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DES SURFACES DU SECOND ORDRE.

Dans ce cas, une des racines $b''$ est infinie, $a''$ est aussi infini ; ainsi les équations $x=a''z,\quad y=b''z$ de l’axe des $z'$ deviennent $z=0\;;$ cet axe est donc situé sur le plan des $xy$. Pour le déterminer on cherchera le rapport ${\frac {b''}{a''}}\;:$ or la dernière des équations (4), dans la supposition de $a''$ et $b''$ infinis se transforme en celle-ci

$(B'a''+Bb'')=0,{\text{ d’où }}{\frac {b''}{a''}}=-{\frac {B'}{B}}~;$

ainsi, les équations de l’axe cherché sont

$z=0,\quad By+B'x=0~;$

à l’égard des deux autres axes, on les obtient en résolvant une équation du second degré.

Supposons, en second lieu, que les deux premiers termes de l’équation (5) s’évanouissent ; alors les deux autres termes disparaissent d’eux-mêmes ; ainsi les deux équations

$(6)\left\{{\begin{aligned}(A-A')BB'&+(B^{2}-B'^{2})B''=0\\(A-A'')BB''&+(B^{2}-B''^{2})B'=0,\\\end{aligned}}\right.$

expriment que l’équation (5) est identique. Il existe donc, dans ce cas, pour une même origine donnée, une infinité de systèmes d’axes rectangulaires pour lesquels l’équation générale des surfaces du second degré ne renferme aucun des rectangles des coordonnées. Pour étudier ces différens systèmes, nous remonterons aux équations (4), mises sous cette forme

${\begin{aligned}B'a''^{2}+Ba''b''+(A''-A)a''-B''b''-B'&=0,\\Bb''^{2}+B'a''b''+(A''-A')b''-B''a''-B&=0~;\\\end{aligned}}$

retranchant du produit de la première des équations (6) par $B''$ le produit de la seconde par $B'$, en divisant le résultat par $B$, il viendra

$(A''-A')B'B''+(B''^{2}-B'^{2})B=0,$

éliminant $A''-A$ et $A''-A'$ des deux équations ci-dessus, au moyen de cette dernière et de la dernière des équations (6), il viendra

$(Ba''-B'')(B'B''a''+BB''b''+BB')=0,$

$(B'b''-B'')(B'B''a''+BB''b''+BB')=0.$