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DU SECOND DEGRÉ.

équation cherchée, dont on constatera l’exactitude par la discussion.

Le procédé serait absolument semblable, si l’on donnait les limites de la courbe, dans le sens des $y$.

3. Soit $\mathrm {O}$ (fig. 7) un point considéré comme le résultat de la contraction d’une ellipse réduite à ce point ; soient :

$\mathrm {AD=2,\quad AE=2,\quad AB=5}$.

L’équation du diamètre $\mathrm {DO}$ sera :

$y=x+2$.

On a ici :

$x'=x''=5$,

d’où :

$y=2+2\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} (x-5)^{2}}}$,

en substituant l’abscisse relative au centre, qui est de même valeur que la limite unique, et observant que tout diamètre de la courbe est nul, on trouvera :

$\mathrm {\frac {B^{2}-4AC}{4A^{2}}} ={\frac {0}{0}}$.

ce qui nous apprend qu’on peut donner à ce facteur la valeur qu’on voudra. Nous choisirons la plus simple, et, attendu qu’il est toujours négatif, dans l’ellipse, nous le ferons $=-1$ ; nous aurons ainsi,

$y=x+2\pm {\sqrt {-(x-5)^{2}}}$ ;

isolant le radical, élevant au carré, transposant et réduisant, il viendra enfin :

$y^{2}-2xy+2x^{2}-4y-6x+29=0\qquad$^[1].

1. Il est facile de se rendre raison de l’indétermination qu’on rencontre ici pour la valeur de $\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}}$ ; si en effet on pose ce coefficient $=-m$, il viendra :
   $y=x+2\pm {\sqrt {-m(x-5)^{2}}}$ ;

   d’où, en transposant et faisant disparaître le radical,

   $(y-x-2)^{2}+m(x-5)^{2}=0$ ;