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QUESTIONS.

On sait d’ailleurs, avec la règle seulement, mener à une courbe du second degré une tangente, soit par un point extérieur, soit par un point pris sur la courbe^[1].

Il s’agit, d’après cela, de résoudre le problème suivant :

Trois droites indéfinies étant données de position par rapport à une courbe quelconque du second degré, et dans un même plan avec elles ; on propose de construire, en n’employant que la règle seulement, un triangle dont les trois côtés soient des tangentes à la courbe, et dont les sommets se trouvent sur les trois droites données ?

La solution de ce problème repose sur les considérations qui vont être développées.

1.^o Soit inscrit, à une ligne du second ordre (fig. 5), l’hexagone $rstuxy$. Je prolonge les côtés $rs,tu,xy,$ jusqu’à ce qu’ils se rencontrent deux à deux, et qu’ils forment le triangle $abc$. Je mène les diagonales $rx,ys;su,tr;tx,uy,$ qui se coupent, savoir : les deux premières en $o$, les deux suivantes en $p$ et les deux dernières en $q$ ; je tire les indéfinies $sx,ru,yt,$ qui vont concourir, savoir : la

1. Soit 1.^o $\mathrm {ABCD}$ (fig. 3) une courbe du second degré à laquelle il faille mener une tangente, par un point extérieur $\mathrm {P}$, en n’employant que la règle seulement.

   Soient menées, par ce point $\mathrm {P}$, les deux sécantes arbitraires $\mathrm {PDA}$ et $\mathrm {PCB}$ ; soit $\mathrm {E}$ le point de concours de $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {DC}$, et soit $\mathrm {F}$ le point de concours de $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {BD}$ ; en menant $\mathrm {EF}$, coupant la courbe en $\mathrm {G}$ et $\mathrm {H}$, ces deux points seront les points de contact de la courbe avec les tangentes issues du point $\mathrm {P}$.

   Soit 2.^o $\mathrm {ABPD}$ (fig. 4) une courbe du second degré à laquelle il faille mener une tangente par un point, de son périmètre, en n’employant que la règle seulement.

   Soient pris arbitrairement les trois points $\mathrm {A,B,D}$ ; soit $\mathrm {M}$ le point de concours de $\mathrm {AD}$ et $\mathrm {BP}$ ; soit $\mathrm {N}$ le point de concours de $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {DP}$, et soit menée $\mathrm {MN}$. En variant la situation de l’un ou de l’autre des deux points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {D}$ ou de tous les deux, à la fois, et répétant la même construction, on obtiendra une nouvelle droite $\mathrm {MN}$ dont l’intersection avec la première sera un des points de la tangente cherchée. (Voyez un mémoire de M. Brianchon dans le XIII.^e cahier du Journal de l’école polytechnique).

   (Note des éditeurs.)