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ÉLIMINATION.

Sur quoi il est nécessaire d’observer que si, avant d’arriver a cette équation du degré zéro, on en rencontre une dont tous les coefficiens soient zéro, celle qui la précédera sera facteur commun aux deux proposées, indépendamment de toute détermination de leurs coefficiens.

4. La question se trouvant réduite, dès la première opération, ainsi qu’on vient de le voir, à éliminer l’inconnue $y$ entre deux équations dont les degrés ne diffèrent seulement que d’une unité, nous allons examiner ce cas en particulier, et présenter, comme modèle, les deux équations

${\begin{aligned}0=&Ay^{n}+By^{n-1}+Cy^{n-2}+Dy^{n-3}+Ey^{n-4}+\ldots \\0=&ay^{n-1}+by^{n-2}+cy^{n-3}+dy^{n-4}+ey^{n-5}+\ldots \\\end{aligned}}$

Appliquant la méthode précédente à ces deux équations, on en déduira une troisième du degré $n-2~;$ et, si l’on désigne cette dernière par

$0=a'y^{n-2}+b'y^{n-3}+c'y^{n-4}+d'y^{n-5}+\ldots$

les expressions littérales des coefficiens $a',b',c',d',\ldots ,$ seront celles qui suivent :

${\begin{aligned}a'=&b(Ab-Ba)-a(Ac-Ca),\\b'=&c(Ab-Ba)-a(Ad-Da),\\c'=&d(Ab-Ba)-a(Ae-Ea),\\d'=&e(Ab-Ba)-a(Af-Fa),\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

EXEMPLE I. Déterminer le diviseur commun aux deux polynômes ?

$5y^{3}-2y^{2}-3y+8,\quad 3y^{2}-7y+2~?$

Première opération.

Équations données :$\left\{{\begin{aligned}0=&5y^{3}-2y^{2}-3y+8,\\0=&3y^{2}-7y+2.\\\end{aligned}}\right.$