Page:Œuvres de Descartes, éd. Cousin, tome V.djvu/342

tangle de deux quantités indéterminées, ou bien au carré d’une même, la ligne courbe est du premier et plus simple genre, dans lequel il n’y a que le cercle, la parabole, l’hyperbole et l’ellipse qui soient compris ; mais que lorsque l’équation monte jusqu’à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l’une des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le rapport d’un point à un autre), elle est du second ; et que lorsque l’équation monte jusqu’à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième ; et ainsi des autres à l’infini^[1].

Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne $\mathrm {EC} ,$ que j’imagine être décrite par l’intersection de la règle $\mathrm {GL}$ et du plan rectiligne $\mathrm {CNKL} ,$ dont le côté $\mathrm {KN}$ est indéfiniment prolongé vers $\mathrm {C} ,$ et qui, étant mu sur le plan de dessous en ligne droite, c’est-à-dire en telle sorte que son diamètre $\mathrm {KL}$ se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne $\mathrm {BA}$ prolongée de part et d’autre, fait mouvoir circulairement cette règle $\mathrm {GL}$ autour du point $\mathrm {G} ,$ à cause qu’elle lui est tellement jointe qu’elle passe toujours par le point $\mathrm {L} .$ Je choisis une ligne droite comme $\mathrm {AB} ,$ pour rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe $\mathrm {EC}$ ; et en cette ligne $\mathrm {AB}$ je choisis un point comme A^[2], pour commencer par lui ce calcul. Je dis que je choisis et l’un et l’autre, à cause qu’il est

1. Idée maîtresse de Descartes : la façon de distinguer les lignes courbes est de connaître le rapport qu’on leurs points à ceux de lignes droites, c’est dire de connaître l’équation de la courbe par rapport à un système d’axes et il propose une classification des courbes suivant le degré de l’équation.
2. Descartes propose le montage d’un triangle, sorte d’équerre nommée « plan rectiligne $\mathrm {CNKL}$ », dont le bord $[\mathrm {KL} ]$ (diamètre de longueur $b$) glisse sur une règle $(\mathrm {AK} ).$ Lorsque le point $\mathrm {L}$ varie, la règle $\mathrm {GL}$ tourne autour de $\mathrm {G}$ le point $\mathrm {C}$ situé à l’intersection de l’équerre et de la règle permet d’engendrer une courbe $(\mathrm {E} ).$ Un repère pour Descartes est formé par un segment, ici $[\mathrm {AK} ].$ Le point $\mathrm {B} ,$ projection orthogonale du point $\mathrm {C}$ sur $(\mathrm {AK} )$ permet de déterminer $\mathrm {AB} =x$ et alors $y$ est égal à la distance $\mathrm {CB}$ du point $\mathrm {C}$ à $(\mathrm {AK} ).$ Dans les pages qui suivent, il en détermine l’équation par rapport à cet axe en trouvant une relation entre $x$ et $y$ et montre que la courbe est une hyperbole.