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RÉSOLUES.

$1.2.3\dots m=z^{m}-{\frac {m}{1}}(z-1)^{m}+{\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}(z-2)^{m}-\ldots \,;$

faisant, dans cette dernière, $z=m+1,$ on obtiendra celle qu’il s’agissait de démontrer.^[1]

Agréez, Messieurs, etc.

Nismes, le 2 septembre 1811.

Sur les différences des ordres successifs des puissances
semblables des termes d’une progression arithmétique ;

Pour servir de réponse à la même question ;

Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Le théorème algébrique proposé à démontrer à la page 96 du 2.^me volume des Annales, peut être énoncé comme il suit : Les différences de l’ordre m.^eme des puissances m.^emes des nombres naturels successifs sont une quantité constante ; savoir : le pro-

On pourrait prouver, plus généralement, que si, dans une fonction entière et rationnelle du degré $m$, on substitue les termes d’une suite dont les n.^emes différences soient constantes, les résultats des substitutions formeront une suite dont les mn.^emes différences seront constantes.

1. M. Servois, professeur de mathématiques aux écoles d’artillerie de Lafère, a aussi adressé aux rédacteurs des Annales une démonstration de cette formule ; mais elle ne diffère en rien de celle de M. Tédenat.
   (Note des éditeurs.)