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LOGARITHMIQUES.

$u+t=2x,m+2Px,{m-1}+....+2Rx+S+\Sigma ,$

${\frac {u-t}{u+t}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}(S-\Sigma )}{x^{m}+Px^{m-1}+\ldots +Rx+{\tfrac {1}{2}}(S+\Sigma )}}=T,$

et la formule $\mathrm {(A)}$ deviendra

$\operatorname {Log} {\frac {(x+a)(x+b)(x+c)\ldots (x+l)}{(x+\alpha )(x+\beta )(x+\gamma )\ldots (x+\lambda )}}$

$=2M\left[T+{\tfrac {1}{3}}T^{3}+{\tfrac {1}{5}}T^{5}+{\tfrac {1}{7}}T^{7}+etc.\right],$

ou

$\operatorname {Log} (x+a)+\operatorname {Log} (x+b)+\operatorname {Log} (x+c)+\ldots +\operatorname {Log} (x+l)\ldots$

$-\operatorname {Log} (x+\alpha )-\operatorname {Log} (x+\beta )-\operatorname {Log} (x+\gamma )\ldots -\operatorname {Log} (x+\lambda )\ldots$

$=2M\left[T+{\tfrac {1}{3}}T^{3}+{\tfrac {1}{5}}T^{5}+{\tfrac {1}{7}}T^{7}+{\text{etc.}}\right];\quad \mathrm {(B)}$

or, il est clair que, lorsque les valeurs particulières des lettres $x,a,b,c,$ etc. $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ etc., seront données, on pourra, par cette dernière formule, calculer le logarithme de l’un quelconque des nombres $x+a,x+b,x+c,$ etc., $x+\alpha ,x+\beta ,x+\gamma ,$ etc., si l’on connaît les logarithmes des autres. Il importe donc 1.^o de faire voir comment une équation telle que $\mathrm {(B)}$ peut servir à trouver les logarithmes de tous les nombres ; 2.^o de déterminer les conditions qui donnent à la série du second membre le plus de convergence, et par conséquent à la valeur cherchée l’approximation la plus rapide.

3. 1.^o Il est évident que, quelle que soit la valeur de $x$, les polynômes $u$ et $t$ ne changent point ; donc $x$ est variable. Il n’en est pas ainsi des lettres $a,b,c,$ etc., $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ etc. Les coefficiens $P,Q\ldots R$ étant les mêmes dans les deux polynômes, les valeurs de ces lettres $a,b,c,$ etc., $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ etc., doivent être telles que les fonctions des unes représentées par ces coefficiens dans le premier polynôme, soient respectivement égales aux fonctions semblables des autres représentées par ces mêmes coefficiens dans le second. Il suit de là