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DES CORPS CÉLESTES.

$Z''(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})^{\frac {3}{2}})=-\mu Z,$

et l’équation (32) peut d’ailleurs être mise sous cette forme

$2\mu =(X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2})(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})^{\frac {1}{2}})~;$

multipliant donc ces deux équations l’une par l’autre, il viendra, en réduisant et transposant

$(34)\qquad \qquad 2Z''(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})+Z(X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2})=0~;$

équation qui, par la substitution des valeurs de $X,Y,X',Y',Z',Z'',$ ne s’élèvera, en $Z$, qu’au troisième degré seulement ; elle pourra donc être résolue directement, par les tables trigonométriques ; et, si elle a toutes ses racines réelles, on n’admettra que celle d’entre elles qui satisfera à peu près à l’équation (31) ; l’hypothèse d’une orbite parabolique pourra être admise avec d’autant plus de fondement que cette valeur y satisfera d’une manière plus approchée^[1].

On voit donc que, dans le cas de la parabole, on a une équation surabondante ; on en pourrait faire usage pour éliminer les secondes différences soit des longitudes soit des latitudes géocentriques, et c’est ainsi qu’en use M. Laplace. Il résulte de là que cinq données seulement sont suffisantes pour la détermination complète des élémens du mouvement d’une comète.

XI. Supposons, en second lieu, que l’orbite soit assez peu excentrique pour pouvoir être sensiblement considérée comme circulaire, ainsi qu’il arrive pour la plupart des planètes, du moins lorsqu’on n’aspire qu’à une première approximation ; dans ce cas, $R$ et conséquemment $R^{2}$ devra être constant ; on aura donc, à la fois,

$(35)\qquad \qquad \qquad XX'+YY'+ZZ'=0,$

1. Les équations (32, 33) étant combinées entre elles, pourraient conduire à une équation du premier degré seulement qui serait, sans doute, fort difficile à obtenir ; mais qui, par l’effet des réductions, pourrait peut-être devenir assez simple.