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RÉSOLUES.

terminer deux quelconques $o$ et $p$ des trois pôles $o,p,q~;$ 2.^o mener $\mathrm {A} o$ et $\mathrm {B} p$ qui donneront respectivement (5.^o) les deux points $a,b~;$ 3.^o mener $ab$ qui, en général, donnera sur la courbe les deux points $r,s~;$ 4.^o mener par l’un quelconque $r$ de ces deux points une tangente se terminant en $\mathrm {D}$ et $\mathrm {E}$ sur $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {BC}$ , puis deux autres tangentes par les points $\mathrm {D}$ et $\mathrm {E}$ , lesquelles concourront d’elles-mêmes en $\mathrm {F}$ sur $\mathrm {AB}$ . On aura ainsi une première solution du problème, et on aura la seconde en opérant sur le point $s$ comme il vient d’être dit pour le point $r$ .

$ab$ peut être tangente à la courbe ou ne pas la rencontrer ; dans le premier cas le problème n’admet qu’une solution, dans le second il est impossible.

Dans le cas où les trois données concourent en un même point, la construction qui vient d’être indiquée devient illusoire, parce qu’alors les points $o,p,q,$ se trouvent en ligne droite ; mais on sait d’ailleurs résoudre le problème pour ce cas^[1].

↑ On peut remarquer que la construction qui vient d’être indiquée est exactement celle qu’on trouve pour le cas particulier du cercle à la page 127 de ce volume, et qu’ainsi cette construction se trouve démontrée par ce qui précède.
On a vu (pag. 123) que le problème où l’on propose d’inscrire à un cercle un triangle dont les côtés passent par trois points donnés el celui où l’on propose de circonscrire à un cercle un triangle dont les sommets soient sur trois droites données, sont tellement liés entre eux que la résolution de chacun d’eux entraîne nécessairement celle de l’autre ; et il est aisé de voir qu’il en est encore de même lorsqu’on substitue au cercle une courbe quelconque du second degré.

La solution précédente renferme donc aussi implicitement celle de cet autre problème : Construire, en n’employant que la règle seulement, un triangle dont les côtés passent par trois points donnés et dont les sommets soient sur une courbe donnée du second degré ; problème dont la solution, pour le cas particulier du cercle, et sans interdire l’usage du compas, a occupé plusieurs illustres géomètres.

La construction qui répond à ce dernier problème devient illusoire, lorsque les trois points donnés sont en ligne droite, parce qu’alors les droites dont ils sont les pôles se coupent au même point. Si alors on suppose que la courbe est un cercle, on tombe sur le problème de Pappus. (Voyez ses collections mathématiques, livre VII, Prop. CXVII, Prob. XI).
(Note des éditeurs.)

[1] On peut remarquer que la construction qui vient d’être indiquée est exactement celle qu’on trouve pour le cas particulier du cercle à la page 127 de ce volume, et qu’ainsi cette construction se trouve démontrée par ce qui précède.
On a vu (pag. 123) que le problème où l’on propose d’inscrire à un cercle un triangle dont les côtés passent par trois points donnés el celui où l’on propose de circonscrire à un cercle un triangle dont les sommets soient sur trois droites données, sont tellement liés entre eux que la résolution de chacun d’eux entraîne nécessairement celle de l’autre ; et il est aisé de voir qu’il en est encore de même lorsqu’on substitue au cercle une courbe quelconque du second degré.

La solution précédente renferme donc aussi implicitement celle de cet autre problème : Construire, en n’employant que la règle seulement, un triangle dont les côtés passent par trois points donnés et dont les sommets soient sur une courbe donnée du second degré ; problème dont la solution, pour le cas particulier du cercle, et sans interdire l’usage du compas, a occupé plusieurs illustres géomètres.

La construction qui répond à ce dernier problème devient illusoire, lorsque les trois points donnés sont en ligne droite, parce qu’alors les droites dont ils sont les pôles se coupent au même point. Si alors on suppose que la courbe est un cercle, on tombe sur le problème de Pappus. (Voyez ses collections mathématiques, livre VII, Prop. CXVII, Prob. XI).
(Note des éditeurs.)

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