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AXES PRINCIPAUX

(4) ; donc l’équation (5) détermine $b'$ en même temps que $b''$ ; on prouvera de même que sa troisième racine doit être $b$.

On conclut de tout ce qui précède,

1.^o Qu’il n’existe, généralement parlant, pour une origine donnée, qu’un système d’axes rectangulaires tel que les surfaces du second ordre, rapportées à ce système, soient privées, dans leur équation, des rectangles $xy,xz,yz.$

2.^o Que les équations des nouveaux axes étant

$\left\{{\begin{aligned}x&=az,\\y&=bz~;\\\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}x&=a'z,\\y&=b'z~;\\\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}x&=a''z,\\y&=b''z~;\\\end{aligned}}\right.$

l’équation (5) a ses trois racines réelles qui sont $b,b',b''~;$ la seconde des équations (4) donnant les valeurs correspondantes de $a,a',a''.$

3.^o Que l’équation

$t^{3}-(A+A'+A'')t^{2}+(A'A''+A''A+AA'-B^{2}-B'^{2}-B''^{2})t$

$+(AB^{2}+A'B'^{2}+A''B''^{2}-2BB'B''-AA'A'')=0,$

a ses trois racines réelles et donne les valeurs de $P,P',P''$ dans l’équation transformée

$Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}+Qx'+Q'y'+Q''z'=0$^[1] ;

car le procédé que nous avons suivi, dans la recherche de l’équation en $t,$ n’oblige point de faire d’abord disparaître les premières puissances de $x,y,z.$

Nous observerons en passant que, pour les surfaces du second ordre qui n’ont pas de centre, l’équation en $t$ a nécessairement une ou deux racines qui s’évanouissent.

L’équation (5) pouvant avoir une racine infinie et pouvant aussi être identique ; il est nécessaire d’examiner ces différens cas.

D’abord, le premier terme seulement de l’équation (5) s’évanouissant, on a

$(A-A')BB'+(B^{2}-B'^{2})B''=0.$

1. Voy. notre précédent mémoire, page 33 de ce volume.