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FRACTIONS-CONTINUES

En considérant comme initiales les bases 1, 1, la période serait $1,1,4,1~;$ on aurait donc

$\alpha =2,\quad \beta =1,\quad a=1,\quad b=1,\quad c=4,\quad d=1~;$

de là résulterait

$(\alpha \epsilon )=2,\quad (\alpha \zeta )=3,\quad (\beta \epsilon )=1,\quad (\beta \zeta )=1~;$

et, par suite,

${\begin{aligned}\mathrm {L} &=2(\alpha \mathrm {F} )-3(\alpha \mathrm {E} ),\\\mathrm {M} &=2(\beta \mathrm {F} )-3(\beta \mathrm {E} ),\\\mathrm {N} &=\ \ (\alpha \mathrm {F} )-(\alpha \mathrm {E} ),\\\mathrm {O} &=\ \ (\beta \mathrm {F} )-(\beta \mathrm {E} ).\\\end{aligned}}$

Les médiateurs seraient ici

${\begin{array}{ll}(\alpha \mathrm {E} \,\ )=\,\ \ \quad 2,&(\beta \mathrm {E} \,\ )=\ \ \quad 1,\\{\underline {(\alpha \mathrm {F} \,\ )=\,\ \ \quad 3,}}&{\underline {(\beta \mathrm {F} \,\ )=\ \ \quad 1,}}\\(\alpha \mathrm {E'} \ )=\,\quad 37,&(\beta \mathrm {E'} \ )=\quad 14,\\{\underline {(\alpha \mathrm {F'} \ )=\,\quad 45,}}&{\underline {(\beta \mathrm {F'} \ )=\quad 17,}}\\(\alpha \mathrm {E''} \,)=\,\ \ 590,&(\beta \mathrm {E''} \,)=\ \ 223,\\{\underline {(\alpha \mathrm {F''} \,)=\ \ \,717,}}&{\underline {(\beta \mathrm {F''} \,)=\,\ \ 271,}}\\(\alpha \mathrm {E'''} )=\ 9413,&(\beta \mathrm {E'''} )=3554,\\(\alpha \mathrm {F'''} )=11427,&(\beta \mathrm {F'''} )=4319\,;\end{array}}$

ce qui donnerait pour les valeurs de $y$, et pour les racines correspondantes de $7y^{2}+1,$ les mêmes nombres que ci-dessus.

Exemple III. Déterminer les valeurs entières de $y$ qui peuvent rendre quarrée l’expression $107y^{2}+1~?$

En développant ${\sqrt {107}}$ en fraction-continue, on trouve d’abord la base initiale 10, puîs les bases périodiques $2,1,9,1,2,20~:$ d’après quoi on a

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=-10\mathrm {(AE)+(AF)} ,\\\mathrm {N} &=-10\mathrm {(AE)-(BE)} ,\\\mathrm {O} &=-\mathrm {(AE)} ~;\\\end{aligned}}$

les médiateurs sont

${\begin{aligned}&\mathrm {(AE)} =0,&&\mathrm {(BE)} =1,\\&\mathrm {(AF)} =1,&&\mathrm {(BF)} =1,\\\end{aligned}}$