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TRIGONOMÉTRIE.

le signe de $\mathrm {c'}$ ; exécutant donc ce changement, dans les racines déjà obtenues, elles deviendront, pour le problème dont il s’agit ici :

$c'=-{\frac {b'}{b}}c\quad \quad {\text{ et }}\quad \quad c'={\frac {b'}{b}}.{\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}$;

c’est-à-dire qu’elles ne différeront que par le signe, de celles qui répondent au premier problème.

9. La valeur $c'={\tfrac {b'}{b}}.{\tfrac {a^{2}-b^{2}}{c}}$, relative au premier problème, où l’on a fait $\mathrm {A'=A,}$ négative si b est < a, doit donc, étant prise avec un signe contraire, résoudre le second problème, où l’on a fait $\mathrm {A'=180^{\circ }-A.}$ Cette valeur répond à un triangle $a'b'c'$, en général dissemblable à $abc,$ et qui remplit les conditions du premier problème, excepté que $\mathrm {A'}$ est $=\mathrm {180^{\circ }-A} ,$ au lieu d’être $\mathrm {=A.}$ Je dis en général dissemblable à $abc$ ; car ce dernier triangle donne $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\operatorname {Cos} .\mathrm {A}$, d’où ${\tfrac {a^{2}-b^{2}}{c}}=c-2bc\operatorname {Cos} .\mathrm {A}$ ; ainsi, suivant que $\mathrm {A}$ sera aigu, obtus ou droit (fig.4, 5, 6), ${\tfrac {a^{2}-b^{2}}{c}}$ sera $<c,>c{\text{ ou }}=c,$ et par conséquent $c'=-{\tfrac {b'}{b}}.{\tfrac {a^{2}-b^{2}}{c}}$ sera $<-{\tfrac {b'}{b}}c,>-{\tfrac {b'}{b}}c,{\text{ ou }}=-{\tfrac {b'}{b}}c$ ; or, dans les deux premiers cas, le triangle $a'b'c'$ n’est pas semblable au triangle $abc$ et, dans le troisième, qui n’est autre chose que la limite commune de ces deux-là, il lui est semblable ; donc il est vrai de dire qu’en général il lui est dissemblable.

10. Cette valeur $c'=-{\tfrac {b'}{b}}.{\tfrac {a^{2}-b^{2}}{c}}$, $b$ étant $<a$ est facile à construire ; si, en effet, on opère (fig. 4 et 5), comme il a été dit (fig. 1 et 2 ), on aura une nouvelle droite $\mathrm {AB}$ ; et en faisant cette droite $=-c''$ parce qu’elle tombe à l’opposé de $c,$ on aura $-c''={\tfrac {(a+b)(a-b)}{c}}={\tfrac {a^{2}-b^{2}}{c}}$, et partant $c'={\tfrac {b'}{b}}c''$ ; or, si l’on continue, comme dans les figures 1 et 2, on aura semblablement une droite $\mathrm {A'B'}$, correspondante à la nouvelle droite $\mathrm {AB}$, et dont l’expression sera