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LOGARITHMIQUES.
ou
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lr}&\left[x+b+d+{\frac {bd-ac}{a+c-b-d}}\right]\left[x+2\right]\left[x+c\right]=0\\{\text{et}}&\\&\left[x+a+c+{\frac {bd-ac}{a+c-b-d}}\right]\left[x+b\right]\left[x+d\right]=0\\\end{array}}\right\}\mathrm {O} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2478ad74ad378856028d96f7bed25b22956e0c51)
Si l’on veut encore que ces équations ne diffèrent que par le signe de leur dernier terme, il faudra faire :
![{\displaystyle ac(b+d)(a+c-b-d)-a^{2}c^{2}=-bd(a+c)(a+c-b-d)-b^{2}d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fc657780c54d386e6c88cebb51024296e758ad)
équation qui, étant résolue par rapport à
, donnera ( en faisant pour abréger
) :
![{\displaystyle c={\frac {1}{2(hd-ka)}}\left\{hd^{2}-hkd-kab\pm \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d83dc22198001bd3fa411f823620f4c4492ec4)
![{\displaystyle \left.{\sqrt {h^{2}d^{4}-2hk^{2}d^{3}+k(h^{2}k-6hab-4kab)d^{2}+2k^{2}ab(h+2a)d+k^{2}a^{2}b^{2}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bee317b8ce8ba94613ebee4158df3a05ea97d7)
Ces valeurs devant être rationnelles, il faudra que la quantité qui est sous le radical devienne un carré. Supposant donc que la racine de ce carré soit
, on aura :
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}h^{2}d^{4}-2hk^{2}d^{3}+&k(h^{2}k-6hab-4kab)d^{2}+&2k^{2}ab(h+2a)d+k^{2}a^{2}b^{2}=\\=h^{2}d^{4}\pm 2h\lambda d^{3}+&(\pm 2hkab+\lambda ^{2})d^{2}+&2k\lambda abd+k^{2}a^{2}b^{2}\quad \\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d5bb44d2e6b0f05a2f99f61ec776e52545b0ef)
Égalant ensuite les coefficiens de
, 1.o il viendra
,
2.o l’équation sera réduite à
![{\displaystyle -2hk^{2}d+k(h^{2}k-6hab-4kab)=\pm 2hk(h+2a)d\pm 2hkab+k^{2}(h+2a)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d4bebcf8e74f38d2471470bc50b6fad7e88afe)
et donnera :
![{\displaystyle {\frac {-3hab\mp hab-2kab-2hka-2ka^{2}}{h(k\pm h\pm 2a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fea165352b7c697c3de3fdda656b08ce11c6c07)
Cette double valeur de
conduisant à deux résultats également remarquables, nous l’emploirons successivement, 1.o avec les signes supérieurs, 2.o avec les signes inférieurs,