première avec en , la seconde avec en , et la troisième avec en ; je mène qui, par leur rencontre, forment le triangle ; enfin je tire
2.o Il est d’abord évident que le point est le pôle de ; car est la corde des tangentes issues du point , et serait celle des tangentes issues du point ; par de semblables considérations, on s’assurera que et sont respectivement les pôles de et .
3.o Par une propriété connue de l’hexagone inscrit à une courbe du second degré, les trois points sont sur une même ligne droite[1] ; mais sont évidemment les cordes de contact des paires de tangentes issues des points , respectivement ; donc ces trois droites se coupent en un point unique , pôle de la droite .
4.o Dans le quadrilatère , la diagonale doit être divisée par les droites en segmens proportionnels[2], ou, en d’autres termes harmoniquement, donc les quatre droites sont des droites harmoniques qui conséquemment doivent couper harmoniquement toute droite qui ne passe pas par leur point de concours [3]. Pour de semblables raisons, le système des droites et le système des droites sont des systèmes de droites harmoniques.
5.o Soit l’intersection de avec , et soient désignées respectivement par les intersections de la même droite avec et [4]. D’abord (4.o) sera divisée harmoniquement en , par les harmoniques ; ensuite la même droite se trouvera encore harmoniquement divisée en , par les harmoniques or quand, sur une même droite, deux systèmes
- ↑ Voyez, ci-dessus, la note qui termine la première solution du second problème (pag. 335).
- ↑ Voyez l’essai sur la théorie des transversales, à la suite du beau mémoire de Carnot sur la relation entre cinq points dans l’espace, Théorème vi.
- ↑ Voyez le même ouvrage, Théorème vii.
- ↑ On n’a point dû, dans la figure, désigner ces points que l’on va prouver n’être autres que le point .