19
LOGARITHMIQUES.
![{\displaystyle u+t=2x,m+2Px,{m-1}+....+2Rx+S+\Sigma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87afd065db1b17e40fbbdd8eff327c98090c8004)
![{\displaystyle {\frac {u-t}{u+t}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}(S-\Sigma )}{x^{m}+Px^{m-1}+\ldots +Rx+{\tfrac {1}{2}}(S+\Sigma )}}=T,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6414836eaf712b5a2ef3724757828aa0e073288)
et la formule
deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Log} {\frac {(x+a)(x+b)(x+c)\ldots (x+l)}{(x+\alpha )(x+\beta )(x+\gamma )\ldots (x+\lambda )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027e16f4152c097f9993b3bb70aba437d00f6ac5)
![{\displaystyle =2M\left[T+{\tfrac {1}{3}}T^{3}+{\tfrac {1}{5}}T^{5}+{\tfrac {1}{7}}T^{7}+etc.\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdac872380295525a0ba438e7ca3efedcbf1df8b)
ou
![{\displaystyle \operatorname {Log} (x+a)+\operatorname {Log} (x+b)+\operatorname {Log} (x+c)+\ldots +\operatorname {Log} (x+l)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5e3e280954d5b9817e09ad1d27f1b41fccbed3)
![{\displaystyle -\operatorname {Log} (x+\alpha )-\operatorname {Log} (x+\beta )-\operatorname {Log} (x+\gamma )\ldots -\operatorname {Log} (x+\lambda )\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147f66b5910c4d03acc2ea0fa0cb87f77c1f8616)
![{\displaystyle =2M\left[T+{\tfrac {1}{3}}T^{3}+{\tfrac {1}{5}}T^{5}+{\tfrac {1}{7}}T^{7}+{\text{etc.}}\right];\quad \mathrm {(B)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600584ec0e43c8e1d1884639360eacd940ee980a)
or, il est clair que, lorsque les valeurs particulières des lettres
etc.
etc., seront données, on pourra, par cette dernière formule, calculer le logarithme de l’un quelconque des nombres
etc.,
etc., si l’on connaît les logarithmes des autres. Il importe donc 1.o de faire voir comment une équation telle que
peut servir à trouver les logarithmes de tous les nombres ; 2.o de déterminer les conditions qui donnent à la série du second membre le plus de convergence, et par conséquent à la valeur cherchée l’approximation la plus rapide.
3. 1.o Il est évident que, quelle que soit la valeur de
, les polynômes
et
ne changent point ; donc
est variable. Il n’en est pas ainsi des lettres
etc.,
etc. Les coefficiens
étant les mêmes dans les deux polynômes, les valeurs de ces lettres
etc.,
etc., doivent être telles que les fonctions des unes représentées par ces coefficiens dans le premier polynôme, soient respectivement égales aux fonctions semblables des autres représentées par ces mêmes coefficiens dans le second. Il suit de là