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FRACTIONS-CONTINUES PÉRIODIQUES
Cette table nous apprend que, dans la recherche des valeurs de
qui peuvent faire devenir l’expression
un quarré parfait, le choix du nombre arbitraire
n’est pas indifférent. Dans l’exemple actuel, où
et
les bases initiales sont partout au nombre de deux ; la première
se reconnaît par la seule inspection des nombres
Dans la colonne des secondes bases initiales, désignées par
, on trouve les nombres
qui ne paraissent être soumis à aucune loi connue jusqu’ici. Quant aux bases périodiques, les valeurs
et
dont la somme est 7, nous font connaître la période composée des nombres
Ces mêmes bases, quoique disposées dans un ordre différent, sont encore fournies par les valeurs
et conséquemment aussi
dont la somme est encore 7. Les valeurs
et
dont la somme est aussi 7, fournissent la période composée des bases
quoique disposées dans un ordre différent. Toutes ces périodes nous font connaître certaines valeurs de
, mais elles ne renferment pas la solution complète du problème.
La série complète des valeurs de
résulte des développemens que l’on obtient en supposant
ou
dont la somme est encore
7. Il en provient les deux bases
En adoptant cette période, et la valeur 2 pour
, on a
![{\displaystyle \alpha =0,\quad \beta =1,\quad a=3,\quad b=6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961aa3cf1a478cdc82c0f9615dcdd69840998bec)
ce qui donne
![{\displaystyle (\alpha \epsilon )=0,\quad (\alpha \zeta )=1,\quad (\beta \epsilon )=1,\quad (\beta \zeta )=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd9576ba44bf8052faf0f4fdd7be8d6e13edd8d)
les médiateurs qui en proviennent sont
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(\alpha \mathrm {E} )=&\quad \ \ 0,&(\beta \mathrm {E} )=&\quad \ \ 1,\\(\alpha \mathrm {F} )=&\quad \ \ 1,&(\beta \mathrm {F} )=&\quad \ \ 1,\\\hline \\(\alpha \mathrm {E'} )=&\quad \ \ 3,&(\beta \mathrm {E'} )=&\quad \ \ 4,\\(\alpha \mathrm {F'} )=&\quad 19,&(\beta \mathrm {F'} )=&\quad 25,\\\hline \\(\alpha \mathrm {E''} )=&\quad 60,&(\beta \mathrm {E''} )=&\quad 79,\\(\alpha \mathrm {F''} )=&\ \ 379,&(\beta \mathrm {F''} )=&\ \ 499,\\\hline \\(\alpha \mathrm {E'''} )=&1197,&(\beta \mathrm {E'''} )=&1576,\\(\alpha \mathrm {F'''} )=&7561,\qquad &(\beta \mathrm {F'''} )=&9955.\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c76b165015602b657fa3bc676ee785b5a92e31)