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M. COUETTE.

et nous aurons par suite

${\begin{aligned}u&=c\cos \theta -r\omega \sin \theta ,\\v&=a\sin \theta -r\omega \cos \theta ,\\w&=w.\end{aligned}}$

Nous ne considérerons que le cas où le mouvement est le même dans tous les azimuts, ce qui s’exprime par les conditions

${\frac {\partial a}{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial \omega }{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial w}{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial p}{\partial \theta }}=0.$

Nous supposerons enfin les forces extérieures réduites à la pesanteur, et l’axe des $z$ vertical et dirigé de haut en bas ; donc

$\mathrm {X} =0,\quad \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =g.$

En partant de ces données, on arrive par des calculs faciles, mais assez longs, que nous ne reproduirons pas, aux trois équations suivantes, qui remplacent les équations (1)

(3)

$\left\{{\begin{aligned}&-\rho \left({\frac {\partial a}{\partial t}}+a{\frac {\partial a}{\partial r}}+w{\frac {\partial a}{\partial z}}-r\omega ^{2}\right)-{\frac {\partial p}{\partial r}}\\&\qquad +\varepsilon \left({\frac {\partial ^{2}a}{\partial r^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial a}{\partial r}}-{\frac {a}{r^{2}}}\right)=0,\\&-\rho r\left({\frac {\partial \omega }{\partial t}}+a{\frac {\partial \omega }{\partial r}}+w{\frac {\partial \omega }{\partial z}}-2{\frac {a}{r}}\omega \right)\\&\qquad +\varepsilon \left(r{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial r^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial z^{2}}}+3{\frac {\partial \omega }{\partial r}}\right)=0,\\&\rho \left(g-{\frac {\partial w}{\partial t}}-a{\frac {\partial w}{\partial r}}-w{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}\\&\qquad +\varepsilon \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)=0,\end{aligned}}\right.$

avec l’équation de continuité

(4)

${\frac {\partial a}{\partial r}}+{\frac {a}{r}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0.$[1]

1. On peut aussi, par un changement de notations, déduire ces