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QUESTIONS.

et telles sont les équations qui devraient donner le valeurs particulières des coordonnées $x$ et $y$ du point $\mathrm {Z}$ qui répondent au minimum.

Mais il est facile de voir qu’en général ces deux équations ne peuvent subsister à la fois, attendu qu’on en peut déduire, entre les seules données du problème, une équation de relation qui peut fort bien ne pas se vérifier. Si, en effet, on prend la somme de leurs quarrés, on obtiendra, toutes réductions faites,

$\operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {1}{2}}\quad {\text{d’où}}\quad \gamma =60^{\circ }.$

Ainsi, si l’angle donné n’est pas de $60^{\circ }$, il n’y aura, à proprement parler, ni maximum ni minimum ; c’est-à-dire, qu’en variant la position du point $\mathrm {Z}$, la longueur $\mathrm {S}$ croîtra ou décroîtra continuellement et pourra acquérir toutes les valeurs possibles depuis l’infini positif jusqu’à l’infini négatif^[1].

Si, au contraire, l’angle donné $\mathrm {ASB}$ est de $60^{\circ }$, les deux équations $\mathrm {(G)}$ étant alors équivalentes, on n’a, entre les coordonnées $x$ et $y$ du point $\mathrm {Z}$, qu’une simple relation exprimée soit par l’une ou par l’autre de ces deux équations, soit par une équation résultant de leur combinaison ; il y a donc, dans ce cas, une infinité de points qui résolvent le problème.

Cherchons le lieu géométrique de tous ces points ; soient, pour cela, divisées l’une par l’autre les équations $\mathrm {(G)}$ ; on aura ainsi

${\frac {b-y}{a-x}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {y-b}{x-a}}={\frac {1-\operatorname {Cos} .\gamma }{\operatorname {Sin} .\gamma }}={\frac {2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma }{2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\gamma \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\gamma }}+\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ~;$

c’est-à-dire,

$y-b=(x-a)\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}\gamma$

telle est donc l’équation du lieu géométrique de tous les points qui résolvent alors le problème ; et l’on voit que ce lieu n’est autre chose qu’une parallèle, menée par le point donné, à la droite qui divise l’angle donné en deux parties égales.

1. Il n’en serait pas ainsi, si l’angle donné, au lieu d’être rectiligne, était mixtiligne ou curviligne. Le problème, envisagé sous ce point de vue, reste encore à résoudre.
   (Note des éditeurs.)