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Donc, si on nomme $V\,\!$, $v\,\!$ les vitesses $AB\,\!$, $ab\,\!$; $U\,\!$, $n\,\!$ les vitesses des corps $A\,\!$, $a\,\!$ au second instant, c’est-à-dire les vitesses qu'ils ont au lieu de $AN\,\!$, $an\,\!$, on aura $A\cdot UU+a\cdot uu=\,\!$ $A\cdot AN^{2}+a\cdot an^{2}=\,\!$ $A(AB^{2}+2AD\times CA)+a(ab^{2}+2ad\cdot ca)=\,\!$ $A\cdot VV+a\cdot vv+2A\cdot AD\cdot CA+2a\cdot ad\cdot ca\,\!$. Donc $A(UU-VV)+a(uu-vv)=\,\!$ $2A\cdot AD\cdot CA+2a\cdot ad\cdot ca\,\!$, c’est-à-dire $2AVdV+2avdv=\,\!$ $2A\cdot AD\cdot CA+2a\times ad\cdot ca\,\!$, ou (supposant $V=0\,\!$ & $v=0\,\!$ au commencement du mouvement) $AVV+avv=\,\!$ $\int 2A\cdot AD\cdot CA+\int 2a\cdot ad\cdot ca\,\!$. Mais si les corps $A\,\!$, $a\,\!$ se mouvoient librement sur les courbes $GA\,\!$, $ga\,\!$, il est clair que $\int 2A\times AD\cdot CA\,\!$ seroit l’effet de la force motrice de $A\,\!$ depuis $G\,\!$ jufqu'en $A\,\!$, & de même $\int 2a\cdot ad\cdot ca\,\!$ l’effet de la force motrice de $a\,\!$ depuis $g\,\!$ jufqu'en $a\,\!$^[1]. Donc &c.

Si au commencement du mouvement, on avoit $V=B\,\!$, $v=b\,\!$, il est évident qu'on auroit alors $AVV+avv=\,\!$ $ABB+abb+\int 2A\cdot AD\cdot CA+\int 2a\cdot ad\cdot ca\,\!$.

On voit aisément que cette démonstration peut s’étendre à tel nombre de corps qu’on voudra ; car tout ce qu’on y a supposé, c’est que si la vitesse ne varie qu’infiniment peu d’un instant à l’autre, & que les corps ne soient

1. La force accélératrice en $A\,\!$ étant représentée par $AD\,\!$, son action suivant la courbe sera${\frac {AD\times AC}{AB}}\,\!$; donc si $u'\,\!$ est la vitesse du corps $A\,\!$ mû librement sur $GA\,\!$, on aura ${\frac {AD\times AC}{AB}}\times AB=u'du'\,\!$, ou $A\times AD\times AC=Au'du'\,\!$:donc $2\int A\times AD\times AC=Au'u'\,\!$; or ce qu'on appelle ici l’effet d’une force motrice, est le produit de la masse par le quarré de la vitesse que cette force peut imprimer.