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DU SECOND DEGRÉ.

ce qui donne, toutes réductions faites,

$9y^{2}-6xy-8x^{2}+18y+30x+54=0$.

5. Soit l’hyperbole de la fig. 9, et supposons que l’on ait,

$\mathrm {AO=2,\quad AE=2,\quad AB=AI'=2,\quad OL=3}$.

Le diamètre $\mathrm {II',}$ dans le sens des $x$, aura pour équation :

$y=-x-2$ ;

ce diamètre ne pouvant rencontrer la courbe, les limites $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AI'}$ qui le déterminent doivent être introduites dans l’équation sous la forme imaginaire, et il faut faire :

$x'=AB{\sqrt {-1}}=2{\sqrt {-1}},\quad x''=AI'{\sqrt {-1}}=-2{\sqrt {-1}}$ ;

ce qui donne :

$(x-x')(x-x'')=x^{2}+4$ :

ainsi, on aura :

$y=-x-2\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {B^{2}-4AC}{4A^{2}}} (x^{2}+4)}}$,

Faisant maintenant, sous le radical, $x=0,$ attendu que l’abscisse relative au centre est nulle, et observant que le diamètre $\mathrm {LL'}$ est réel, on posera :

${\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} \times 4}}=3$,

d’où :

$\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} ={\frac {9}{4}}$.

Ainsi, l’équation deviendra :

$y=-x-2\pm {\sqrt {{\frac {9}{4}}x^{2}+9}}$ ;

ou :

$4y^{2}+8xy-5x^{2}+16y+16x-20=0$.

6. Soit l’hyperbole de la fig. 10, rapportée aux asymptotes $\mathrm {OS}$ et $\mathrm {OZ}$ ; supposons que l’asymptote $\mathrm {OZ}$ soit parallèle à l’axe $\mathrm {AY}$ des ordonnées, ce qui annonce déjà que le quarré de $y$ manquera dans l’équation cherchée. Soient ensuite :

$\mathrm {AZ=AS=3,\quad AG=AH=2,\quad AD=6,\quad AK={\frac {8}{3}}}$.