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RÉSOLUES.

Remarque III. L’équation

$\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B+A'B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} ={\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {(AA'+CC')} \times {\tfrac {1}{2}}\mathrm {(AA'-CC')} }{\mathrm {BB'} ,}}$

donne lieu à la construction suivante :

Des points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A'}$ soient abaissées sur $\mathrm {BB'}$ les perpendiculaires $\mathrm {A} b$ et $\mathrm {A} 'b'$ ; on aura

$\mathrm {B} b=\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B} ,\qquad \mathrm {B} 'b'=\mathrm {A'B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} ~;$

donc

$bb'=\mathrm {BB'+AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B+A'B'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {B'}$

$={\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {(AA'+CC')} \times {\tfrac {1}{2}}\mathrm {(AA'-CC')} }{\mathrm {BB'} }}+\mathrm {BB'}$

Or, le rapport de $\mathrm {AA'}$ à $bb'$ est le rapport du sinus total au cosinus de l’inclinaison du côté $\mathrm {BB'}$ au côté $\mathrm {AA'}$ ; donc on connaît cette inclinaison ; et, par la première équation, on connaît celle des deux côtés $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {A'C'}$ l’un à l’autre.

Remarque IV. De là le problème proposé est ramené au suivant ; soient deux cercles donnés de grandeur et de position, et soit une droite donnée de position ; mener une droite parallèle à la droite donnée de position, de manière que sa partie comprise entre les circonférences des deux cercles soit de grandeur donnée.

En effet, les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B'}$ sont à des circonférences données, dont les centres sont $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A'}$, et dont les rayons sont $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {A'B'}$ et la droite $\mathrm {BB'}$, donnée de grandeur, doit être inscrite entre les circonférences de ces cercles, de manière qu’elle fasse un angle donné avec la droite $\mathrm {AA'}$ qui joint leurs centres.

Par le centre $\mathrm {A}$ soit menée une droite $\mathrm {A} \alpha$, égale à $\mathrm {BB'}$ et faisant avec $\mathrm {AA'}$ l’angle donné. Du point $\alpha$ comme centre, avec le rayon $\mathrm {AB}$, soit décrite une circonférence de cercle qui rencontre (s’il est possible) en $\mathrm {B'}$ la circonférence dont $\mathrm {A'}$ est le centre et $\mathrm {A'B'}$ le rayon ; soit enfin menée $\mathrm {B'B}$ parallèle à $\mathrm {A} \alpha$, et terminée en $\mathrm {B}$ à la circonférence de l’autre cercle ; la droite $\mathrm {B'B}$ sera la position de la droite qui joint les milieux des côtés opposés $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {A'C'}$.

Si la circonférence décrite du centre $\alpha$ avec le rayon $\mathrm {AB}$, coupe la circonférence décrite avec le rayon $\mathrm {A'B'}$ et le centre $\mathrm {A'}$, le problème proposé a deux solutions.