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PÉRIODIQUES.

sera l’inconnue $y$ qu’on demandait. Le radical, lui-même, sera

n\mathrm {M} -q\mathrm {O} =q\mathrm {O} -n\mathrm {N} .

17. Comme le coefficient q est entièrement arbitraire, on fera bien de supposer $q=0,$ et, dans cette supposition, l’indéterminée $y$ sera simplement égale à la fraction ${\frac {\sqrt {m}}{n}}.$ Développant donc cette fraction en fraction-continue qui, dans tous les cas, sera périodique, on connaîtra ainsi les bases, tant initiales que périodiques ; le coefficient $\mathrm {O} =(\beta \epsilon )(\beta \mathrm {F} )-(\beta \zeta )(\beta \mathrm {E} )$ fera connaître toutes les valeurs de $y$ ; et les racines correspondantes de $my^{2}-n^{2}$ seront comprises dans la formule $n\mathrm {M}$ ou $-n\mathrm {N} ~;$ qui revient à $n\left\{(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )-(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )\right\}.$

18. Dans le cas particulier, mais très-fréquent où $n=1,$ on obtient, sur-le-champ et presque sans calcul, les valeurs entières de l’indéterminée $y$ qui peuvent rendre l’expression $my^{2}+1$ un quarré parfait. Il suffit, pour cela, de développer en fraction-continue la racine quarrée du coefficient numérique $m$ ; et, comme on a $\mathrm {M+N} =0,$ la seule base initiale sera nécessairement (14)

\alpha =\mathrm {\frac {(AF)-(BE)}{2(AE)}}

^[1].

On aura de plus $y=\mathrm {(AE)} ~;$ et la racine correspondante de $my^{2}+1,$ sera $\mathrm {(AF)} -\alpha \mathrm {(AE)}$ ou $\mathrm {(BE)} +\alpha \mathrm {(AE)}$ ou, enfin, ${\tfrac {1}{2}}\left\{{\mathrm {(AF)+(BE)} }\right\}.$ Les exemples suivans éclairciront cette méthode ; et nous apprendrons aussi à rendre quarrée la fonction $my^{2}-1,$ du moins lorsque cela est possible.