Considérons le produit des nombres naturels qui précèdent la racine donnée, et, d’autre part, le produit d’un nombre égal de facteurs consécutifs dont le premier soit l’exposant proposé : le quotient du deuxième produit par le premier sera le nombre demandé.
Soit, par exemple, proposé de trouver le nombre du troisième ordre dont la racine est 5.
Par le produit 24 des nombres 1, 2, 3, 4 inférieurs a 5, on divisera le produit 360 des quatre facteurs consécutifs 3, 4, 5, 6, dont le premier, 3, est l’exposant de l’ordre: le quotient 15 sera le nombre cherché.
La démonstration de cette règle est aisée. Le calcul ne diffère pas en effet de celui qui a été fait à la fin du Traité du triangle arithmétique pour trouver la cellule commune au cinquième rang perpendiculaire et au troisième rang parallèle : le nombre de cette cellule est précisément le nombre du troisième ordre qui a pour racine 5.
Le même problème peut encore être résolu comme il suit :
Considérons le produit des nombres qui précèdent l’exposant de l’ordre et, d’autre part, le produit d’un nombre égal de facteurs consécutifs dont le premier soit la racine proposée : le quotient du deuxième produit par le premier sera le nombre demandé.
Dans le cas de l’exemple cité plus haut, on divisera par le produit 2 des nombres i, 2 qui précèdent l’exposant de l’ordre 3, le produit 30 des deux facteurs 5,6. dont le premier est la racine donnée 5 : le quotient 15 sera le nombre cherché.
Cette seconde règle ne diffère de la première que
