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RÉSOLUES.
en donnant zéro pour la longueur de chacune des branches de route qui ne devront pas exister.
On voit, par ce qui précède, que tout se réduit à déterminer le point de concours des trois branches de route ; les ponts devant se trouver aux extrémités des perpendiculaires abaissées de ce point sur les directions des deux canaux. Occupons-nous donc du problème suivant :
PROBLÈME. Un point étant donné déposition entre les côtés d’un angle connu ; déterminer, dans cet angle, un nouveau point dont la somme des distances à ses deux côtés et au point donné soit un minimum.
Soient
(fig. 3) l’angle donné, et
le point donné ; il s’agit de déterminer dans cet angle un point
tellement situé qu’en abaissant de ce point sur
et
les perpendiculaires
et
, et enjoignant le même point au point donné, par la droite
, on ait
minimum.
Solution. Soient pris le sommet
de l’angle donné pour origine clef coordonnées rectangulaires, et le côté
pour axe des
, désignons par
l’angle
, par
et
les coordonnées du point
, et par
et
celles du point
; nous aurons alors
![{\displaystyle \mathrm {ZM} =y,\quad \mathrm {ZN} =x\operatorname {Sin} .\gamma -y\operatorname {Cos} .\gamma ,\quad \mathrm {ZO} ={\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869446659cefc3110aa1ad3ef32cbb6d45ae6a36)
désignant donc par
la somme des trois distances
,
,
, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {S} =x\operatorname {Sin} .\gamma +y(1-\operatorname {Cos} .\gamma )+{\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f4b63d1c8cd2ee2d3c1ce986c59fbc45fd7241)
Les variables
et
de cette équation étant absolument indépendantes, il faudra, pour obtenir les conditions du minimum, égaler séparément à zéro
et
, ce qui donnera
![{\displaystyle \mathrm {(G)} \quad \left\{{\begin{array}{rl}\operatorname {Sin} .\gamma &={\dfrac {a-x}{\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}}}},\\1-\operatorname {Cos} .\gamma &={\dfrac {b-x}{\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}}}}~;\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82cdb2e3c52b2f38424ddf739d469d984a47f424)