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QUESTIONS

Si la rencontre de ces circonférences n’a pas lieu, le problème est impossible.

Si enfin la rencontre se fait par contact, il y a une limite entre les quantités données.

Pour que le problème soit possible, on doit avoir les deux conditions

$\left.{\begin{aligned}1.^{\circ }\mathrm {AB} &\geqq \mathrm {A'} \alpha -\mathrm {A'B'} \\2.^{\circ }\mathrm {AB} &\leqq \mathrm {A'} \alpha +\mathrm {A'B'} \\\end{aligned}}\right\}{\text{ou}}\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A'} \alpha &\leqq \mathrm {AB+A'B'} \\\mathrm {A'} \alpha &\geqq \mathrm {AB-A'B'} \\\end{aligned}}\right\}{\text{donc}}\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A'} \alpha ^{2}&\leqq (\mathrm {AB+A'B'} )^{2},\\\mathrm {A'} \alpha ^{2}&\geqq (\mathrm {AB-A'B'} )^{2}~;\\\end{aligned}}\right.$

${\begin{aligned}{\text{or,}}\qquad \qquad \mathrm {A'} \alpha ^{2}&=\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {A} \alpha ^{2}-2\mathrm {AA'} \times \mathrm {A} \alpha .\operatorname {Cos} .\mathrm {A'A} \alpha \\&=\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {A} \alpha ^{2}-2\mathrm {BB'} \times bb'\\&=\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {BB'} ^{2}-2\mathrm {BB'} \times bb'\\=\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {BB'} ^{2}&-2\mathrm {BB'} \left\{\mathrm {BB'} +{\frac {{\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'} +\mathrm {CC'} )\times {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'-CC')} }{\mathrm {BB'} }}\right\}\\&=\mathrm {AA'} ^{2}-\mathrm {BB'} ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'} ^{2}-\mathrm {CC'} ^{2})\\&={\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {CC'} ^{2})-\mathrm {BB'} ^{2}~;\\\end{aligned}}$

on a donc les deux limites

$\left.{\begin{aligned}(\mathrm {AB+A'B'} )^{2}\geqq \\(\mathrm {AB-A'B'} )^{2}\leqq \\\end{aligned}}\right\}{\tfrac {1}{2}}(\mathrm {AA'^{2}+CC'^{2})-BB'} ^{2}.$

Autre solution. Le problème proposé peut aussi être résolu, indépendamment des propositions générales de la polygonométrie, comme il suit.

Que les côtés $\mathrm {AC,A'C'}$ se rencontrent (s’il y a lieu) en $\mathrm {S}$, (fig, 7) on aura

${\begin{aligned}\mathrm {CC'} ^{2}&=\mathrm {CS+C'S-2CS\times C'S.\operatorname {Cos} .S} ,\\&=(\mathrm {BS-BC)^{2}+(B'S-B'C)^{2}-2(BS-BC)(B'S-B'C').\operatorname {Cos} .S} ,\\&=\mathrm {BB'^{2}-2BS\times BC+2BS\times B'C'\operatorname {Cos} .S+BC^{2}+B'C'^{2}-2BC\times B'C'\operatorname {Cos} .S} .\\&-2\mathrm {B'S\times B'C'+2B'S\times BC.\operatorname {Cos} .S} .\\\end{aligned}}$

On trouvera par un calcul à peu près semblable,

${\begin{aligned}\mathrm {AA'^{2}=BB'^{2}} &+2\mathrm {BS\times BC-2BS\times B'C'.\operatorname {Cos} .S+BC^{2}+B'C'^{2}-2BC\times B'C'.\operatorname {Cos} .S} .\\&+2\mathrm {B'S\times B'C'-2B'S\times BC.\operatorname {Cos} .S} .\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {de\ l{\grave {a}}} \quad \mathrm {AA'^{2}+CC'^{2}} &=2\mathrm {BB'^{2}+2BC^{2}+2B'C'^{2}-4BC\times B'C'.\operatorname {Cos} .S} ,\\\mathrm {AA'^{2}-CC'^{2}} &=4\mathrm {BS\times BC-4BS\times B'C'.\operatorname {Cos} .S} ,\\&+4\mathrm {B'S\times B'C'-4B'S\times BC.\operatorname {Cos} .S} .\\\end{aligned}}$