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QUESTIONS

on aura donc, à cause de l’équation $\mathrm {(B)}$ ;

$1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots m\Delta x^{m}=\left\{x+m\Delta x\right\}^{m}-{\frac {m}{1}}\left\{x+(m-1)\Delta x\right\}^{m}$

$+{\frac {m}{1}}\cdot {\frac {m-1}{2}}\left\{x+(m-2)\Delta x\right\}^{m}-\ldots ~;$$\mathrm {(D)}$

équation qui, en y faisant $x=(z-m)\Delta x,$ et divisant ensuite ses deux membres par $\Delta x^{m}$ devient

« Si dans une fonction rationnelle et entière, telle que

$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +Gx+H,~\mathrm {(M)}$

» on substitue pour $x$ les termes consécutifs d’une progression par différences dont la raison soit $\delta$ ; les résultats des substitutions formeront une suite dont les m.^emes différences seront constantes et égales à

$1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots mA\delta ^{m}.$ »

Cette dernière trouvant une utile application dans la recherche des limites des racines incommensurables des équations numériques, nous croyons convenable d’en présenter ici une démonstration générale purement élémentaire.

Supposons qu’elle soit déjà démontrée pour toutes les fonctions des degrés inférieurs à $m$, et soit $k$ l’un quelconque des termes de la progression des nombres à substituer dans la fonction $\mathrm {(M)}$ ; le suivant sera $k+\delta ~;$ exécutant donc la substitution de ces deux termes, et prenant la différence des résultats ; il viendra

$mA\delta k^{m-1}+{\frac {m-1}{2}}\delta \left\{2B+mA\delta \right\}k^{m-2}+\ldots ~;~\mathrm {(N)}$

tel est donc le terme général des premières différences de la suite dont il s’agit, et on en conclura ces premières différences, en y substituant successivement pour $k$ la suite $k+\delta ,\quad k+2\delta ,\quad k+3\delta ,\ldots ~;$ mais cette suite étant une progression par différences, dont la raison est, $\delta$ et la fonction $\mathrm {(N)}$, dans laquelle il faut la substituer, étant une fonction entière et rationnelle du degré $m-1,$ dont le premier terme a pour coefficient $mA\delta$ ; il résulte de l’hypothèse que les résultats des substitutions, c’est-à-dire, les premières difïéiences de la fonction $\mathrm {(M)}$ formeront une suite dont les (m-1)^emes différences, lesquelles seront par conséquent les m^emes différences de la fonction $\mathrm {(M)}$ seront constantes et égales à

$1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots (m-1)\delta \times \delta mA\times \delta ^{m-1}=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots mA\delta ^{m}$

Il est donc prouvé, par là, que la proposition serait vraie pour une fonction du degré $m$, si elle était vraie pour une fonction du degré $m-1.$ Or, il est très-facile de se convaincre qu’elle est vraie pour les fonctions des deux ou trois premiers degrés, d’où il faut conclure qu’elle est générale.