46
FORMULES.
et
![{\displaystyle x^{2}\left[x+\alpha ^{2}+3\beta ^{2})\right]^{2}\left[x+2(\alpha ^{2}+3\beta ^{2})\right]^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73407dea33b32a43afb1fe73dd66b753afa33e49)
En examinant avec attention ces équations, on aperçoit aisément que les secondes sont des transformées des premières, transformées qu’on obtient en mettant dans celles-ci
à la place de
.
34. On peut aisément se procurer, pour le quatrième degré, deux équations complètes qui ne diffèrent entre elles que par leur dernier terme. Pour cela, prenons les équations :
![{\displaystyle \left[x^{2}+mx+2(m-a)\right]\left[x^{2}+nx+b(n-b)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45358232ba580f59ba769b94d37a6e10f7f946f9)
et
![{\displaystyle \left[x^{2}+mx+c(m-c)\right]\left[x^{2}+nx+d(n-d)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326d9b3ecf7918df9be875aef4a01aa20a5c2299)
ou
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}x^{4}+(m+n)x^{3}+(mn+ma+nb-a^{2}-b^{2})x^{2}+\\(mna+mnb-na^{2}-mb^{2})x+ab(m-a)(n-b)\\\end{array}}\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe12c5f61fc3546ed6f01a69ad31104b6dfdcb0)
et
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}x^{4}+(m+n)x^{3}+(mn+mc+nd-c^{2}-d^{2})x^{2}+\\(mnc+mnd-nc^{2}-md^{2})x+cd(m-c)(n-d)\\\end{array}}\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95bca0b09576a9bb4e362a694de9bdff4d6a094)
qui ont leurs racines commensurables, et dont les seconds termes ont le même coefficient. Les conditions à remplir nous fourniront les équations suivantes :
![{\displaystyle ma+nb-a^{2}-b^{2}=mc+nd-c^{2}-d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b4e5c1a850b63081a312d9a04a3b48de816861)
et
![{\displaystyle mna+mnb-na^{2}-mb^{2}=mnc+mnd-nc^{2}-md^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebfa1ced16253f3cc096803e2e2b5ad9227c172)
qui, en faisant :
![{\displaystyle a+c=\beta ,\quad a-c=\gamma ,\quad b+d=\delta ,\quad b-d=\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4ef1e67ae7ea2de8b69f045d4fc647eaa3fe8f)
deviennent :
![{\displaystyle \gamma m+\epsilon n-\beta \gamma -\delta \epsilon =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f866b6ea10da7ddfdfd34bf8884a85447a46b70c)
et
![{\displaystyle \gamma mn+\epsilon mn-\beta \gamma n-\delta \epsilon m=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749945af695cfd6b814738f7d87daa26be4aa2a6)