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FRACTIONS-CONTINUES PÉRIODIQUES

Cette table nous apprend que, dans la recherche des valeurs de $y$ qui peuvent faire devenir l’expression $my^{2}+n^{2}$ un quarré parfait, le choix du nombre arbitraire $q$ n’est pas indifférent. Dans l’exemple actuel, où $m=11$ et $n=7,$ les bases initiales sont partout au nombre de deux ; la première $\alpha$ se reconnaît par la seule inspection des nombres $m,n{\text{ et }}.$ Dans la colonne des secondes bases initiales, désignées par $\beta$ , on trouve les nombres $1,2,3,5,22,$ qui ne paraissent être soumis à aucune loi connue jusqu’ici. Quant aux bases périodiques, les valeurs $q=3$ et $q=4$ dont la somme est 7, nous font connaître la période composée des nombres $9,4,9,23.$ Ces mêmes bases, quoique disposées dans un ordre différent, sont encore fournies par les valeurs $q=0,$ et conséquemment aussi $q=7,$ dont la somme est encore 7. Les valeurs $q=1$ et $q=6,$ dont la somme est aussi 7, fournissent la période composée des bases $1,1,1,1,1,4,46,4,$ quoique disposées dans un ordre différent. Toutes ces périodes nous font connaître certaines valeurs de $y$ , mais elles ne renferment pas la solution complète du problème.

La série complète des valeurs de $y$ résulte des développemens que l’on obtient en supposant $q=2$ ou $q=5,$ dont la somme est encore 7. Il en provient les deux bases $3,6.$ En adoptant cette période, et la valeur 2 pour $q$ , on a

\alpha =0,\quad \beta =1,\quad a=3,\quad b=6,

ce qui donne

(\alpha \epsilon )=0,\quad (\alpha \zeta )=1,\quad (\beta \epsilon )=1,\quad (\beta \zeta )=1,

les médiateurs qui en proviennent sont

{\begin{alignedat}{2}(\alpha \mathrm {E} )=&\quad \ \ 0,&(\beta \mathrm {E} )=&\quad \ \ 1,\\(\alpha \mathrm {F} )=&\quad \ \ 1,&(\beta \mathrm {F} )=&\quad \ \ 1,\\\hline \\(\alpha \mathrm {E'} )=&\quad \ \ 3,&(\beta \mathrm {E'} )=&\quad \ \ 4,\\(\alpha \mathrm {F'} )=&\quad 19,&(\beta \mathrm {F'} )=&\quad 25,\\\hline \\(\alpha \mathrm {E''} )=&\quad 60,&(\beta \mathrm {E''} )=&\quad 79,\\(\alpha \mathrm {F''} )=&\ \ 379,&(\beta \mathrm {F''} )=&\ \ 499,\\\hline \\(\alpha \mathrm {E'''} )=&1197,&(\beta \mathrm {E'''} )=&1576,\\(\alpha \mathrm {F'''} )=&7561,\qquad &(\beta \mathrm {F'''} )=&9955.\\\end{alignedat}}