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DU SYSTÈME DE WOOD.

donnerait naissance à des espèces de spirales ou volutes planes, ou à double courbure, ou que la vitesse de rotation est elle-même variable, ou enfin que la direction du plan du cercle générateur varie dans l’espace suivant une loi connue ; mais toutes ces recherches, d’ailleurs très curieuses, ne paraissent guère susceptibles d’une utile application.

$\mathrm {X,Y,Z,}$ étant, ou du moins pouvant toujours devenir des fonctions de $t$ seulement, et représentant les vitesses du centre parallèlement aux axes.

Soit $\theta$ l’angle variable que forme avec l’axe des $x$ la projection sur le plan des $xy$ du rayon mené au point décrivant, en sorte qu’on ait

$\theta ={\frac {m}{r}}t+Const.\;\quad \mathrm {(C)}$

on aura évidemment

$x-x'=r\operatorname {Cos} .\theta ,\quad y-y'=r\operatorname {Sin} .\theta ,\quad z=z'~;\;\quad \mathrm {(D)}$

et l’élimination des variables $x',y',z',t,\theta ,$ entre les sept équations $\mathrm {(A,C,D)}$ conduira à l’équation de la trajectoire décrite. Si au contraire on n’en élimine que $x',y',z',\theta ,$ les trois équations qu’on obtiendra seront celles du mouvement du point décrivant.

Cela posé, dans les équations $\mathrm {(D)} ,$ tout, excepté $r$, étant variable et fonction de $t$, en les différentiant sous ce point de vue, elles deviendront

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t}}=r-{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}.\operatorname {Sin} .\theta ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} t}}=r{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}.\operatorname {Cos} .\theta ,\quad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} t}}~;$

équations d’où on tirera, en ayant égard aux équations $\mathrm {(B)}$ et observant que l’équation $\mathrm {(C)}$ donne $r{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}=m,$

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=\mathrm {X} -m.\operatorname {Sin} .\theta ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=\mathrm {Y} +m.\operatorname {Cos} .\theta ,\quad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}=\mathrm {Z} .$

Désignant donc par $\nu$ la vitesse absolue du point décrivant, il viendra

$\nu ={\sqrt {\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}}$
$={\sqrt {\left(\mathrm {X} -m.\operatorname {Sin} .\theta \right)^{2}+\left(\mathrm {Y} +m.\operatorname {Cos} .\theta \right)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}},$

c’est-à-dire,

$\nu ={\sqrt {m^{2}+\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}+2m\left(\mathrm {Y} .\operatorname {Cos} .\theta -\mathrm {X} .\operatorname {Sin} .\theta \right)}}.$

Quant aux équations de la direction de cette vitesse, et conséquemment celle de