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RÉSOLUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

La première de ces équations donne

$\operatorname {Cos} .\mathrm {S={\frac {2(BB'^{2}+BC^{2}+B'C'^{2})-(AA'^{2}+CC'^{2})}{AC\times A'C'}}~;}$

et de la seconde on tire

$\mathrm {4BS(BC-B'C'} .\operatorname {Cos} .\mathrm {S)+4B'S(B'C'-BC} .\operatorname {Cos} .\mathrm {S)=AA'^{2}-CC'^{2}.}$

Partant, dans le triangle $\mathrm {BSB'}$, on connaît la base $\mathrm {BB'}$, l’angle $\mathrm {S}$ au sommet, et la somme $\mathrm {AA'^{2}-CC'^{2}}$ des rectangles des deux côtés $\mathrm {BS}$ et $\mathrm {B'S'}$ par les quantités données $\mathrm {BC-B'C'.\operatorname {Cos} .S}$ et $\mathrm {B'C'-BC.\operatorname {Cos} .S~;}$ lesquelles quantités données reviennent respectivement à

$\mathrm {{\tfrac {AA'^{2}+CC'^{2}-2BB'^{2}+2BC^{2}-2B'C'^{2}}{4BC}},\quad {\tfrac {AA'^{2}+CC'^{2}-2BB'^{2}-2BC^{2}+2B'C'^{2}}{4B'C'}}.}$

Ainsi, le problème proposé, snr le quadrilatère, est ramené au problème suivant, sur un triangle : on demande un triangle $\mathrm {BSB'}$ dont on connaît la base $\mathrm {BB'}$, l’angle au sommet $\mathrm {S}$, et la somme des rectangles des côtés $\mathrm {BS}$ et $\mathrm {B'S}$ par des droites données ?

Solution analitique du même problème ;

Par M. Rochat, professeur de mathématiques et de
navigation à St-Brieux.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit le quadrilatère $\mathrm {BCDE}$ (fig. 8), dont les milieux des côtés $\mathrm {BC}$ et $\mathrm {DE}$ sont respectivement $\mathrm {A}$ et $\mathrm {K}$, et dans lequel on connaît $\mathrm {AK} =a,\ \mathrm {BC} =b,\ \mathrm {DE} =c,\ \mathrm {CE} =d,\ \mathrm {BD} =e.$ Soient pris $\mathrm {AK}$ pour axe des $x$ ; et le point $\mathrm {A}$ pour origine ; et soient les coordonnées des sommets ainsi qu’il suit :

${\text{pour B }}\left\{{\begin{aligned}&+m,\\&+n~;\\\end{aligned}}\right.{\text{ pour C }}\left\{{\begin{aligned}&-m,\\&-n~;\\\end{aligned}}\right.{\text{ pour D }}\left\{{\begin{aligned}&a-p,\\&+q~;\\\end{aligned}}\right.{\text{ pour E }}\left\{{\begin{aligned}&a+p,\\&-q~;\\\end{aligned}}\right.$

les coordonnées des milieux respectifs $\mathrm {G,H}$ de $\mathrm {BD,CE}$ seront

${\text{pour G }}\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}(a-p+m),\\&{\tfrac {1}{2}}(q+n)~;\\\end{aligned}}\right.{\text{ pour H }}\left\{{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}(a+p-m),\\&-{\tfrac {1}{2}}(q+n)~;\\\end{aligned}}\right.$