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DU SECOND DEGRÉ.
ce qui donne, toutes réductions faites,
![{\displaystyle 9y^{2}-6xy-8x^{2}+18y+30x+54=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7b71a2fc33fb5caf05dbac1e3e5bce0dc9593c)
.
5. Soit l’hyperbole de la fig. 9, et supposons que l’on ait,
![{\displaystyle \mathrm {AO=2,\quad AE=2,\quad AB=AI'=2,\quad OL=3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7abc7dc64f70473e5a61830c68b8735f7a56b70)
.
Le diamètre
dans le sens des
, aura pour équation :
![{\displaystyle y=-x-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6f6d1474a5791728ec7eab2c3ea34f7b7987d4)
;
ce diamètre ne pouvant rencontrer la courbe, les limites
et
qui le déterminent doivent être introduites dans l’équation sous la forme imaginaire, et il faut faire :
![{\displaystyle x'=AB{\sqrt {-1}}=2{\sqrt {-1}},\quad x''=AI'{\sqrt {-1}}=-2{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b55cc47047c761f8c2ef42410444dc42bde5b0a)
;
ce qui donne :
![{\displaystyle (x-x')(x-x'')=x^{2}+4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ff4963192c10060cc62896cfa7303c5d542793)
:
ainsi, on aura :
![{\displaystyle y=-x-2\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {B^{2}-4AC}{4A^{2}}} (x^{2}+4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf8f7b0500a45ed2dafe53eb425bd3dfbab8fa3)
,
Faisant maintenant, sous le radical,
attendu que l’abscisse relative au centre est nulle, et observant que le diamètre
est réel, on posera :
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} \times 4}}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3975311c50300bca201dfd41a8a9806fbd4b165)
,
d’où :
![{\displaystyle \mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} ={\frac {9}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea3640314429a156c478e6294f27ee8c58b736d)
.
Ainsi, l’équation deviendra :
![{\displaystyle y=-x-2\pm {\sqrt {{\frac {9}{4}}x^{2}+9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a7c24af059169bddf0757f437e66175c8f46ac)
;
ou :
![{\displaystyle 4y^{2}+8xy-5x^{2}+16y+16x-20=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323cdd2ac4c8975fd9beb8b659ae95658d906db8)
.
6. Soit l’hyperbole de la fig. 10, rapportée aux asymptotes
et
; supposons que l’asymptote
soit parallèle à l’axe
des ordonnées, ce qui annonce déjà que le quarré de
manquera dans l’équation cherchée. Soient ensuite :
![{\displaystyle \mathrm {AZ=AS=3,\quad AG=AH=2,\quad AD=6,\quad AK={\frac {8}{3}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70ebc2e86391f0fded8cdaea7530454e0387e3c)
.