(4) ; donc l’équation (5) détermine en même temps que ; on prouvera de même que sa troisième racine doit être .
On conclut de tout ce qui précède,
1.o Qu’il n’existe, généralement parlant, pour une origine donnée, qu’un système d’axes rectangulaires tel que les surfaces du second ordre, rapportées à ce système, soient privées, dans leur équation, des rectangles
2.o Que les équations des nouveaux axes étant
l’équation (5) a ses trois racines réelles qui sont la seconde des équations (4) donnant les valeurs correspondantes de
3.o Que l’équation
a ses trois racines réelles et donne les valeurs de dans l’équation transformée
car le procédé que nous avons suivi, dans la recherche de l’équation en n’oblige point de faire d’abord disparaître les premières puissances de
Nous observerons en passant que, pour les surfaces du second ordre qui n’ont pas de centre, l’équation en a nécessairement une ou deux racines qui s’évanouissent.
L’équation (5) pouvant avoir une racine infinie et pouvant aussi être identique ; il est nécessaire d’examiner ces différens cas.
D’abord, le premier terme seulement de l’équation (5) s’évanouissant, on a
- ↑ Voy. notre précédent mémoire, page 33 de ce volume.