237
DU SECOND DEGRÉ.
l’équation de la projection
sera (3) :
![{\displaystyle y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f661b29e5d6bb6f59e76610cd617886d2c284f01)
,
de manière que celle de l’ellipsoïde
sera de la forme
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y-x+1\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7c61416d3bf8e485ec0bf39fd95aa15da398f2)
.
Substituant donc, dans le polynôme en
les valeurs de
et
et égalant le radical à zéro, à cause de l’évanouissement des axes de l’ellipsoïde, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}}={\frac {0}{0}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a39239004009e5ca690a2ba4bbb91cc3804f72)
;
en donnant donc à ce facteur une valeur arbitraire ; en le faisant, par exemple, et pour plus de simplicité, égal à
on aura
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y-x+1\pm {\sqrt {-(y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63685375826b501a7959cbf04f8716c607912578)
,
d’où
![{\displaystyle 4z^{2}+4zy+8zx-8xy+5y^{2}+17x^{2}-8x-4y-24x+20=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c91c54aa7ccf9dfc11ee8e50d85f6a4033a61b9)
,
équation cherchée.
15. 3.o Pour l’hyperboloïde. Soit un hyperboloïde à deux nappes, projeté sur le plan des
comme on le voit (fig. 3) et de telle façon que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {AB=7,\quad AB'=1,\quad AD=AO=4,\quad OL=4} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2c33dbab3d7f8780a3169de8ec14f6b00cedfc)
.
L’équation de la projection sera
![{\displaystyle y^{2}+2xy+{\tfrac {5}{9}}x^{2}-8y-{\tfrac {40}{9}}x+{\tfrac {116}{9}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf234072b86fba213aa644833771255c1cc3e8af)
.
Supposons que le plan-diamètre, parallèle à l’axe des
fasse avec le plan des
un angle dont la tangente trigonométrique soit égale à
, qu’il s’élève du côté des
négatives et passe sur l’axe des
au-dessus du point
à une hauteur égale à 1 ; ce plan diamètre aura pour équation