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ANALITIQUE.

blable au triangle $abc,$ et, dans le troisième cas, il lui sera semblable ; donc, ce dernier cas n’étant que la limite commune des deux autres, il est vrai de dire que le triangle $a'b'c'$, dans lequel $c'={\frac {b'}{b}}.{\frac {b^{2}-a^{2}}{c}}$, est en général dissemblable à $abc.$

7. Cette valeur $c'={\frac {b'}{b}}.{\frac {b^{2}-a^{2}}{c}},\ b$ étant toujours supposé $>a,$ est facile à construire ; si, en effet (fig.1 et 2), on abaisse du point $\mathrm {C}$ une perpendiculaire $\mathrm {CO}$ sur le côté $c,$ prolongé s’il est nécessaire ; que l’on porte ensuite le segment $\mathrm {OB}$ en sens contraire ; et qu’enfin, par le nouveau point $\mathrm {B}$, on mène une nouvelle droite $\mathrm {CB} =a$ ; on aura une nouvelle droite $\mathrm {AB,}$ qui sera la différence (fig. 2) ou la somme (fig. 1 ) des segmens, suivant que la perpendiculaire tombera en dedans ou en dehors du triangle donné $abc.$ On aura donc, en nommant $c''$ cette nouvelle droite $\mathrm {AB,}$ $c''={\frac {(b+a)(b-a)}{c}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{c}}$, et partant $c'={\frac {b'}{b}}c''$. Or si, sur la direction de la droite $\mathrm {CA=B,}$ à partir du point $\mathrm {C}$, on prend une longueur $\mathrm {CA'} =mb=b'$ ; que, sur la direction de la nouvelle droite $\mathrm {CB} =a,$ et à partir du même point, on porte une longueur $\mathrm {CB'} =ma=a'$ ; qu’enfin on mène $\mathrm {A'B',}$ on aura cette dernière droite $={\frac {b'}{b}}c''={\frac {b'}{b}}.{\frac {b^{2}-a^{2}}{c}}$ et, par conséquent, $\mathrm {A'B'C}$ sera le triangle cherché, dissemblable à $\mathrm {ABC.}$

8. La valeur $c'={\frac {b'}{b}}.{\frac {b^{2}-a^{2}}{c}}$, négative si $b$ est $<a,$ répond à un triangle $a'b'c'$ qui remplit, non les conditions même du problème, mais d’autres conditions un peu différentes, et telles que $\mathrm {A',}$ au lieu d’être $\mathrm {=A,}$ serait $\mathrm {=180^{\circ }-A.}$ En effet, dans cette nouvelle hypothèse, il faudra prendre, non plus $\operatorname {Cos} .\mathrm {A'} =\operatorname {Cos} .\mathrm {A}$, mais $\operatorname {Cos} .\mathrm {A'} =-\operatorname {Cos} .\mathrm {A}$ ; et par conséquent, non plus ${\frac {c'^{2}}{b'^{2}}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1+{\frac {2c'}{b'}}\mathrm {\operatorname {Cos} .A}$, mais ${\frac {c'^{2}}{b'^{2}}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1-{\frac {2c'}{b'}}\mathrm {\operatorname {Cos} .A}$ ; ce qui revient à changer simplement