des
que j’appelle
![{\displaystyle \theta (z_{1}^{0},z_{2}^{0},\ldots ,z_{q}^{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921283fab18ea0b9a98f88e62e923cef2e1f3445)
Nous poserons d’autre part
(9)
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Nous aurons ainsi
relations entre les
quantités
de sorte que nous pourrons prendre pour variables indépendantes,
soit les
et les
soit les
et les
soit les
et
les
Pour éviter toute confusion, nous représenterons les dérivées
par la lettre
lorsque nous prendrons pour variables les
et
les
ou bien les
et les
et par la lettre
lorsque nous prendrons
pour variables les
et les
Dans l’équation (8 bis),
doit être considéré comme exprimé
à l’aide des
et des
car ce n’est qu’après la différentiation
qu’on remplace les
par les
Au contraire,
est une fonction
des
![{\displaystyle u_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f13cb025ff2e136dcbd2fc81ddf965b728e3d7)
dépendant en outre des constantes d’intégration
Avec notre nouvelle notation, l’équation (8 bis) doit donc s’écrire
![{\displaystyle \sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {T} _{1}}{\partial u_{i}}}=\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b724023e7f36b82c53a7b80986cf74ba741460d)
D’autre part, on a identiquement
![{\displaystyle \theta =\Theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4f1f5722185540d904a05b9cafc9436353d173)
et, comme
ne dépend que des ![{\displaystyle z_{i}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5c71f78d9249ae3c52ee9c98442c89c6ab1ea0)
![{\displaystyle {\frac {\partial \Theta }{\partial u_{i}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ab831dd4199eea14db4affd44495bb891b47e8)
Cette équation peut encore s’écrire
![{\displaystyle {\frac {d\Theta }{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b5d9c401cbba02db6e6a4b6599a9338eb1a38a)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {T} _{1}}{\partial u_{i}}}={\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44ba147c3d2dd69dcb0ba9014d633ef911e3f60)
On trouve alors successivement en transformant (8 bis)
![{\displaystyle \sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=\Phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ff56ce9149fb7cf1c1a5a6137278cbfb81f267)
ou, par permutation d’indices,
![{\displaystyle \sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{k}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=\Phi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98b0d1d784a26617697a2121547638508119b43)
car
![{\displaystyle {\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}={\frac {\partial z_{i}}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {T} _{0}}{\partial u_{i}\,\partial u_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab81c5521406260564c35be258a2ece03df0da1)
d’où
![{\displaystyle \sum \left({\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}-{\frac {d\Theta }{du_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}}}\right)=\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d78128559cfa6990ae0d4b03ef144e1cbdab04)
ou, en prenant pour variables les
et les ![{\displaystyle z_{i}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5c71f78d9249ae3c52ee9c98442c89c6ab1ea0)
![{\displaystyle \sum \left({\frac {d\Theta }{dz_{i}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}^{0}}}-{\frac {d\Theta }{du_{i}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}^{0}}}\right)=\Phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aecca2e0cfbb13c867a4494a678847916ca6813)
Comme
se réduit à
qui ne dépend pas des
il vient enfin
(8 ter)
|
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doit être exprimé en fonction des variables
et des constantes
d’intégration
Comme les dérivées de
ne dépendent
que des constantes
ce sont aussi des constantes. Il en résulte
que l’équation (8 ter) étant à coefficients constants s’intègre
immédiatement.
est périodique par rapport aux
il arrivera souvent que la
forme de la fonction
et des équations (9) sera telle que les
seront des fonctions uniformes des
et inversement. Alors les
différences
seront des fonctions périodiques soit des
soit des
Alors
qui est périodique par rapport aux
le sera également
par rapport aux
On pourra alors intégrer l’équation (8 ter)
de telle façon que les dérivées
soient périodiques par rapport
aux
ou, ce qui revient au même, de façon que les dérivées
soient périodiques par rapport aux
ou bien encore que
augmente d’une constante quand
augmente de
L’équation (8) étant ainsi intégrée, l’équation (7) nous donnera
de sorte que nous pourrons écrire
![{\displaystyle \mathrm {S} _{2}=\mathrm {S} _{2}'+\mathrm {T} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d1be6eaeccba9e12e428cdd59491caff72807d)
étant une fonction entièrement connue des
et des
et
une fonction inconnue ne dépendant que des ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
L’équation (6) peut alors s’écrire
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}=\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debd1b2491cc73117e602f31ad57f14aa2b6edbb)
et elle détermine
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{3}-[\mathrm {S} _{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1fb6763ae912b65788aa0928da9cdadf36d347)
et ainsi de suite.
Extension au problème des trois Corps.
221. Tout se trouve ainsi ramené à l’intégration de
l’équation (5). Voyons donc quelle est, dans le cas du problème des trois Corps, la forme de cette équation. Elle s’écrit
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}}\,dy_{1}=2\pi \mathrm {A} h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c23a47b9ce3609f661e216bea3537a1ea8f30ab)
Mais quelle est la forme de
?
Nous choisirons pour variables les quantités
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d36003f7f42427c8efc3e02e354ae5b7a2e853)
définies à la page 87, auxquelles nous devrons adjoindre, si les trois
corps ne se meuvent pas dans un même plan, les variables
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}p,&p',\\q,&q',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c958fa4a7856ffded514676113c8cd4934b30c50)
définies tome I, page 30.
Alors la fonction
sera développée suivant les puissances positives
de
et suivant les sinus et cosinus
des multiples de
et
Un terme en
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}\cos \\\sin \end{array}}\left(m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99845940e6b7fa9cfe4b7ec39c9e8167bc38d922)
devra contenir en facteur un monome dont le degré par rapport
aux variables
sera au moins égal à
et
n’en pourra différer que d’un nombre pair. Enfin
ne dépendra
que de
et ![{\displaystyle \Lambda _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b731e51fd52e24a87cfcf3b748c6a068cd34722d)
Cela posé, imaginons que l’on ait
![{\displaystyle m\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{1}^{0}}}+m'\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{1}'^{0}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce21ff2bd42388b7075c156ad80ebb60d57ef4f)
et
étant deux entiers ;
et
deux constantes auxquelles
nous égalerons
et
analogues par conséquent aux constantes
que nous désignions par
dans le numéro précédent.
Nous poserons alors
![{\displaystyle m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'=y_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e005c83e181ee1954384a7f531b60de3219db7dc)
et pour former
nous n’avons qu’à supprimer dans
tous
les termes qui dépendent de
ou de
sauf ceux qui ne dépendent
que de ![{\displaystyle y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77980ab892b099a782ffcffee3c0a7addf130dde)
Pour mettre en évidence le degré de chaque terme par rapport
aux excentricités et aux inclinaisons, remplaçons partout
![{\displaystyle \xi _{1},\quad \eta _{1},\quad \xi _{1}',\quad \eta _{1}',\quad p,\quad q,\quad p',\quad q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63bce85cc4fc7808f3286959bfd3ba9b69d98115)
par
![{\displaystyle \varepsilon \xi _{1},\quad \varepsilon \eta _{1},\quad \varepsilon \xi _{1}',\quad \varepsilon \eta _{1}',\quad \varepsilon p,\quad \varepsilon q,\quad \varepsilon p',\quad \varepsilon q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be956ad5195b2b0809df99d3ae5f3c8bd9eebdb)
et rendons-nous compte du degré de chacun des termes de
par
rapport à ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
Nous aurons
![{\displaystyle [\mathrm {F} _{1}]=\mathrm {R} +\mathrm {R} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecef545c68a4d119730158b06d7a01831f7602b3)
où
est l’ensemble des termes indépendants à la fois de
et de
de telle sorte que
![{\displaystyle \mathrm {R} =\left[\left[\mathrm {F} _{1}\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de49e1622961851066cf9df993ec5744c6cce5d)
et où
est l’ensemble des termes dépendant de
et de
seulement.
est alors développable suivant les puissances de
et nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}+\varepsilon ^{4}\mathrm {R} _{4}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76e9a77f95d23efa16f0f265f4639372d5f968c)
Quant à
il est divisible par
![{\displaystyle \varepsilon ^{\left|m+m'\right|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cf44c2d805dc3a1e792562fdc35b2e8596ec12)
On aura, en général,
![{\displaystyle |m+m'|>2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3bbf6b98ed2ec4864be2c64c83a39cf8641158)
de telle sorte que l’on peut poser
![{\displaystyle \mathrm {R} '=\varepsilon ^{3}\mathrm {R} ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8ea234338c258e8a98ddabb398d820e1f54ba7)
ne dépend que de
et
et peut être regardé comme une
constante ; je puis donc poser
![{\displaystyle \mathrm {C} _{2}=\mathrm {R} _{0}+k_{0}^{2}+\varepsilon ^{2}k_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b496cbc2eed3a63fc40c779592059b84f5b48a24)
et en même temps
![{\displaystyle \mathrm {A} h=k_{0}+\varepsilon ^{2}k_{1}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121d5ae5cf87a9acbcb85cbcb95cfaf273f628da)
de telle sorte que l’équation (5) devient
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!\!{\sqrt {k_{0}^{2}+\varepsilon ^{2}k_{1}-\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}-\varepsilon ^{3}\mathrm {R} ''-\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{4}-\ldots }}\,dy_{1}=2\pi (k_{0}+\varepsilon ^{2}k_{1}'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143e83980fb5056b0bc1319964e4b8064b29d1ce)
où, en développant le radical suivant les puissances de
réduisant et divisant par ![{\displaystyle 2\pi \varepsilon ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef6b9865b337df57e2de6de02214ca89b276796)
![{\displaystyle {\frac {k_{1}-\mathrm {R} _{2}}{2k_{0}}}+\varepsilon \,\mathrm {Z} =k_{1}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7dd45af8bb19741d26c80b55b53802178fa9de9)
représente une fonction développable suivant les puissances
positives de
des
des
des
et des ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
En posant enfin
![{\displaystyle k_{1}-2k_{0}k_{1}'=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cffb43b9e6f794cf68f96899a3497238eb2ee5)
il vient
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}-2\varepsilon k_{0}\mathrm {Z} =\mathrm {K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6273a69418b2532c62cd096347d0b3fb97256ab1)
La fonction
est la même qui a été désignée ainsi page 40
(sauf que les lettres
et
sont affectées de l’indice 1). Nous pourrons
alors définir absolument comme au no 131 les variables
et
(en les formant toutefois avec les
et les
au lieu de les
former avec les
et les
), et je prendrai pour variables nouvelles
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99283049b570fcb30c8c0fa0f10c0490bf7a25ca)
Alors
se réduit à
![{\displaystyle 2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ed2655870a748d58d425bde3916fd99ac71a3d)
(Cf. p. 44).
Remplaçons
par
nous aurons finalement à intégrer
l’équation
(5 ter)
|
|
|
Le premier membre
est périodique par rapport aux
il est
développable suivant les puissances de
et, quand on y fait
il se réduit à
et ne dépend plus des
mais seulement des
Nous pouvons donc appliquer les procédés du no 125.
L’intégration de l’équation (5) à laquelle nous avions ramené le problème est donc possible.
Le cas où
pi
![{\displaystyle \pm 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5535e5dda77acfaf4c88d62923ff40b40175c91d)
se traiterait d’une manière analogue ; le cas où
![{\displaystyle m+m'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8426f98b76d6956a135d93fff9bccb50d903c308)
d’où
![{\displaystyle \Lambda _{1}^{0}=\Lambda _{1}'^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27429b216f374a1c41e16d7d3d1636948a7bf434)
c’est-à-dire celui où les deux grands axes diffèrent très peu, présente
des difficultés spéciales.
Discussion des séries.
222.Reprenons les notations du no 220 et supposons que l’on
ait déterminé la fonction
par les procédés de ce numéro. Le
problème n’est pas encore entièrement résolu. Il faut encore
former les équations
(10)
|
|
|
où les
et les
seront des fonctions convenablement choisies des
constantes
et
puis résoudre ces équations pour obtenir
les
les
les
en fonctions des
des
des
des
enfin remplacer les
et les
par des fonctions linéaires du
temps dont les coefficients seront convenablement choisis. On
obtiendra ainsi les expressions des coordonnées
en fonctions
du temps.
Voyons d’abord quelle sera la forme des équations (10).
La fonction
ayant ses dérivées périodiques peut s’écrire
![{\displaystyle \mathrm {S} =\beta y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+x_{3}^{0}y_{3}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+z_{1}^{0}u_{1}+\ldots +z_{q}^{0}u_{q}+\mathrm {S} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db344693423f74bdcd80a46067df1fe541a52429)
étant une constante indépendante des
et des
et
étant
périodique par rapport aux
et aux
Les coefficients de
et de
peuvent, sans que la généralité s’en trouve restreinte, être
supposés égaux à
et à
c’est là, en effet, reprendre les
hypothèses (10) de la page 349.
Quant à
il est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \beta =\beta _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\beta _{1}+\mu \,\beta _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618f0408d4d6c3dac9de4deb7526864a0894c849)
est égal à
et
à la constante
de l’équation (5) du no 220.
De même
est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}'+\mathrm {S} _{1}'{\sqrt {\mu }}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e7da257df950a5ae39975d8e9d494645444e89)
avec
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}'=\mathrm {T} _{0}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a0846f1798750bc6434c89531943b135e87ab1)
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}'=\int \left({\sqrt {\frac {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}{\lambda }}}-h\right)dy_{1}+\mathrm {T} _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d6a7c6b89e69970cb935d53e4c3cb3d0fd1a37)
Les équations (10) deviennent alors
(11)
|
|
|
Nous sommes ainsi conduits à prendre
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{k}&={\frac {d\beta }{dx_{k}^{0}}},&\theta _{1}&={\frac {d\beta }{d\mathrm {C} _{2}}},&\theta _{i}'&={\frac {d\beta }{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881cb1a7cb4db4ce8171a1f0896142a8ab600c97)
Mais la difficulté provient de la circonstance suivante. Comme
ne dépend pas de
ni de
et
s’annulent pour
et sont divisibles par
Au contraire,
pour
se réduit à
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\mathrm {C} _{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1c95457f3ddf9ab26452764b298860517ddb19)
et ne s’annule pas.
Il faut faire ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i}\,;&w_{i}'&=n_{i}'t+\varpi _{i}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ab0c492d8b8d9e8c0bc3f280b91ebe4d19f1d5)
les
étant des constantes déterminées et les
des constantes arbitraires.
Pour déterminer les
on opère de la façon suivante.
Quand dans
on remplace les
et les
par
et
cette
fonction
d’après la définition même de la fonction
devra se
réduire à une constante ou plutôt à une fonction des constantes
d’intégration
et
Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {F} =\varphi (x_{k}^{0},\mathrm {C} _{2},z_{i}^{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb74b697f9fe4bb062b0e9768ea590faa1cd76bb)
on aura
(12)
|
|
|
On voit que les
sont développables suivant les puissances
de
Pour nous rendre compte de la forme du développement,
développons la fonction
elle-même suivant les puissances de
il vient
![{\displaystyle \varphi =\mathrm {C_{0}+\mu \,C_{2}+\mu ^{2}C_{4}} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c9b1de439ca8350c9ca7a0e97785133b9b4f38)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle \mathrm {C} _{0}=\mathrm {F} _{0}\left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac52b39b433fee01c2a37061d7188b6e23d8757e)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {C} _{0}}{dx_{k}^{0}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{k}^{0}}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}=-n_{k}^{0}-n_{1}^{0}\,{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}=-n_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05c964f160575065e019c76d0ad25b094943ddf)
puisque
est nul.
D’ailleurs on voit que
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\mathrm {C} _{2}}}=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6822da2f5926902ef557996d67e48db83460fd88)
et que le développement de
commence par un terme en ![{\displaystyle \mu ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4688795c2a04dfb3e08202b040d271bc255deb)
La seconde équation (12), où le coefficient
est divisible par
et le second membre par
nous apprend que le développement
de
commence par un terme en
Comme
est également
divisible par
par
et le second membre par
la troisième
équation (12) nous apprend que
est divisible par
Remarquons, d’autre part, que les équations (11) sont susceptibles
de simplification. Nous avons supposé jusqu’ici que
et
étaient exprimés en fonctions des variables
et
et des constantes
et
Posons maintenant
![{\displaystyle \beta =x_{1}^{0}+\gamma {\sqrt {\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cfeb99f737c1a401857911f2ccf21c690a560b)
et supposons, ce qui revient au même, que
et
sont exprimés en fonctions des
et des
et des constantes
et
Nos
équations (11) deviennent alors
(11 bis)
|
|
|
Il n’en subsiste pas moins que, si ces équations (11) et (11 bis)
nous donnent implicitement nos coordonnées en fonctions des
nous ne pouvons plus les résoudre par le procédé du no 30, et que,
par conséquent, les relations entre ces coordonnées et les
sont
beaucoup plus compliquées qu’au no 127 ou qu’aux Chapitres XI
et XX.
Nous nous bornerons à remarquer ce qui suit. Que deviennent
nos équations pour
Impliquent-elles contradiction ? Comme
et
s’annulent pour
et
se réduisent à des constantes
et
de sorte que nous avons d’abord
![{\displaystyle \varpi _{i}'-u_{i}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{dz_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b5a9e5ca63c3a3ab9eb220393705daa3ab4a85)
Comme
ne contient d’autres variables que les
ces équations
nous apprennent que les
sont des constantes. Passons à la
seconde équation (11 bis) et, comme
est une constante arbitraire,
égalons-la à
étant une constante donnée et finie. La
seconde équation devient
ou
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d28a0cb4b5ed5286c7813f3f33f843534dc11fa)
et comme
ne dépend que des
qui sont des constantes, elle
est satisfaite d’elle-même.
Voyons maintenant ce que devient la première ; posons encore
![{\displaystyle \varpi _{k}={\frac {\alpha _{k}}{\sqrt {\mu }}}+\alpha _{k}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d887de5e0a3db6f6370d939d8114fca1a00d19)
et
étant des constantes finies ; remplaçons
par sa valeur tirée de la seconde équation et écrivons les termes en
et les termes indépendants de
il viendra
![{\displaystyle {\frac {\alpha _{k}}{\sqrt {\mu }}}+(\alpha _{k}'+n_{k}t-y_{k})+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\left({\frac {1}{\sqrt {\mu }}}{\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}+{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{d\gamma }}\right)={\frac {d\mathrm {S} _{0}'}{dx_{k}^{0}}}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{dx_{k}^{0}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe04d54879af8e1fb341f2345e7750e20e037a2)
d’où
ou
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{d\gamma }}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1d17276c43c3275a8e00e1d4a49f9b81b5d21a)
![{\displaystyle \alpha _{k}'+n_{k}t-y_{k}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{d\gamma }}={\frac {d\mathrm {T} _{0}'}{dx_{k}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3581850482f088c4856f9218b9bf16713c9a9b9)
La première est satisfaite d’elle-même et la seconde nous donne ![{\displaystyle y_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84609e5f7fdc4ab57ab7e170aa07bca325b3ba04)
Seconde méthode.
223.On peut aussi diriger autrement les calculs et, au lieu de
se servir de l’équation (5) du no 220, s’attaquer directement à
l’équation (4 bis), qui s’écrit
(4 bis)
|
|
|
Reprenons les notations du no 221 et choisissons comme variables
les quantités
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf6a745b92313a21d5983a3693b37fe27b0a975)
telles qu’elles ont été définies dans ce no 221. Voyons quelle sera
la forme de l’équation (4 bis).
1o Les deux membres de cette équation ne dépendront pas d’une
manière quelconque de
et de
mais seulement de
![{\displaystyle m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'=y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa45fab1272bc5a0be4c5ca59256c91551f9ab2)
et
étant les entiers définis au no 221. En effet, on a obtenu
en supprimant dans
tous les termes qui dépendent de
et
de
autrement que par la combinaison ![{\displaystyle m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533ce46d8c2473a2e53ac562009068008d7575c0)
2o Ils dépendent de
et
mais ces quantités y doivent être remplacées par les constantes
et
analogues aux
devient
ainsi une constante.
3o Ils sont périodiques par rapport à
et aux
4o Ils sont développables par rapport aux puissances entières
de
et aux puissances fractionnaires des
qui doivent être
remplacés par
L’équation (4 bis) peut ainsi s’écrire
(4 a)
|
|
|
Envisageons le développement de
suivant les puissances de
Le terme indépendant de
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}+\mathrm {R} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568751236b9a860f57cad45059e04ed7deeedc57)
défini comme au no 221, est une constante qui ne dépend que
de
et ![{\displaystyle \Lambda _{1}'^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a11672508559319334ac09e23f981ba8701440)
Le terme en
est nul (sauf si
cas que nous
laissons de côté).
Le terme en
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}+2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56c09c3fbb6ff0ad6d25693ea4753b657f3e5bc)
Le premier terme qui dépend de
est le terme en
![{\displaystyle \varepsilon ^{|m+m'|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ca4cc7d451f7e5e8dd95e9cfc6928df622b0ff)
Voici comment on peut traiter l’équation (4 a). Cherchons à
développer
suivant les puissances de
et soit
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\mathrm {U} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {U} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathrm {U} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d510feb26732d40d03d6be9c8f1482b473b26bf)
Développons de même
et
et soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{2}&=\gamma _{0}+\varepsilon \gamma _{1}+\varepsilon ^{2}\gamma _{2}+\ldots ,&\mathrm {T} _{0}&=\mathrm {V} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {V} _{1}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e79f49c10e02d8fe10edad4b17329d0ff221e8b)
en remplaçant
par cette valeur dans
et développant
il vient
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}'+\varepsilon ^{3}\mathrm {R} _{3}'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8c7b517bc9bdd2bf2214ab3dc1698017f452d4)
Nous trouvons d’abord
![{\displaystyle \mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dy_{1}}}\right)^{2}+\mathrm {R} _{0}'=\gamma _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c437185f20b0a2ee8611d16504a29e2900292f8f)
ce qui nous montre que
est une constante. Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}=\alpha \,y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c29aa1bd1b43a0c6a624b17803c81205ba65fad)
étant une constante qui dépendra de la constante d’intégration
Il vient ensuite
![{\displaystyle 2\alpha \mathrm {A} {\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dy_{1}}}=\gamma _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafee09938ca313ebc584fa5cd594e4cd5dc9355)
ce qui nous montre que
est encore une constante. Nous pouvons,
sans restreindre la généralité, supposer que
et
sont nuls.
Il vient donc ensuite
![{\displaystyle 2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dy_{1}}}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{0}}{d\omega _{i}}}=\gamma _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a49f9ae43305664d83f4f8aa77a83d428b2573)
Cette équation montre que
est encore une constante que
nous pourrons encore considérer comme nulle sans restreindre la
généralité et il nous restera à traiter l’équation
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{0}}{d\omega _{i}}}=\gamma _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3351c1f2d27f60156a66364c4fe335546fb68b3c)
qui montre que les
sont des constantes que nous pouvons
choisir arbitrairement puisque
est arbitraire.
Il vient ensuite
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega _{i}}}+2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{3}}{dy_{1}}}=\gamma _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceca809d83b8cc727b2a77ca128d4b1967aea6a7)
Nous pourrons encore supposer
et
nuls sans restreindre la
généralité, puis
![{\displaystyle 2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{4}}{dy_{1}}}+\mathrm {R} _{4}'=\gamma _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3d262b49e6a1f2040cbd1b726cf3147f50d661)
Nous supposerons encore
nul et il restera
![{\displaystyle \mathrm {R} _{4}'=\gamma _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fae4802713bb36c51bbab167662cdbc110993a5)
qui permettra facilement de déterminer
car
n’y entre pas.
On ira ainsi jusqu’au terme en
Posons
il
vient alors
![{\displaystyle 2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{q}}{dy_{1}}}+\mathrm {R} _{q}'+\mathrm {M} _{q}\cos y_{1}+\mathrm {N} _{q}\sin y_{1}=\gamma _{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e679eeb3a7ce65d80ea1c79b8ab0dff6b5e3536)
et
dépendant des
et de
qui sont des
fonctions connues des
pourront être regardés comme connus.
Quant à
on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} _{q}'=2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}+\mathrm {L} _{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde2f79cda064d4dcb20aa3e8b0c58644b2de10f)
étant une fonction connue des ![{\displaystyle \omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fb1685cabb3d45fc90a0f419ebeb1f2723e95f)
Nous pourrons alors décomposer l’équation précédente en deux
et écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{q}}{dy_{1}}}&=-\mathrm {M} _{q}\cos y_{1}-\mathrm {N} _{q}\sin y_{1},\\2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}&=\gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd98c519ab392297e6218310b2d4c8d41580be93)
Les seconds membres sont connus, de sorte que nous déduirons
facilement de ces équations les valeurs de
et
On voit
que les dérivées de
sont périodiques par rapport à
nous
pouvons même sans restreindre la généralité choisir
de façon
à annuler la valeur moyenne de
Alors
est lui-même
périodique. Quant à
on voit qu’il sera périodique par rapport
à
et aux
On continuera de la sorte. En égalant les coefficients de
on trouvera
(13)
|
|
|
étant une fonction connue périodique par rapport à
et aux
nous supposerons la fonction
développée en série trigonométrique
et nous choisirons
de façon à annuler la valeur moyenne
du second membre.
Nous poserons ensuite
![{\displaystyle \gamma _{p}+\Phi =\Phi '+\Phi '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de521f01a0bbb9b69d53e23b615b79af7d4fc49f)
représentant l’ensemble des termes qui dépendent de
et
l’ensemble des termes qui n’en dépendent pas, de sorte que
![{\displaystyle \Phi ''=\left[\left[\gamma _{p}+\Phi \right]\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dfefeb34c93cc0afe8d5d9ddf385653114b6b1)
Nous décomposerons alors l’équation (13) en deux en écrivant
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{p}}{dy_{1}}}&=\Phi ',\\2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{p-2}}{d\omega _{i}}}&=\Phi ''\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5a00bcb0302e7469a0da8e2b589d9f23ee6c7c)
ces deux équations détermineront
et
et les deux fonctions
ainsi obtenues seront périodiques.
L’équation (4 bis) du no 220 étant ainsi intégrée, l’équation (4)
nous donnera
et l’on formera ensuite les équations (6)
et (7).
Nous allons traiter l’équation (7) comme nous avons traité
l’équation (4 bis). Les deux membres de (7) étant développés
suivant les puissances de
nous développerons de même
et
et nous écrirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}\mathrm {S} _{2}{\big ]}&=\mathrm {U} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {U} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {U} _{2}'+\ldots ,\\\mathrm {T} _{1}&=\mathrm {V} _{0}'+\varepsilon \,\mathrm {V} _{1}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {V} _{2}'+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7706220ff18b23df0648c3d25c7722f9527c2c2)
Nous égalerons ensuite dans les deux membres de (7) les coefficients
des puissances semblables de
et nous obtiendrons une
série d’équations qui nous permettront de déterminer par récurrence
les
et les ![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe138e067e8f3f2e5645e6ea3c895a353a5c25cd)
En égalant les coefficients de
on obtiendra une équation qui
servira à déterminer
et
Cette équation serait de même
forme que (13), sauf que
et
seraient remplacés par
et
On la traiterait donc de la même manière.
L’équation (7) étant ainsi intégrée, on continuera de la même
manière.
Cas de la libration.
224.Comment le cas de la libration peut-il se présenter ?
Reprenons nos équations du numéro précédent et supposons
que
![{\displaystyle \alpha =\mathrm {U} _{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9cfb2cd117916b4aee784beeafad060fc86a7f)
On poursuivra le calcul comme plus haut jusqu’à ce qu’on arrive
à l’équation obtenue en égalant les coefficients de
On aura
alors
![{\displaystyle \mathrm {U} _{i}=0\quad \left(i=1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,{\frac {q}{2}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0517ca81158075100ca87f3d88301fdd7d8a77f)
et, si
est pair, l’équation en
pourra s’écrire
(14)
|
|
|
Si nous posons, pour abréger,
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\mathrm {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f6cb510f41baa27fe3655d9f431bb6511273a2)
et si nous supprimons pour un instant l’indice
de
et les
indices
de
et
il viendra
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}={\sqrt {\frac {\gamma -\mathrm {L} -\mathrm {X} -\mathrm {M} \cos y_{1}-\mathrm {N} \sin y_{1}}{\mathrm {A} }}}={\sqrt {\mathrm {Z} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4964bdcf77c52a09d178c899b170ab4d398e8256)
en appelant
pour abréger, la quantité sous le radical.
L’intégrale
![{\displaystyle \int {\sqrt {\mathrm {Z} }}\,dy_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47283557a371d06f5bf44f0ea003d939dd59a33)
est une intégrale elliptique de deuxième espèce. L’une de ses
périodes est
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {Z} }}\,dy_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00cd80c4810335322dd60a22d6c876b240ad357f)
Si
et
sont choisis de façon que
soit toujours positif, cette
période est toujours réelle ; nous voulons qu’elle soit constante et
indépendante des
J’égale donc cette période à une constante
donnée
et j’obtiens une équation
(15)
|
|
|
En résolvant cette équation par rapport à
il vient
![{\displaystyle \mathrm {X} =\gamma +\psi (\omega _{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001a8d0d9dad24a66807c11a3f83af46027c39ae)
étant une fonction des
que l’on peut regarder comme donnée
et qui est périodique.
Cela nous donne
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma +\psi (\omega _{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7aababf44214a12f812d4a751dea2e50a06adc)
équation qui détermine
après quoi on tirera facilement
de l’équation (14).
C’est là le cas ordinaire.
Mais il peut se faire que
et
soient choisis de telle sorte
que
puisse s’annuler. Dans ce cas c’est la seconde période de
notre intégrale elliptique qui est réelle. En égalant cette seconde
période à une constante donnée
on obtiendra une équation (15 bis)
analogue à (15). Si l’on résout par rapport à
il
viendra
![{\displaystyle \mathrm {X} =\gamma +\psi '(\omega _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35655bf21ea7b6408de22d67894c624e5b85ee1)
ou
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma +\psi '(\omega _{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9397bbac8a50a59926537cb6751bfc235b1e0098)
qui déterminera
puisque
est connue et périodique.
C’est là le cas de la libration.
On obtiendra le cas limite en écrivant que l’une des périodes
de l’intégrale elliptique de première espèce correspondante est
infinie, ce qui donne pour déterminer
l’équation suivante
![{\displaystyle 2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}=\mathrm {L} \gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}+{\sqrt {\mathrm {M} _{q}^{2}+\mathrm {N} _{q}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d80a08bad272a44adfe188e5875585b6e57b2b)
L’inconvénient de cette façon d’opérer, c’est que les expressions
obtenues dans les deux cas ne sont pas la continuation analytique
l’une de l’autre.
Égalons maintenant les coefficients de
il viendra
(16)
|
|
|
étant connu et périodique.
Si nous sommes, par exemple, dans le cas ordinaire, nous
devrons écrire que
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}+1}{dy_{1}}}\,dy_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630be29191652d14dd1015c0ee49b00606210919)
est égal à une constante donnée
indépendante des
nous
trouverons ainsi
en posant, pour abréger, ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}=\mathrm {W} {\bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48a85fe47d916e808eb6221fa7747d561339772)
(17)
|
|
|
Cette équation nous donnera
et l’équation (16) nous donnerait
ensuite
![{\displaystyle \mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab52d6139b188cef4a4a6ed3db8e19fab5894bed)
Les équations obtenues en égalant les coefficients des autres
puissances de
seraient de même forme que (16). Il en serait
encore de même des équations que l’on obtiendrait en égalant
dans les deux membres de (7) les coefficients des diverses puissances
de
Toutes ces équations pourraient donc se traiter de la même
manière.
Les résultats seraient absolument les mêmes si
était impair ;
seulement il faudrait modifier la forme du développement de
et écrire
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\varepsilon ^{\frac {q}{2}}\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}+\varepsilon ^{{\frac {q}{2}}+1}\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+1}+\varepsilon ^{{\frac {q}{2}}+2}\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4a09de733792a38c0cf95bd9b8b17b98cf91ef)
étant ainsi développé suivant les puissances impaires de ![{\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11b4518b49b841706ba05ea13900cba04f05bc7)
Tous les résultats obtenus depuis le commencement de ce Chapitre
sont bien incomplets et de nouvelles études deviendront
nécessaires. Elles seraient prématurées.
Divergence des séries.
225.Nous avons vu au no 212 que les séries auxquelles conduit
la méthode de M. Bohlin sont généralement divergentes et
j’ai cherché à expliquer le mécanisme de cette divergence. Je crois
devoir revenir sur ce sujet et étudier avec quelques détails un
exemple simple qui fera mieux comprendre ce mécanisme. Soit
![{\displaystyle -\mathrm {F} =p+q^{2}-2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}-\mu \varepsilon \varphi (y)\cos x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8cc3785abd41734dd03a2c62dea0d2bced475a)
où
sont deux paires de variables conjuguées,
une fonction périodique de
de période
et où
et
sont deux
constantes que je supposerai très petites.
Formons les équations canoniques
(1)
|
|
|
d’où
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2\mu \sin y+2\mu \varepsilon \varphi '(y)\cos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfea1ec7f39044ce4b4eeea786df469d851bf63a)
L’intégration de ces équations est presque immédiate quand
Écrivons l’équation aux dérivées partielles de Jacobi et
soit
(2)
|
|
|
étant une constante. Développons
et
suivant les puissances
de
et soit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\mathrm {S} _{1}\varepsilon &{}+&{}\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}&{}+&{}\ldots .\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\mathrm {C} _{1}\varepsilon &{}+&{}\mathrm {C} _{2}\varepsilon ^{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee215863fadee0e29d5d7ed1b1bf9f6b139e6b6)
Pour
l’équation (2) devient
(3)
|
|
|
L’intégration, ai-je dit plus haut, est presque immédiate, et en effet, pour obtenir l’intégrale complète de (3), il suffit de
prendre, en appelant
une constante,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}&=\mathrm {A} _{0}\,;&\mathrm {C} _{0}&=\mathrm {A} _{0}+2h\mu \,;&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}&={\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61403720f3b228057123af43a2747316c98091d3)
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\mathrm {A} _{0}x+{\sqrt {2\mu }}\int {\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5594d88a5fde5f44fbb9a396afd1d50ee12298)
Nous retombons en somme, aux notations près, sur l’exemple
que nous avons traité au no 199. Le cas de
correspond au
cas ordinaire ; le cas de
à celui de la libration ; le cas
de
au cas limite.
Mettons en évidence les solutions particulières remarquables.
Nous avons d’abord la solution simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=t,&p&=0,&y&=0,&q&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a380398c7c54ce45a5816ffd00e11cfbd0f4b5bb)
qui est une solution périodique. Voyons quelles sont les solutions
asymptotiques correspondantes.
On les obtiendra en faisant
dans
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\mp 2{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42409c1984ab50053fb9b72448e5907d1ba3b7e)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=0,&q&=\pm {\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}\,;&\mathrm {tang} {\frac {y}{4}}&=\mathrm {C} e^{\pm t{\sqrt {2\mu }}},&x&=t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57afe55d2759381d677f6ab701a4589f5572d45)
ce qui montre que les exposants caractéristiques sont égaux
à ![{\displaystyle \pm {\sqrt {2\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351bf9fd23170450cd62b72b28b99a4224cc84b2)
Calculons maintenant
En égalant dans l’équation (2) les coefficients de
je trouve
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx}}+2{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy}}=\mu \varphi (y)\cos x+\mathrm {C} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20b8e643a04a0a3b6a301d90a48ac43961aa123)
étant une constante que je pourrai d’ailleurs supposer nulle
sans restreindre la généralité, ou bien
(4)
|
|
|
est alors la partie réelle de la fonction
définie par l’équation
(4 bis)
|
|
|
nous l’obtiendrons en posant
![{\displaystyle \Sigma =\psi e^{ix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e14af69d87f37ca5a3b7eaeb3f568e3a2d4a1f)
d’où
(4 ter)
|
|
|
Pour intégrer cette équation linéaire, intégrons d’abord l’équation
sans second membre qui peut s’écrire
![{\displaystyle \alpha \psi +{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bdba6e79e49c50689e920d11dc7c7fe059faf1)
en posant
![{\displaystyle \alpha ={\frac {i}{2{\sqrt {2\mu }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce68ab0886758b573c04a3b274ef79c32663e04)
d’où
![{\displaystyle \psi =\mathrm {K} e^{-\alpha {\displaystyle \int }{\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff33cfa8bb3e57d24f2993b53263621e3ca8d89)
étant une constante. Je poserai l’intégrale elliptique
![{\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce28c032bf46ae68e1a2755f31015eb71b135ff)
d’où
![{\displaystyle \psi =\mathrm {K} e^{-\alpha u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa555c6d53bb0e0df064947bee87c7ba0f9af21b)
pour l’intégrale générale de l’équation sans second membre. Pour
intégrer l’équation à second membre, je regarderai
comme une
fonction de
ce qui donne
![{\displaystyle 2{\sqrt {2\mu }}\,{\frac {d\mathrm {K} }{dy}}\,e^{-\alpha u}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}=\mu \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37db06cdb16006fcf93cd3617590adb05e1c9b8c)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi {\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi \,du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82067e26a17cf3c1b7abc5548c4f758215d8a088)
et enfin
(5)
|
|
|
Si je pose
sera réel, et j’aurai
(6)
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Nous discuterons plus loin les expressions (5) et (6) ; montrons
d’abord comment on conduirait les approximations suivantes.
On trouverait
(7)
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|
|
étant une fonction connue de
et de
périodique par rapport
à
et que par conséquent nous pourrons mettre sous la forme
![{\displaystyle \Phi ={\textstyle \sum }\,\varphi _{n}e^{nix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d4835e13dddf9744a3e5b4b12c49f81c548a6b)
étant un entier positif ou négatif et
une fonction connue
de
dans la somme du second membre le nombre des termes
est limité. Si nous posons alors
![{\displaystyle \mathrm {S} _{2}={\textstyle \sum }\,\psi _{n}e^{nix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7180fefdca90189a2213e3b1ff4134ae70a28a)
ne dépendant que de
la fonction
devra satisfaire à l’équation
différentielle
![{\displaystyle in\psi _{n}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi _{n}}{dy}}=\varphi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391f72ef2943306c84383b65cc922e1db3b32912)
Cette équation étant tout à fait de même forme que (4 ter) se
traitera de la même manière.
Les fonctions
seraient données ensuite par une
équation de même forme que (7) et qui se traiterait de la même
manière.
Cette méthode a été employée sous une forme assez différente
par M. Gyldén dans son Mémoire du Tome IX des Acta mathematica.
Discutons maintenant les expressions (5) et (6).
Considérons d’abord le cas ordinaire où
alors
étant
une fonction périodique de
sera également une fonction périodique
de
dont la période sera égale à la période réelle de l’intégrale
elliptique de
Je pourrai donc écrire
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}e^{im\lambda u},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6151d93a19536355aaf0448ba9650e2be9c71764)
étant une constante réelle dépendant de la période de l’intégrale
et
étant un entier.
On en déduit
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}{\frac {e^{im\lambda u}}{\alpha +im\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e5a5e5e804684625cea3bb65ea910af985710e)
ou
![{\displaystyle \psi =\sum {\frac {\mu \,\mathrm {A} _{m}}{i}}{\frac {e^{im\lambda u}}{1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0477c4370b9a177b631f314fd829c1c209340939)
et enfin, si
et
sont le module et l’argument de ![{\displaystyle \mathrm {A} _{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d97eecdf944b466e26f038effc30b8c065e2c8)
(8)
|
|
|
On voit que chacun des termes de
est développable suivant
les puissances de
On peut chercher à effectuer le développement
puis à réunir en un seul tous les termes qui contiennent en
facteur une même puissance de
on obtiendra ainsi,
au point de vue formel, le développement de
suivant les puissances
de
soit
(9)
|
|
|
On a
![{\displaystyle \mathrm {T} _{p+2}=\left(-\lambda {\sqrt {8}}\right)^{p}{\textstyle \sum }\,m^{p}\rho _{m}\sin(m\lambda u+x+\omega _{m}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5da75cbd743f463840655699b85ae19884d7d0b)
C’est au même résultat que l’on serait parvenu en appliquant la
méthode de M. Bohlin. On aurait développé
suivant les puissances
de
et l’on aurait trouvé
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}'{\sqrt {\mu }}+\mathrm {S} _{2}'\mu +\ldots +\mathrm {S} _{p}'\mu ^{\frac {p}{2}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c20650a76108d1e8808cffa5ffabc1f6c6b186e)
La fonction
aurait été à son tour développable suivant les
puissances croissantes de
et le coefficient de
n’aurait été autre
chose que
La série
aurait été convergente ; en effet, si, comme je le
suppose, la fonction
est holomorphe pour toutes les valeurs
réelles de
on aura
![{\displaystyle \rho _{m}<kh_{0}^{|m|},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a24550823e63fa96c07df62b50a27cb0d2df6f)
et
étant deux constantes positives
d’où il suit que
la série
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m^{p}\rho _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442397fce332e0fc26769cdaf7a0eaa480f37221)
converge absolument, de même a fortiori que la série ![{\displaystyle \mathrm {T} _{p+2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7350f23cee5edbc92ba9e82d73e5770275742fdc)
D' autre part, le développement (8) converge, mais il n’en est
pas de même du développement (9).
Pour nous en rendre compte, il nous suffira d’envisager un
exemple très particulier.
Faisons
![{\displaystyle x={\frac {\pi }{2}},\quad u=0,\quad \omega _{m}=0,\quad \rho _{m}=\mathrm {A} ^{|m|},\quad 0<\mathrm {A} <1,\quad \lambda ={\frac {1}{\sqrt {8}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6775714da0d6fbd98ca57936c8c1661f6a90a40c)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {T} _{p+2}={\textstyle \sum }\,(-m)^{p}\mathrm {A} ^{|m|}\quad (m\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2b9537a31d5a0fd42bb8f5986f19cdea2c854f)
variant de
![{\displaystyle \;-\infty \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fe788ab44f0b4722d80b7998c8667cd31192fd)
à
![{\displaystyle \;+\infty ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f504960c7a0d696a9412ba847f70a46e365f404f)
ce qui montre que
est nul si
est impair et égal à
![{\displaystyle 2\,{\textstyle \sum }\,m^{p}\mathrm {A} ^{m}\quad (m\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa790083063048cbd2ca928131d2fd18cf062421)
variant de
![{\displaystyle \;1\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eaa9f2c333935997e4bdb96143bde3da6d9efb)
à
![{\displaystyle \;+\infty ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b2b1f81601772bec8e42b067a1f31828ec5a3f)
Or nous avons évidemment
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m^{p}\mathrm {A} ^{m}>{\textstyle \sum }\,m(m-1)\ldots (m-p+1)\mathrm {A} ^{m}={\frac {p!\,\mathrm {A} ^{p}}{\left(1-\mathrm {A} \right)^{p+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d034dd82e544e50c5f1a61b993acfe582efae2)
d’où, pour
par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {T} _{p+2}>2(p!).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fe474f490e7d94b71e7acce562c19c83be054e)
Les termes du développement (9) sont alors nuls de deux en
deux et ceux qui restent sont plus grands que les termes correspondants
du développement
![{\displaystyle 2\,{\textstyle \sum }\,q!\,\mu ^{q+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6464e450a21d5fa09a78adef95163b61c25c33df)
qui est manifestement divergent.
Ce que je viens de dire du développement de
s’appliquerait
évidemment à celui de
et des autres fonctions analogues.
Il n’y a presque rien à changer à ce qui précède dans le cas de
c’est-à-dire dans le cas de la libration. La seule différence
est que la période réelle de l’intégrale
n’est plus
![{\displaystyle u_{0}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {R} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0c0741ae149a9b278670449865ae55e4ed62c3)
mais
![{\displaystyle u_{1}=\int _{-\beta }^{+\beta }{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {R} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b015283a14ad1466b9936c86a010a4b8c55f08b)
en appelant
le radical
et posant
![{\displaystyle \beta =2\operatorname {arc~sin} {\sqrt {-h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bda0dac910d5b9b5e847e6058ddccadc899d3d)
La quantité
doit alors être égale non plus à
mais à ![{\displaystyle {\frac {2\pi }{u_{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf3515c6338c6789e33bd15d4ead8e94bef6094)
226.Le cas limite où
présente plus d’intérêt. Dans ce
cas on a
![{\displaystyle u=\int {\frac {dy}{\sin {\dfrac {y}{2}}}}=2\log \operatorname {tang} {\frac {y}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bbc1f3cb289badc522cd38ce75bc5e09e601f5)
et en posant
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\operatorname {tang} {\dfrac {y}{4}}=t,\\du={\dfrac {2\,dt}{t}}\cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed3d2d5c43b8150f9b45d2fb4610a5a8d6d59ae)
Soit d’abord, par exemple,
![{\displaystyle \varphi (y)=\sin y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d14368b9e2c2b4fbedd6279a5a96118fa58f59)
il viendra
![{\displaystyle \varphi (y)={\frac {4t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8277cb7910eac9622b45ff1e2ea6daf36aaf540)
d’où
![{\displaystyle \psi =t^{-2\alpha }{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int {\frac {4\,t^{2\alpha }(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2459248adf658b4e27b65aea86df9eec1eabebef)
Or, en intégrant par parties, on trouve
![{\displaystyle \int {\frac {t^{2\alpha }(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}={\frac {t^{2\alpha +1}}{1+t^{2}}}-2\alpha \int {\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3dde73b0f58ca0b40e44932bdbe747323ea38f)
d’où
(10)
|
|
|
On pourrait se proposer de développer, au moins au point de
vue formel, la fonction
suivant les puissances de
mais il
vaut peut-être mieux pour cela revenir au cas général.
Quand
varie de 0 à 2
varie de
à
est une
fonction de
supposons qu’elle puisse être représentée par l’intégrale
de Fourier sous la forme
![{\displaystyle \varphi =\int _{-\infty }^{+\infty }e^{iqu}\theta (q)\,dq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd645bc01dfe3ed7ca5ab62c622088e648b914e)
Pour cela il suffit, puisque
est pour toutes les valeurs
réelles de
analytique et périodique, il suffit, dis-je, que
![{\displaystyle \varphi (0)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2242d58387d0b90e1154047edfb027ab4a13d8a3)
Nous trouverons alors
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int du\int _{-\infty }^{+\infty }e^{(\alpha +iq)u}\theta (q)\,dq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b1c40464d69e3c9919eeb3083f512d873c3af2)
Cette formule contient en réalité une constante arbitraire, puisque
les limites de l’intégration par rapport à
sont indéterminées ; je
disposerai de cette constante de la manière suivante :
Intervertissons l’ordre des intégrations et effectuons l’intégration
par rapport à
il viendra
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int _{-\infty }^{+\infty }\left[{\frac {e^{(\alpha +iq)u}}{\alpha +iq}}\theta (q)+\eta (q)\theta (q)\right]dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5030ff3b6d9174451d2155a02852b5daecb6c5fe)
étant une fonction arbitraire de
introduite par l’intégration.
On pourrait d’abord dans certains cas supposer cette fonction
nulle, et il resterait
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{(\alpha +iq)u}\theta (q)\,dq}{\alpha +iq}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65939e770ec65c7b767312e80e2ff11385014f0)
ou bien
(11)
|
|
|
ou encore, en appelant
et
le module de l’argument de ![{\displaystyle \theta (q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5ed7dc39483709efcad42959548b90396804a8)
(12)
|
|
|
où
et
sont des fonctions de ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Mais, pour que la formule (11) ait un sens, il faut que l’intégrale
soit finie et pour cela que la fonction sous le signe
ne devienne
pas infinie pour
c’est-à-dire que
![{\displaystyle \theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9541e7bf2fec273f014f91ac89d9b41ec67a69af)
Comme cela n’aura pas lieu en général, on pourrait remplacer la
formule (11) par la suivante [ce qui est une autre manière de disposer
de la fonction arbitraire
]
(11 bis)
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étant une constante arbitraire, d’où
(12 bis)
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Mais on peut encore s’en tirer d’une autre manière. En général,
sera une fonction de
qui restera holomorphe si
est réel
ou si la partie imaginaire de
n’est pas trop grande. Soit, par
exemple,
![{\displaystyle \varphi =\sin y={\frac {4\,t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c0e65ef47f5e0d2f662069921699dbcbd98bd4)
Comme on a, d’après la formule de Fourier,
![{\displaystyle \theta (q)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}e^{-iuq}du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269973fe8514588d98e696b954ebcc36d0e6b279)
il vient, en remplaçant
et
en fonctions de ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle 2\pi \theta (q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {4t^{-2iq}(1-t^{2})\,dt}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ab3549eabdff77421812885a68618b9b5f1250)
En appliquant à cette intégrale la transformation qui nous a
conduits à la formule (10), on trouve
![{\displaystyle 2\pi \theta (q)=8qi\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-2iq}\,dt}{1+t^{2}}}={\frac {8qi\pi }{e^{\frac {q\pi }{2}}+e^{-{\frac {q\pi }{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd82ae3035461c020bc7ae56513f100e9232ead4)
d’où enfin
![{\displaystyle \theta (q)={\frac {4qi}{e^{\frac {q\pi }{2}}+e^{-{\frac {q\pi }{2}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabaa2e1c8e98f26dff5e84f7a286f08e8fb1fac)
On voit que
ne cesse d’être holomorphe que quand
est
égal à
multiplié par un entier impair.
Cela posé, la formule
![{\displaystyle \varphi =\int _{-\infty }^{+\infty }e^{iqu}\theta (q)\,dq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9a0063ebf12dc0c52f22e7d4bad7275c807bcf)
restera vraie quand l’intégrale sera prise non plus le long de l’axe
des quantités réelles, mais le long d’une courbe
restant au-dessus
de cet axe, mais s’en éloignant assez peu pour qu’entre
cette courbe et cet axe il n’y ait aucun point singulier de ![{\displaystyle \theta (q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97725ee25317cda2ca091e5f1b10a7201289d4f7)
Alors les formules (11) et (12) seront vraies également en prenant
les intégrales le long de
mais elles le seront sans restriction,
car, quel que soit
la quantité sous le signe
ne
deviendra pas infinie le long du chemin d’intégration.
On voit tout de suite une importante propriété de la fonction
définie par cette fonction (11). Nous avons sous le signe
l’exponentielle
comme la partie imaginaire de
est positive, si
est réel, positif et très grand, le module de cette exponentielle est
très petit. Donc pour
c’est-à-dire pour
et
s’annulent. On peut aussi remplacer le chemin d’intégration
par
un autre chemin
qui reste au-dessous de l’axe des quantités
réelles sans s’en éloigner beaucoup, de façon qu’entre
et cet
axe il n’y ait aucun point singulier de
Les intégrales (11) et (12), prises le long de
nous donneront
d’autres valeurs de
et de
que je désignerai par
et
pour
les distinguer des premières.
Comme la partie imaginaire de
est négative, si
est réel,
négatif et très grand, l’exponentielle
aura son module très
petit. Donc, pour
c’est-à-dire pour
et
s’annulent.
On peut se demander si
est égal à
On voit qu’entre les
deux chemins d’intégration
et
la quantité sous le signe
présente un point singulier qui est le point
![{\displaystyle q=-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e15299c6c6fe4ed3b60370078c9826b259a1d8a)
Ce point singulier est un pôle. La différence des deux intégrales
sera donc égale à
multiplié par le résidu ; ce qui donne
![{\displaystyle \psi '-\psi =\pi {\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\,e^{\frac {-iu}{\sqrt {8\mu }}}\,\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3eff0c65b3c878b8ac9a433845fb4bfb7c0f583)
et, en appelant
et
le module et l’argument de ![{\displaystyle \theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a695f297594ba8d31e82af55a8ea8c97d47aeb33)
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}'-\mathrm {S} _{1}=\pi {\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\,\rho _{0}\cos \left(x-{\frac {u}{\sqrt {8\mu }}}+\omega _{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95fbb3aa1652fcd7185d4202df8dcca5ed5de74)
On voit que
n’est pas égal
à moins que
![{\displaystyle \theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)=\theta (i\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}\,e^{\alpha u}\,du=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145f40f54caf7cc84bf14da667ea5ae459ce105a)
Cherchons maintenant à développer
et
suivant les puissances
de
voici ce que nous obtiendrons ; soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi &={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\psi _{p},&\psi '&={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\psi _{p}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1918f664f4f7f4ca062fdbd38fd5a565f7cbd8ea)
il viendra
et
![{\displaystyle \psi _{p}'=\int {\frac {e^{iqu}}{i}}\,\theta (q)\left(-q{\sqrt {8}}\right)^{p-2}dq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b04d2047cad401be7156655d549925c721015f)
l’intégrale étant prise le long de
pour
et le long de
pour ![{\displaystyle \psi _{p}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92df9b01c956298b33478b5401934fa28229cdd9)
Mais, cette fois, la quantité sous le signe
ne présente pas de point singulier entre
et
; d’où il résulte que l’on a
![{\displaystyle \psi _{p}=\psi _{p}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82e39ea423174344696021b5123e968b9ab3659)
Ainsi, bien que les fonctions
et
ne soient pas égales, leurs
développements formels suivant les puissances de
sont identiques.
C’est assez dire que ces développements ne sont pas convergents.
Cela montre toutefois que si
est considéré comme un infiniment
petit du premier ordre, la différence
sera un infiniment
petit d’ordre infini, comme est, par exemple,
Et, en effet, dans le cas particulier où
on a
![{\displaystyle \theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)={\frac {-i{\sqrt {\dfrac {\mu }{2}}}}{e^{\frac {\pi }{4{\sqrt {2\mu }}}}+e^{-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2\mu }}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f7f2ad04577a4971953e0060a89a945eb57eb4)
ce qui montre que les différences
et
sont du même
ordre de grandeur que
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\mu }}}e^{-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2\mu }}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9915a9bb256303779ff1c81fe00c7648841305c4)
227.Nous retrouverons plus loin les mêmes résultats par des
moyens plus simples, mais je tenais à les présenter sous cette
forme, afin de mieux faire comprendre le passage du cas ordinaire
au cas limite.
Comparons en effet les formules (8) et (12). Dans la formule (8),
nous avons une série où entre la quantité
comme
est un
entier,
ne pourra prendre que certaines valeurs qui seront
d’autant plus rapprochées les unes des autres que
sera plus petit.
Quand
tend vers zéro, la période de l’intégrale
croît indéfiniment,
et
tend vers zéro. Les valeurs de
deviennent de plus
en plus rapprochées et, à la limite, la série se transforme en une
intégrale, ce qui conduit à la formule (12).
Mais quand
décroîtra ainsi d’une manière continue, il passera
par certaines valeurs pour lesquelles il se produira une circonstance
qui mérite de fixer l’attention.
Si
devient entier, l’un des dénominateurs de la formule (8)
![{\displaystyle 1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a6a94216e911b02c00dd5d53ca090bbf0e5b93)
s’annule et la formule devient illusoire. Et en effet un des termes
de cette formule devient infini. Dans ce cas, il est aisé de voir que
le terme qui devient ainsi infini doit être remplacé par
(13)
|
|
|
et, en effet, on a
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,e^{-\alpha u}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\int e^{(im\lambda +\alpha )u}\,du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9921cdd538166338b5c30fc16ea5d389395d)
Si
n’est pas nul, l’intégrale du second membre est égale à
![{\displaystyle {\frac {e^{(im\lambda +\alpha )u}}{im\lambda +\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d15f32b41ea03de019be71de371ac18d31258e5)
plus une constante que l’on peut supposer nulle. Mais, si
est nul, cette intégrale est égale à
plus une constante que l’on
peut supposer nulle.
En substituant ainsi l’expression (13) dans
à la place du terme
qui deviendrait infini, la fonction
ne devient plus infinie, mais
elle cesse d’être périodique par rapport à
228.Revenons au cas limite où
est nul et supposons d’abord
![{\displaystyle \varphi (y)=\sin y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9c2d627315298306e5419d4c6152f2884300c3)
La formule (10) nous donne alors
![{\displaystyle \psi =4\,{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{0}^{t}{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}+\mathrm {C} \,t^{-2\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c39a9236718ea18169d30b615f706e8bcc36b9)
étant une constante d’intégration. Le premier terme est développable
suivant les puissances croissantes de
pourvu que
soit
plus petit que 1. Il en est de même du second terme, car
![{\displaystyle {\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}={\textstyle \sum }\,t^{(2\alpha +2n)}(-1)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2aea9654f002db1a5a797a4d4633dbe825594b5)
On en conclut, en effectuant l’intégration,
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\textstyle \sum }\,t^{2n+1}(-1)^{n}-i\sum {\frac {t^{2n+1}(-1)^{n}}{2\alpha +2n+1}}+\mathrm {C} t^{-2\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107b78f04f9fc7126ac5ac258fd52dff3c76ed55)
On voit ainsi que, pour
s’annule. D’autre part,
comme la partie réelle de
est nulle, l’expression
ne s’annule
pas pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Pour que la fonction
s’annule pour
c’est-à-dire pour
il faut donc et il suffit que la constante
s’annule. La
fonction que nous avons appelée
au no 226 est donc égale à
![{\displaystyle \psi '={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d712b77b4f893b787a283217b1770ed77d17527)
Je puis écrire aussi la formule (10) sous la forme
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4dd4ea865d928443624901edf0842666d01a61)
étant une nouvelle constante.
Si nous supposons que
soit plus grand que 1 et que nous
développions suivant les puissances décroissantes de
il viendra
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\textstyle \sum }\,t^{-(2n+1)}-(1)^{n}+i\sum {\frac {t^{-(2n+1)}(-1)^{n}}{2n+1-2\alpha }}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea41314839fedee5cd918e74e2fe2f0675bf2c32)
Le premier et le second terme s’annulent pour
mais il n’en
est pas de même du troisième.
Pour que la fonction
s’annule pour
c’est-à-dire pour
il faut donc et il suffit que la constante
s’annule. La
fonction que nous avons appelée
au no 226 est donc égale à
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611a1c6fe11b169bf7038935780b3830a1ea3737)
Pour que
fût égal à
il faudrait donc que l’on eût
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40a7c01b029d2e7c914f1f9bd76c8a67cac8700)
ce qui, comme nous l’avons vu plus haut, n’a pas lieu.
Plus généralement, supposons que
s’annule pour
il viendra
![{\displaystyle \psi =t^{-2\alpha }{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int \varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b09f61e785e9026a433e2fbfc5e16061472d19)
s’annule pour
c’est-à-dire pour
et pour
c’est-à-dire pour
Soit donc d’abord
petit et développons
suivant les puissances de
soit
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353d772a793e52cab2e2acd3bfcb0385a12aa403)
d’où
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{0}^{t}\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt+\mathrm {C} t^{-2\alpha }={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}{\frac {t^{n}}{2\alpha +n}}+\mathrm {C} t^{-2\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a726a62b87e81a18797abeee9220877076345b)
étant une constante d’intégration. Pour que cette expression
s’annule pour
il faut et il suffit que
soit nul. La fonction
du no 226 est donc égale à
(14)
|
|
|
Soit maintenant
très grand ; développons
suivant les puissances
décroissantes de
et soit
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}t^{-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5c31a69f673fa2022c4fff092d58a1eb7b23a7)
il viendra
![{\displaystyle \psi =-{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\sum {\frac {\mathrm {B} _{n}t^{-n}}{2\alpha -n}}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60285a42983d3bef763a4c16a563e0537ce6535)
étant une constante d’intégration. Pour que cette expression
s’annule pour
il faut et il suffit que
soit nul. La fonction
du no 226 est donc égale à
(15)
|
|
|
Pour que
fût égale à
il faudrait que
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt={\tfrac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi \,e^{\alpha u}\,du=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153532dfa33b6dee20a4759cae7c82135df85210)
c’est-à-dire que
![{\displaystyle \theta (i\alpha )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbb3231bf5c151cc5a1d5034a2406f2058809dd)
ce qui n’a pas lieu en général.
Développons maintenant les expressions (14) et (15) suivant les
puissances de
On trouve
![{\displaystyle \psi '={\frac {\mu }{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}{\frac {t^{n}}{1-in{\sqrt {2\mu }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc932303e9fae8beae1faf56d81dae074ada471c)
ce qui nous donne pour le développement formel de ![{\displaystyle \psi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4792d3361b67c2f3eb7a3394932d28a6ef2e7b)
(16)
|
|
|
La formule (15) nous donne de même
![{\displaystyle \psi ={\frac {\mu }{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}{\frac {t^{-n}}{1+in{\sqrt {2\mu }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3307bf2e0e38c3664d3887b2c58c4958abb1b3c)
d’ou
(16 bis)
|
|
|
Sous cette forme l’identité des deux développements n’est pas
aussi immédiatement manifeste que sous la forme que nous lui
avions donnée d’abord.
229.Mais il est aisé de passer de l’une à l’autre.
Nous avons, en effet,
![{\displaystyle \theta (q)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}\,e^{-iqu}\,du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97981db75a8a7d6a7121003f3065c05325f19bea)
Je dis que
est une fonction méromorphe de
qui n’a
d’autre singularité que des pôles et dont les pôles sont égaux à
multiplié par un entier positif ou négatif. Écrivons, en effet,
![{\displaystyle 2\pi \theta (q)=\int _{0}^{+\infty }\varphi \,e^{-iqu}\,du+\int _{-\infty }^{0}\varphi \,e^{-iqu}\,du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd9fd886a4f18e3a8c1b045a88ce5edaf19c8fe)
Si la partie imaginaire de
est positive, la seconde intégrale est
une fonction holomorphe de
ne présentant aucune singularité ;
car, pour
et
s’annulent. Il peut ne pas en être
de même de la première.
Si, au contraire, la partie imaginaire de
est négative, la première intégrale sera une fonction holomorphe de
mais il pourra
n’en pas être de même de la seconde.
Étudions donc les singularités que peut présenter la seconde
intégrale quand la partie imaginaire de
est négative. Supposons
que cette partie imaginaire soit plus grande que
Reprenons
le développement
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}e^{+{\frac {nu}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca2476e8a92f5e16c94f8e28a6e04cecb76de85)
Nous pourrons écrire
![{\displaystyle \varphi =\mathrm {A} _{1}e^{+{\frac {u}{2}}}+\mathrm {A} _{2}e^{+u}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{+{\frac {nu}{2}}}+\mathrm {R} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092aded515eb599f7e7c50b46ffede28a5b740e5)
et, quand
tendra vers
tendra vers zéro. La seconde
intégrale peut s’écrire alors
![{\displaystyle \mathrm {J} _{1}+\mathrm {J} _{2}+\ldots +\mathrm {J} _{n}+\mathrm {S} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01918984af5aff1faeef98bc90fc99b343d42156)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\mathrm {K} }&=\mathrm {A} _{\mathrm {K} }\int _{-\infty }^{0}e^{\left({\frac {\mathrm {K} }{2}}-iq\right)u}\,du,&\mathrm {S} _{n}&=\int _{-\infty }^{0}e^{-iqu}\,du.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbc4b072e806673096a4cbfbf1f069d0995b6aa)
L’intégrale
n’a pas de sens par elle-même dès que la partie
imaginaire de
est plus petite que
et l’on ne peut lui en attribuer
un que par continuité analytique. On trouve alors
![{\displaystyle \mathrm {J} _{\mathrm {K} }={\frac {\mathrm {A} _{\mathrm {K} }}{{\frac {\mathrm {K} }{2}}-iq}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fb0d6b89dd040acb759a1ffa28579b53d86bb5)
Quant à
tant que la partie imaginaire de
est plus grande
que
c’est une fonction de
qui ne présente aucune singularité,
car la quantité sous le signe
s’annule pour
On voit ainsi que la seconde intégrale est une fonction méromorphe
de
admettant pour pôles
![{\displaystyle q=-i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}\quad (\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbd08b37be479d12988df20de232fdfd960086f)
entier positif
![{\displaystyle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775c8f99fbc2db4ef20dd618a468f110bae7bd76)
avec le résidu
![{\displaystyle i\mathrm {A} _{\mathrm {K} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d7c0ba344ab7e6355a867945d6ce4abe72d1f3)
On verrait de même que la première intégrale est une fonction
méromorphe de
admettant pour pôles
![{\displaystyle q=i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}\quad (\mathrm {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceacc790a8bd2a22a622b06da4f75ea1aef78738)
entier positif
![{\displaystyle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775c8f99fbc2db4ef20dd618a468f110bae7bd76)
avec le résidu
![{\displaystyle -i\,\mathrm {B} _{\mathrm {K} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef39e73a746d198dcdad9643d63a5768c5871a4a)
Les pôles de
sont donc
![{\displaystyle q=\pm i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a26b70a0704a6fd266ef625b22fc303be6dde6)
avec les résidus respectifs
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} _{\mathrm {K} }}{2i\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2ffc19cb34132c282ff7ee5245912e670f2c63)
quand on prend le signe supérieur et
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {A} _{\mathrm {K} }}{2i\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375f16001d14d94d315d286b5be6cba387403a3f)
quand on prend le signe inférieur.
Reprenons alors la formule (11) et supposons que l’intégrale
soit prise le long de la courbe
Construisons un cercle
ayant pour centre l’origine et pour
rayon
étant très grand. Soit
la partie de ce cercle
qui est située au-dessus de la courbe
Soit
la partie de la
courbe
qui est intérieure au cercle
Les deux arcs
et
formeront un contour fermé et l’intégrale (11),
prise le long de ce contour, sera égale à
multiplié
par la somme des résidus relatifs aux pôles intérieurs au contour ;
c’est-à-dire à la somme des
premiers termes de la série (15).
On montrerait que l’intégrale (11) prise le long de
tend
vers zéro quand
croît indéfiniment ; le calcul se ferait sans difficulté,
mais il est inutile puisque nous savons d’avance que la
série (15) est convergente.
L’intégrale prise le long de
tend vers
donc
est égal à la
somme de la série (15).
Nous retrouvons ainsi le développement (14) ainsi que les développements (16)
et (16 bis).
Ce qui précède suffira pour faire comprendre comment on peut
passer des développements du no 226 à ceux du no 228.
230.On peut se proposer maintenant de rattacher les développements
du no 228 à ceux du Chapitre VII.
Nous avons vu au no 225 que, quand
les équations admettent
une solution périodique simple
![{\displaystyle x=t,\qquad p=y=q=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059f216fbfea8c605ad90f65b7eee60645750a78)
avec les exposants caractéristiques
et que les solutions
asymptotiques correspondantes sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=0,&q&=\pm {\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}},&\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}&=\mathrm {C} e^{\pm t{\sqrt {2\mu }}},&x&=t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ac36bba60edfc23acdf030f5af6ce16642f934)
La troisième de ces équations peut aussi s’écrire
![{\displaystyle \operatorname {cot} {\frac {y}{4}}=\mathrm {C} e^{t{\sqrt {2\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c103fc81118939d16cec837376332201e663103f)
ou
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {y}{4}}=\mathrm {C} e^{t{\sqrt {2\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c8e13682aa0a1bb07822d65726a90502bbc9f5)
suivant qu’on prend le signe supérieur ou le signe inférieur.
Comme les exposants caractéristiques ne sont pas nuls, les
principes des Chapitres III et IV nous apprennent que, pour les
petites valeurs de
il existera encore une solution périodique ;
nous aurons encore
pendant que
et
seront des fonctions
de
et de
développables suivant les puissances croissantes
de
s’annulant avec
et périodiques de période
par rapport à
De même les exposants caractéristiques qui seront égaux et de
signe contraire, et que j’appellerai
seront développables suivant
les puissances croissantes de
(Cf. Chapitre IV) ;
se réduira
à
pour
Pour les petites valeurs de
il existera également deux séries
de solutions asymptotiques qui se présenteront sous la forme suivante ;
pour la première série, nous aurons
(17)
|
|
|
et
étant des séries développées suivant les puissances
de
et dont les coefficients sont périodiques en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Pour la seconde série, nous aurons
(17 bis)
|
|
|
et
étant des séries développées suivant les puissances
de
et dont les coefficients sont périodiques en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si nous considérons maintenant ces quantités comme fonctions
de
le no 106 nous apprendra que les six fonctions
sont développables
suivant les puissances croissantes de
Si nous les considérons comme fonctions de µ, le no 104 nous
apprendra que chacun des termes des six fonctions
aura un coefficient
de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f63782b5c70117627f346f4fa3d0bb17b0e4919)
étant un polynôme développé suivant les puissances croissantes
de
et de
et
étant un produit de facteurs de la forme
![{\displaystyle m{\sqrt {-1}}+n\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50576cd0a0a51369bf31524bddd95ac4ff96892f)
et
étant des entiers positifs ou négatifs.
comme nous l’avons vu au no 108, peut être développé suivant
les puissances de
mais le développement est en général purement
formel parce que les exposants caractéristiques s’annulent
pour
Transformons maintenant les expressions (17) et (17 bis). Commençons
par remplacer partout
par
Résolvons ensuite l’équation
![{\displaystyle \operatorname {cot} {\frac {y}{4}}=\eta _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d400c72cf57c12b801b576a20640c74af3bf6ed)
par rapport à
nous trouverons
![{\displaystyle \mathrm {C} e^{\beta x}=\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f712832d979fd2c2f9c4bb246ae97f09530acc)
Si nous observons que, pour
se réduit à
nous
verrons que
peut se développer suivant les puissances de
et
de
et que ses coefficients sont périodiques en
Substituons
à la place de
dans
et
alors
et
deviendront des fonctions de
et de
et l’expression
![{\displaystyle \eta _{1}\,dx+\eta _{2}\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe183d5ca48d5d74aacac018b3d2113f4fe7655)
sera une différentielle exacte
Intégrons cette différentielle,
nous obtiendrons une certaine fonction
jouissant des propriétés
suivantes :
1o Ses dérivées seront périodiques par rapport à
2o Elle sera développable suivant les puissances de
et
de
3o Un terme quelconque de
ou de
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{dy}}=\eta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fe9479bf7b54a4217b151915307af4e2e3dca1)
se composera du cosinus ou du sinus d’un multiple de
multiplié
par une puissance de
par une puissance de
et par un
coefficient de la forme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f63782b5c70117627f346f4fa3d0bb17b0e4919)
où
est développable suivant les puissances de
de
et de
et où
est un produit de facteurs de la forme
![{\displaystyle m{\sqrt {-1}}+n\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844a5307a5daeb993b7d60c83b19d0ba2bd31647)
4o L’expression
est développable suivant les puissances de
et de
il en est donc de même de
seulement, tandis que le
développement de
suivant les puissances de
est convergent,
le développement suivant les puissances de
n’a de valeur qu’au
point de vue formel.
Nous aurions pu opérer de même sur l’expression (17 bis) et
nous aurions obtenu une fonction
tout à fait analogue à la
fonction
avec cette seule différence qu’au lieu d’être développée suivant
les puissances de
et de
elle serait développée suivant
les puissances de
et de
J’ai dit que
(et
) est développable suivant les puissances de
soit donc
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon +\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a244d653c699c256cbef6adfd1ffe51d1d5f4578)
Alors
n’est autre chose que la partie réelle de
et
se
présente sous la forme d’un développement procédant suivant les
puissances de
c’est-à-dire suivant les puissances décroissantes
de la variable que j’ai appelée
au no 228.
Ce développement n' est autre chose que le développement (15).
Voyons ce que deviennent dans cette transformation les expressions
est développable suivant les puissances de
d’autre part,
étant développable également suivant les puissances de
il en
sera de même de
![{\displaystyle {\frac {1}{m{\sqrt {-1}}+n\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856ff019b6131d27d8fbdc911a20538d73ec3abf)
et le premier terme du développement sera
![{\displaystyle {\frac {1}{m{\sqrt {-1}}+n{\sqrt {2\mu }}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963282b9566ae9f81254748d42deb35d3cf0b870)
Supposons donc que nous ayons une expression
où le premier
terme du développement de
suivant les puissances de
se réduise
à
et où le produit
se réduise à un seul facteur
![{\displaystyle {\sqrt {-1}}-n\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeb74c22421c5c0fc6969327a251a40d6a0de38)
Alors le développement de
aura pour premier terme
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon \mu }{2}}\,{\frac {\mathrm {B} _{n}}{{\sqrt {-1}}-n{\sqrt {2\mu }}}}=\varepsilon \,{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {\mathrm {B} _{n}}{2\alpha -n}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75bd09faf591a32a14623668e240e3653954545e)
Ainsi s’explique, dans le développement (15), la présence du
coefficient
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} _{n}}{2\alpha -n}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b8f44351612e71ff2b37a94876b93a685d3931)
De même
est développable suivant les puissances de
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {S} '=\mathrm {S} _{0}'+\mathrm {S} _{1}'\varepsilon +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced69693b1362e94e11a85c12cc4995b1d814e01)
est la partie réelle de
et
se présente sous la forme d’un
développement procédant suivant les puissances de
et qui n’est
autre chose que le développement (14).
231. Les fonctions
et
se présentent sous la forme de développements.
Le développement de
procédant suivant les puissances
de
n’est convergent que quand
est voisin de
celui de
procédant suivant les puissances de
n’est convergent
que quand
est voisin de zéro. Mais on peut, par continuité
analytique, définir
et
pour des valeurs de
quelconques ;
on peut « continuer » ainsi ces fonctions de telle façon qu’elles
soient définies toutes deux pour les valeurs de
comprises entre
et
,
et
étant elles-mêmes comprises entre 0 et 2
On peut se demander si dans ce champ où elles sont définies
toutes deux, les fonctions
et
sont égales. La réponse doit être
négative. En effet, si l’on avait identiquement
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93dbb058b739b11275e31d51f8c52d723595c75)
les termes des développements convergents de
et
suivant les
puissances de
devraient être égaux et l’on devrait avoir en particulier
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\mathrm {S} _{1}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad41d86e576f2bc031693a163e1b162529ae661)
et par conséquent
![{\displaystyle \psi =\psi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1217ee556ae2add31f12b330b3b50c48f2aa970)
Or nous avons vu dans les numéros précédents que
n’est pas égal à ![{\displaystyle \psi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538b8f2cb492dab999a83fbb5d66e24725b7a107)
Ainsi
n’est pas égal à
on peut tirer de là une conséquence
importante. Nous savons que
et
sont développables formellement
suivant les puissances de
soient
(18)
|
|
|
ces développements peuvent s’obtenir, soit par les procédés des
nos 207 à 210, soit en partant des séries (17) et (17 bis), les développant suivant les puissances de
(Cf. no 108) et les traitant
ensuite comme je l’ai fait au numéro précédent.
La fonction
est, pour
voisin de
développable suivant
les puissances de
et de
et la fonction
pour
voisin
de zéro, se développe suivant les puissances de
et de
Cette propriété est caractéristique. La fonction
est la seule, en
effet, qui soit développable suivant les puissances de
et de
et qui satisfasse à l’équation (2) ; de même
est la seule fonction
qui soit développable suivant les puissances de
et de
et qui
satisfasse à l’équation (2).
D’autre part, les nos 207 à 210 nous apprennent que les
fonctions
peuvent être mises sous la forme de séries procédant
suivant les sinus et les cosinus des multiples de
Elles sont donc
développables à la fois suivant les puissances de
et de
pour
voisin de
et suivant celles de
et de
pour
voisin de zéro.
On a donc
![{\displaystyle \mathrm {T} _{i}=\mathrm {T} _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a016cc973b906e7ef16e4be4012a0fb7fc08406d)
Si donc les développements (18) étaient convergents, on aurait
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8e0a6f9d2fb60e72911c6a1b51391591e3b8ac)
Donc les développements (18) divergent.
Donc les développements du no 108, d’où on peut les tirer, ne convergent pas non plus.
(Cf. Tome I, p. 351, lignes 3 sqq.,
et Tome II, p. 392, ligne 13.)
232. J’ai supposé, dans ce qui précède, que
s’annule
pour
Cette restriction n’a rien d’essentiel. Si
ne
s’annulait pas et était égal par exemple à
il suffirait d’ajouter
aux développements (14) et (15) un terme
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {\mathrm {A} _{0}}{2\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a7457db314fe859775ddf4c69e7f23501480fc)
et d’ajouter la même constante aux intégrales (11) qui définissent
et ![{\displaystyle \psi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538b8f2cb492dab999a83fbb5d66e24725b7a107)
J’ai insisté assez longuement sur cet exemple, qui non seulement
me permettait de démontrer la divergence des séries des nos 108
et 207, mais qui présentait encore d’autres avantages.
D’abord il montrait comment on peut passer des développements
analogues à ceux du no 225 à des développements analogues
à ceux du no 104, en passant par l’intermédiaire des développements
des nos 226 et 228.
Ensuite les singularités que j’ai signalées dans les lignes qui
précèdent sont la première indication de l’existence des solutions
périodiques du deuxième gendre et doublement asymptotiques, sur
lesquelles de me réserve de revenir plus tard.
FIN DU TOME DEUXIÈME.