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COURBES.
4. 2.o Pour l’hyperbole. Soit une hyperbole, disposée comme dans la fig, 8, et telle qu’on ait ;
![{\displaystyle \mathrm {AD=1,\quad AE=3,\quad AB=5,\quad AB'=1,\quad OL=3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f602d94b5ab5f31fd3dd9e0d444db26c32f69b8)
.
L’équation du diamètre sera :
![{\displaystyle y={\frac {1}{3}}x-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9628228e2da7f4f6465a2afdcaa5f1a39161c80d)
.
et, à cause de
et de
on aura pour la courbe :
![{\displaystyle y={\frac {1}{3}}x-1\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} (x-5)(x+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f794cf894462036efde54cda485fdb995d5ebf33)
.
Mettant sous le radical, à la place de x, la valeur de
et comparant ce radical, ainsi modifié, à la valeur de
, prise sous une forme imaginaire, par la raison que le second diamètre ne saurait rencontrer la courbe, on fera ainsi :
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} \times -9}}=3{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f588b76792d5cf4466a32b33268f8b7d1eaa02)
;
d’où :
![{\displaystyle \mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} =+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23707efb185598c368182c6f9934288ad1510c18)
;
![{\displaystyle y={\frac {1}{3}}x-1\pm {\sqrt {x^{2}-4x-5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49b88b44d8b60d428a5817630ae6fbb4aed643d)
,
or, lorsque m est positif, comme on le suppose ici, cette équation ne peut être satisfaite qu’en posant séparément
![{\displaystyle y-x-2=0{\text{ et }}m(x-5)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad63bc9742cf59cc224c1ab1d5fd79d49efa974)
ou, plus simplement,
![{\displaystyle y-x-2=0{\text{ et }}(x-5)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ceeb716839790e2e2247cfe6234d509bd7d185b)
d’où l’on voit que le coefficient m disparaît de lui-même. De plus, comme l’on a
![{\displaystyle m=-{\frac {(y-x-2)^{2}}{(x-5)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c20b0ffd85f4579996e265a26fab6bf350c40b)
,
on devra avoir, dans le cas actuel,
![{\displaystyle m={\frac {0}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36750e26c4a35555e5ad090907b8541686cb1319)
.
On voit par là qu’un même point conjugué peut être exprimé par une infinité d’équations numériques différentes.
(Note des éditeurs.)