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FRACTIONS-CONTINUES

${\begin{aligned}2\mathrm {B} &=2p\mathrm {RS} -q\mathrm {(PS+QR)} +2r\mathrm {PQ} +{\sqrt {q^{2}-4pr+4}},\\2\mathrm {C} &=-2p\mathrm {RS} +q\mathrm {(PS+QR)} -2r\mathrm {PQ} +{\sqrt {q^{2}-4pr+4}},\\\mathrm {D} &=-p\mathrm {S} ^{2}+q\mathrm {QS} -r\mathrm {Q} ^{2}.\\\end{aligned}}$

Exemple. Soit proposée l’équation du second degré $0=7-14y+4y^{2}.$ Il faudra déterminer le facteur numérique $k$ de manière que $84k^{2}+4$ ou $4(21k^{2}+1)$ devienne un quarré parfait. On trouvera, par les méthodes qui ont été précédemment exposées, $k=12$ ; multipliant donc l’équation proposée par 12, ce qui donnera $0=84-168y+48y^{2},$ on aura

$p=84,\quad q=168,\quad r=48~;$

développant alors en fraction-continue la valeur numérique de $y={\tfrac {1}{4}}(7+{\sqrt {21}})=11{,}5825757\ldots ,$ on aura la base initiale $\alpha =2$ ; et, après elle, commencera la période. Cela donnera

$\mathrm {P=1,\quad Q=2,\quad R=0,\quad S=1~;}$

d’où l’on, conclura, par les formules précédentes,

$\mathrm {A=48,\quad B=67,\quad C=43,\quad D=60~;}$

réduisant donc en fraction-continue le rapport $\mathrm {D:B}$ ou $60:67,$ on aura la suite des bases périodiques, savoir :

$a=1,\quad b=8,\quad c=1,\quad d=1,\quad e=2,\quad f=1.$

23. On a vu précédemment que, pour transformer en quarré parfait l’expression $my^{2}+n^{2},$ il faut, en prenant $q$ à volonté, transformer en fraction-continue $y={\tfrac {q+{\sqrt {m}}}{n}}~:$ le développement faisant connaître, tant les bases initiales $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ que les bases périodiques, $a,b,c,\ldots ,$ et par conséquent les médiateurs

$(\alpha \epsilon ),\quad (\alpha \zeta ),\quad (\beta \epsilon ),\quad (\beta \zeta ),$

$(\alpha \mathrm {E} ),\quad (\alpha \mathrm {F} ),\quad (\beta \mathrm {E} ),\quad (\beta \mathrm {F} ),$

et que, déduisant de ces médiateurs les valeurs des coefficiens $\mathrm {L,M,N,O,}$ en vertu du N.^o 12, les valeurs de $y$ seront celles de $\mathrm {O}$, tandis que les racines correspondantes seront

$\mathrm {S^{2}A-RS(B-C)-R^{2}D=r~;}$

considérant, dans ces équations, $\mathrm {A,B-C,D,}$ comme trois inconnues, et ayant égard à ce que $\mathrm {QR-PS=\pm 1,}$ d’où résulte $\mathrm {(QS-PR)^{2}=1,}$ on obtiendra les trois équations de l’auteur ; en y joignant ensuite l’équation $\mathrm {BC-AD=\pm 1,}$ on en déduira les valeurs de $\mathrm {A,B,C,D,}$ données dans le texte.

(Note des éditeurs.)