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Livre Troisième.

qu’on peut ôter le second ternie de celles ci. En sorte qu’il n’y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu’une de ces trois formes :

${\begin{aligned}z^{3}&=-pz+q,\\z^{3}&=+pz+q,\\z^{3}&=+pz-q.\end{aligned}}$

Or si on a $z^{3}=-pz+q,$ la règle dont Cardan attribue l’invention à un nommé Scipio Ferreus, nous apprend que la racine est

${\sqrt {\mathrm {C} .+{\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}}}}}-{\sqrt {\mathrm {C} .-{\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}}}}}.$^[1]

Comme aussi lorsqu’on a $z^{3}=+pz+q,$ et que le carré de la moitié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, vue pareille règle nous apprend que la racine est

${\sqrt {\mathrm {C} .+{\frac {1}{2}}q+{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{27}}p^{3}}}}}+{\sqrt {\mathrm {C} .+{\frac {1}{2}}q-{\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}-{\frac {1}{27}}p^{3}}}}}.$

D’où il parait qu’on peut construire tous les problèmes, dont les difficultés se réduisent a l’une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques pour autre chose, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantité données, c’est à dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et l’unité.

Puis si on a $z^{3}=+pz+p,$ et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, en supposant le cercle $\mathrm {NQPV} ,$ dont le

1. Dans ces formules de Cardan, le facteur $\mathrm {C}$ indique la racine cubique.