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FRACTIONS-CONTINUES

ainsi, $\alpha =1,a=1,b=2~;$ on aura donc les deux séries de médiateurs que voici :

${\begin{array}{ll}\mathrm {(AE)} \ \ =\,\ \ \ 1,&\mathrm {(BE)} \ \ =\,\ \ \ 1,\\{\underline {\mathrm {(AF)} \ \ =\,\ \ \ 3,}}&{\underline {\mathrm {(BF)} \ \ =\,\ \ \ 2,}}\\(\mathrm {AE'} )\ =\,\ \ \ 4,&(\mathrm {BE'} )\ =\,\ \ \ 3,\\{\underline {(\mathrm {AF'} )\ =\ \,11,}}&{\underline {(\mathrm {BF'} )\ =\,\ \ \ 8,}}\\(\mathrm {AE''} )\,=\ \,15,&(\mathrm {BE''} )\,=\ \,11,\\{\underline {(\mathrm {AF''} )\,=\ \,41,}}&{\underline {(\mathrm {BF''} )\,=\ \,30,}}\\(\mathrm {AE'''} )=\,\ 56,&(\mathrm {BE'''} )=\,\ 41,\\(\mathrm {AF'''} )=153,&(\mathrm {BF'''} )=112\,;\end{array}}$^[1]

ainsi, les valeurs consécutives de $y$ seront celles des médiateurs $\mathrm {(AE)} ,$ c’est-à-dire, $1,4,15,56,\ldots$ et les racines correspondantes de $3y^{2}+1$ seront $\mathrm {(AF)-(AE)}$ ou $\mathrm {(AE)+(BE)}$ ou, enfin, ${\tfrac {1}{2}}\left\{\mathrm {(AF)+(BE)} \right\},$ c’est-à-dire, $2,7,26,97,\ldots$

Dans cet exemple, on pourrait aussi regarder les deux bases 1, 1, comme initiales ; les bases périodiques seraient alors 2, 1. Ayant donc, dans ce cas,

$\alpha =1,\quad \beta =1,\quad a=2,\quad b=1,$

on en déduirait les médiateurs que voici :

${\begin{array}{ll}(\alpha \mathrm {E} \ \ )=\,\ 1,&(\beta \mathrm {E} \ \ )=\,\ 0,\\{\underline {(\alpha \mathrm {F} \ \ )=\,\ 2,}}&{\underline {(\beta \mathrm {F} \ \ )=\,\ 1,}}\\(\alpha \mathrm {E'} \,)=\,\ 5,&(\beta \mathrm {E'} \,)=\,\ 3,\\{\underline {(\alpha \mathrm {F'} \,)=\,\ 7,}}&{\underline {(\beta \mathrm {F'} \,)=\,\ 4,}}\\(\alpha \mathrm {E''} )=19,&(\beta \mathrm {E''} )=11,\\(\alpha \mathrm {F''} )=26,&(\beta \mathrm {F''} )=15,\end{array}}$

donc$\qquad \qquad 0=\mathrm {M+N} =-2\alpha \mathrm {(AE)+(AF)-(BE)} ,$

d’où$\qquad \qquad \qquad \alpha =\mathrm {\frac {(AF)-(BE)}{2(AE)}} .$

1. L’auteur emploie ici des lettres accentuées, pour distinguer entre elles les diverses périodes.
   (Notes des éditeurs.)