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LES MAÎTRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

En substituant ces valeurs de $\scriptstyle \sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma$ et de $\scriptstyle \cos \alpha \,\cos \beta$, on obtient

$\scriptstyle \rho =-{\Bigg (}r{\frac {d^{2}r}{ds\,ds'}}+k{\frac {dr}{ds}}{\frac {dr}{ds'}}{\Bigg )}$

$=\scriptstyle -r^{1-k}{\Bigg (}r^{k}{\frac {d^{2}r}{ds\,ds'}}+kr^{k-1}{\frac {dr}{ds}}{\frac {dr}{ds'}}{\Bigg )}$

$=\scriptstyle -r^{1-k}{\frac {d\left(r^{k}\displaystyle {\frac {dr}{ds}}\right)}{ds}}$

$=\scriptstyle -{\frac {r^{1-k}}{1+k}}{\frac {d^{2}\left(r^{1+k}\right)}{ds\,ds'}}$

Comme c’est la quantité

$\scriptstyle \sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma +k\cos \alpha \cos \beta$

que nous avons représentée par $\scriptstyle \rho$, on a cette formule de trigonométrie analytique qui pourrait peut-être recevoir d’autres applications :

$\scriptstyle \sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma +k\cos \alpha \cos \beta =-{\frac {r^{1-k}}{1+k}}d^{2}{\frac {r{1+k}}{ds\,ds'}}$

Si l’on suppose $\scriptstyle {k}=1$, elle devient

$\scriptstyle \sin \alpha \,\cos \gamma +\cos \alpha \,\cos \beta =-{\frac {d^{2}\left({\frac {r^{2}}{2}}\right)}{ds\,ds'}}$

et si l’on représente par x, y, z trois coordonnées rectangulaires du point M, et par x′, y′, z′ celles du point M′ rapportées aux mêmes axes, x, y, z varieront seules avec s, et x′, y′, z′ avec s′ ; d’où il suit, à cause de

$\scriptstyle {\frac {r^{2}}{2}}={\frac {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}{2}}$