tion, tient 1.o à ce que le terme 49 est un quarré, ce qui permet de mettre l’équation proposée sous la forme
2.o à ce que, parmi les systèmes de valeurs fractionnaires de qui satisfont à cette dernière, il s’en trouve deux qui, à cause de leur dénominateur, donnent pour et des nombres entiers. On voit en effet que
Si, au contraire, on posait
on satisferait bien à l’équation
mais il en résulterait pour et les valeurs fractionnaires
Les formules (1), (2), sont donc très-générales ; elles contiennent toutes les séries de valeurs qui peuvent satisfaire à l’équation tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires.
N. B. Pendant que ceci s’imprimait, les rédacteurs ont reçu de M. Kramp la lettre suivante :
Mes recherches sur la solution complette, en nombres entiers, de l’équation m’ont conduit à quelques remarques que je m’empresse d’autant plus de vous communiquer qu’elles doivent servir à rectifier ce que j’ai eu l’honneur de vous écrire dans ma dernière lettre.
On sait que, si l’on connaît un cas qui remplisse la condition de cette équation, tel que et que, de plus, on connaisse deux nombres entiers tels que on peut de cette seule solution en déduire une infinité d’autres. Les , aussi bien que les , formeront deux séries récurrentes soumises à l’échelle de relation plus et moins 1 ; et, en désignant par les termes de la première des deux séries, et par les termes correspondants de l’autre, on aura
Par les lettres nous désignons toujours les termes initiaux des deux séries, qui en même temps sont moindres que tous les suivants ; et il y aura autant de ces séries que l’on pourra trouver de valeurs de et , différentes, et indépendantes entre elles.