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DU SECOND DEGRÉ.

l’équation de la projection $\mathrm {O'}$ sera (3) :

$y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4=0$,

de manière que celle de l’ellipsoïde $\mathrm {O}$ sera de la forme

$z=-{\tfrac {1}{2}}y-x+1\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4)}}$.

Substituant donc, dans le polynôme en $xy,$ les valeurs de $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {CO',}$ et égalant le radical à zéro, à cause de l’évanouissement des axes de l’ellipsoïde, il viendra

$\mathrm {{\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}}={\frac {0}{0}}}$ ;

en donnant donc à ce facteur une valeur arbitraire ; en le faisant, par exemple, et pour plus de simplicité, égal à $-1,$ on aura

$z=-{\tfrac {1}{2}}y-x+1\pm {\sqrt {-(y^{2}-3xy+{\tfrac {11}{4}}x^{2}-4x+4)}}$,

d’où

$4z^{2}+4zy+8zx-8xy+5y^{2}+17x^{2}-8x-4y-24x+20=0$,

équation cherchée.

15. 3.^o Pour l’hyperboloïde. Soit un hyperboloïde à deux nappes, projeté sur le plan des $xy,$ comme on le voit (fig. 3) et de telle façon que l’on ait

$\mathrm {AB=7,\quad AB'=1,\quad AD=AO=4,\quad OL=4}$.

L’équation de la projection sera

$y^{2}+2xy+{\tfrac {5}{9}}x^{2}-8y-{\tfrac {40}{9}}x+{\tfrac {116}{9}}=0$.

Supposons que le plan-diamètre, parallèle à l’axe des $x,$ fasse avec le plan des $xy$ un angle dont la tangente trigonométrique soit égale à ${\tfrac {1}{2}}$, qu’il s’élève du côté des $y$ négatives et passe sur l’axe des $z,$ au-dessus du point $\mathrm {A,}$ à une hauteur égale à 1 ; ce plan diamètre aura pour équation