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FRACTIONS-CONTINUES
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\mathrm {B} &=2p\mathrm {RS} -q\mathrm {(PS+QR)} +2r\mathrm {PQ} +{\sqrt {q^{2}-4pr+4}},\\2\mathrm {C} &=-2p\mathrm {RS} +q\mathrm {(PS+QR)} -2r\mathrm {PQ} +{\sqrt {q^{2}-4pr+4}},\\\mathrm {D} &=-p\mathrm {S} ^{2}+q\mathrm {QS} -r\mathrm {Q} ^{2}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bfeb37698f33be3f365d776dd51c252d8abbd1)
Exemple. Soit proposée l’équation du second degré
Il faudra déterminer le facteur numérique
de manière que
ou
devienne un quarré parfait. On trouvera, par les méthodes qui ont été précédemment exposées,
; multipliant donc l’équation proposée par 12, ce qui donnera
on aura
![{\displaystyle p=84,\quad q=168,\quad r=48~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227bb4ce9474175130288c0d91d2431a95ddce38)
développant alors en fraction-continue la valeur numérique de
on aura la base initiale
; et, après elle, commencera la période. Cela donnera
![{\displaystyle \mathrm {P=1,\quad Q=2,\quad R=0,\quad S=1~;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbad20d04ceeb9f3c06b3ebdf681be88591f08b)
d’où l’on, conclura, par les formules précédentes,
![{\displaystyle \mathrm {A=48,\quad B=67,\quad C=43,\quad D=60~;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02688ad67dca56109a576b05cada2800205cc188)
réduisant donc en fraction-continue le rapport
ou
on aura la suite des bases périodiques, savoir :
![{\displaystyle a=1,\quad b=8,\quad c=1,\quad d=1,\quad e=2,\quad f=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e713c560e13fe23a0ca7a898bf834965368e66)
23. On a vu précédemment que, pour transformer en quarré parfait l’expression
il faut, en prenant
à volonté, transformer en fraction-continue
le développement faisant connaître, tant les bases initiales
que les bases périodiques,
et par conséquent les médiateurs
![{\displaystyle (\alpha \epsilon ),\quad (\alpha \zeta ),\quad (\beta \epsilon ),\quad (\beta \zeta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17bcb121a5a7d6420ca27d1ab7c7d442534025ba)
![{\displaystyle (\alpha \mathrm {E} ),\quad (\alpha \mathrm {F} ),\quad (\beta \mathrm {E} ),\quad (\beta \mathrm {F} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02351b2edc6653012189850c1013806365ba2c88)
et que, déduisant de ces médiateurs les valeurs des coefficiens
en vertu du N.o 12, les valeurs de
seront celles de
, tandis que les racines correspondantes seront
![{\displaystyle \mathrm {S^{2}A-RS(B-C)-R^{2}D=r~;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de33a0197d8a4db8402876b54aa8c68f2ad20ead)
considérant, dans ces équations,
comme trois inconnues, et ayant égard à ce que
d’où résulte
on obtiendra les trois équations de l’auteur ; en y joignant ensuite l’équation
on en déduira les valeurs de
données dans le texte.
(Note des éditeurs.)