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QUESTIONS

dedans de la circonférence dont $\mathrm {Z}$ est le centre et dont $\alpha$ est le rayon, c’est-à-dire, qu’on doit avoir $\alpha \leqq \mathrm {CZ} .$ Or,

${\begin{aligned}\mathrm {CA^{2}+CA'^{2}} &=2\mathrm {CZ^{2}=2AZ^{2}=2CZ^{2}} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AA'^{2}} \\&=2\mathrm {CZ} ^{2}+{\frac {\mathrm {CA^{2}+CA'^{2}-2CA\times CA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {C} }{2}}~;\\\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {2CZ^{2}} ={\frac {\mathrm {CA^{2}+CA'^{2}+2CA\times CA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {C} }{2}}~;$

et

$\mathrm {CZ^{2}} ={\frac {\mathrm {CA^{2}+CA'^{2}+2CA\times CA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {C} }{4}}~;$

on doit donc avoir

$4\alpha ^{2}\leqq \mathrm {CA^{2}+2CA\times CA'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {C+CA'^{2}.}$

Dans le cas présent, cette inégalité devient

$\left\{\mathrm {\frac {{\tfrac {1}{2}}(AA'+CC').{\tfrac {1}{2}}(AA'-CC')}{BB'}} \right\}^{2}\leqq \mathrm {AB^{2}+A'B'^{2}+2AB\times A'B'}$

$\times \mathrm {\frac {AA'^{2}+CC'^{2}-2(AB^{2}+BB'^{2}+A'B'^{2}}{4AB\times A'B'}} ,$

${\begin{aligned}&\mathrm {\leqq AB^{2}+A'B'^{2}+{\frac {AA'^{2}+CC'^{2}-2(AB^{2}+BB'^{2}+A'B'^{2}}{2}}} ,\\&\mathrm {\leqq {\frac {AA'^{2}+CC'^{2}}{2}}-BB'^{2}} .\\\end{aligned}}$

De là on tire $\left\{{\begin{aligned}\mathrm {BB'\geqq {\tfrac {1}{2}}(AA'-CC')} ,\\\mathrm {BB'\leqq {\tfrac {1}{2}}(AA'+SC')} ~;\\\end{aligned}}\right.$

savoir ; Dans tout quadrilatère, la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés n’est pas plus petite que la demi-différence des deux autres côtés, et elle n’est pas plus grande que leur demi-somme.