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AXES PRINCIPAUX

Ces deux équations sont satisfaites en posant

${\begin{aligned}Ba''-B''&=0,\\B'b''-B''&=0~;\\\end{aligned}}$

ce qui détermine un axe dont les équations sont

${\begin{aligned}Bx-B''z&=0,\\B'y-B''z&=0~;\\\end{aligned}}$

ensuite on a l’équation commune aux deux autres axes

$B'B''a''+BB''b''+BB'=0~;$

éliminant $a'',b'',$ entre cette équation et les équations $x=a''z,\quad y=b''z$ de l’axe des $z'$, on obtient le résultat

$B'B''x+B''By+BB'z=0~;$

équation d’un plan perpendiculaire à l’axe déjà déterminé, et qui contient les deux autres axes rectangulaires. La rencontre de ce plan avec la surface du second ordre donne une courbe du second degré qui aura par conséquent une infinité de systèmes d’axes rectangulaires, puisque son équation sera dépourvue du rectangle des coordonnées ; or, on sait que le cercle est la seule courbe du second degré qui jouisse de cette propriété ; donc la section faite par ce plan est un cercle. Si l’on transporte l’origine des coordonnées au centre de ce cercle, l’équation de la surface rapportée au nouveau système prendra la forme

$x^{2}+y^{2}+kz^{2}+k'z+k''=0,$

équation qui appartient à une surface de révolution.

On conclut de là que l’équation

$Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2Byz+2B'zx+2B''xy+Cx+C'y+C''z+D=0,$

lorsque les équations (6) sont satisfaites, représente toujours une surface de révolution du second ordre ; et que, si l’on veut chasser de cette équation les rectangles $xy,yz,zx,$ en passant à un nouveau système rectangulaire, on obtiendra une infinité de ces systèmes, l’un des nouveaux étant fixe.

Il nous reste encore à discuter ce qui arrive dans les surfaces