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ÉLIMINATION.

suivent :

${\begin{aligned}c'=&ac+\lambda d,\\c''=&ac'+\lambda bc+\lambda ^{2}e,\\c'''=&ac''+\lambda bc'+\lambda ^{2}cc+\lambda ^{3}f,\\c''''=&ac'''+\lambda bc''+\lambda ^{2}cc'+\lambda ^{3}dc+\lambda ^{4}g,\\\end{aligned}}$ $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ;$

ces valeurs forment encore une série récurrente ayant même échelle de relation que les précédentes, en sorte que la série indéfinie

$c+c'x+c''x^{2}+c'''x^{3}+\ldots$

est le développement de la fraction

${\frac {c+\lambda dx+\lambda ^{2}ex^{2}+\lambda ^{3}fx^{3}+\ldots }{1-ax-\lambda bx^{2}-\lambda ^{2}cx^{3}-\lambda ^{3}dx^{4}-\ldots }}~;$

et il en irait absolument de même pour les autres séries de valeurs $d,d',d'',d'''\ldots ;\quad e,e',e'',e'''\ldots$

3. Qu’on ait présentement, outre l’équation $\mathrm {(N)}$ du degré $n$, une autre équation $\mathrm {(M)}$, aussi en $y$, mais d’un autre degré quelconque $m$, supérieur à $n$, en mettant dans cette dernière, pour

$y^{n},y^{n+1},y^{n+2},\ldots ,y^{m},$

les valeurs de ces puissances déduites de la première, par le procédé très-simple que nous venons d’exposer ; elle ne sera plus que du degré $n-1.$ On aura donc, à la place des proposées, deux équations, des degrés $n$ et $n-1$ qui, en leur appliquant le même procédé, en feront trouver une nouvelle du degré zéro ; en poursuivant donc de la même manière, on parviendra enfin à une équation du degré zéro ; ce sera l’équation de condition qui devra exister entre les coefficiens des deux équations proposées, pour qu’elles puissent subsister ensemble^[1] ; c’est-à-dire, pour qu’il y ait un facteur commun entre elles.

1. Ce sera conséquemment l’équation finale, si les coefficiens des deux proposées sont des fonctions d’une inconnue autre que $y$.
   (Note des éditeurs.)