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DES SURFACES DU SECOND ORDRE.
nous obtiendrons les équations de condition
substituant dans la première la valeur de 
donnée par la dernière, on parvient à l’équation du 3.e degré
Or, on démontre, dans les élémens d’algèbre, que cette équation a toujours au moins une racine réelle, et que même, lorsque le coefficient de son premier terme s’évanouit, cette racine est alors infinie, ce qui n’implique point ici contradiction ; car 
exprime une tangente trigonométrique. Par conséquent il existe, pour toutes les surfaces du second ordre, un axe des 
, perpendiculaire à un plan des 
de manière que l’équation générale de ces surfaces ne renferme plus les rectangles 
; et, comme on peut toujours chasser le rectangle
qui reste encore dans l’équation, on en conclut que, non-seulement on trouve un axe des , perpendiculaire au plan des qui prive la nouvelle équation des rectangles 
mais encore qu’il existe un axe des 
, perpendiculaire au plan des 
et un axe des 
, perpendiculaire au plan des 
jouissant des mêmes propriétés ; donc si, au moyen de l’équation (3) et des équations de l’axe des , on détermine le plan des , on trouvera que son équation est
Écrivant que l’axe des , dont les équations sont 
est perpendiculaire à ce plan, on parviendra aux mêmes équations
