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FRACTIONS-CONTINUES
En considérant comme initiales les bases 1, 1, la période serait
on aurait donc
![{\displaystyle \alpha =2,\quad \beta =1,\quad a=1,\quad b=1,\quad c=4,\quad d=1~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8122af6abd60f4a2939bc662b110028d3adf20b9)
de là résulterait
![{\displaystyle (\alpha \epsilon )=2,\quad (\alpha \zeta )=3,\quad (\beta \epsilon )=1,\quad (\beta \zeta )=1~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2691bf332d6aeb440570709d7fb1147d6ee81d8b)
et, par suite,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} &=2(\alpha \mathrm {F} )-3(\alpha \mathrm {E} ),\\\mathrm {M} &=2(\beta \mathrm {F} )-3(\beta \mathrm {E} ),\\\mathrm {N} &=\ \ (\alpha \mathrm {F} )-(\alpha \mathrm {E} ),\\\mathrm {O} &=\ \ (\beta \mathrm {F} )-(\beta \mathrm {E} ).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7149fc9b83b8a03c211bc5995d026b420e57f08b)
Les médiateurs seraient ici
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}(\alpha \mathrm {E} \,\ )=\,\ \ \quad 2,&(\beta \mathrm {E} \,\ )=\ \ \quad 1,\\{\underline {(\alpha \mathrm {F} \,\ )=\,\ \ \quad 3,}}&{\underline {(\beta \mathrm {F} \,\ )=\ \ \quad 1,}}\\(\alpha \mathrm {E'} \ )=\,\quad 37,&(\beta \mathrm {E'} \ )=\quad 14,\\{\underline {(\alpha \mathrm {F'} \ )=\,\quad 45,}}&{\underline {(\beta \mathrm {F'} \ )=\quad 17,}}\\(\alpha \mathrm {E''} \,)=\,\ \ 590,&(\beta \mathrm {E''} \,)=\ \ 223,\\{\underline {(\alpha \mathrm {F''} \,)=\ \ \,717,}}&{\underline {(\beta \mathrm {F''} \,)=\,\ \ 271,}}\\(\alpha \mathrm {E'''} )=\ 9413,&(\beta \mathrm {E'''} )=3554,\\(\alpha \mathrm {F'''} )=11427,&(\beta \mathrm {F'''} )=4319\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba82aeca79da48c182aeab905432a79c8b3bff8e)
ce qui donnerait pour les valeurs de
, et pour les racines correspondantes de
les mêmes nombres que ci-dessus.
Exemple III. Déterminer les valeurs entières de
qui peuvent rendre quarrée l’expression
En développant
en fraction-continue, on trouve d’abord la base initiale 10, puîs les bases périodiques
d’après quoi on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} &=-10\mathrm {(AE)+(AF)} ,\\\mathrm {N} &=-10\mathrm {(AE)-(BE)} ,\\\mathrm {O} &=-\mathrm {(AE)} ~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0f79c85ccb032d16c89654dc4de5639e976185)
les médiateurs sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {(AE)} =0,&&\mathrm {(BE)} =1,\\&\mathrm {(AF)} =1,&&\mathrm {(BF)} =1,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6673d6e86924660b20648421ab9c32613cbd4582)