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DES SURFACES DU SECOND ORDRE.

du second ordre, lorsque un, deux ou trois rectangles des coordonnées manquent dans leur équation.

D’abord, pour qu’il y ait une infinité de systèmes de coordonnées rectangles, il faut toujours que les équations (6) aient lieu. Soit donc $B'=0,$ nous aurons $B=0~;$ et comme alors le plan dont l’équation est

$B'B''x+B''By+BB''z=0,$

n’existe plus, puisque son équation se réduit à $0=0,$ nous reprendrons l’équation des surfaces qui aura la forme

$Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2B''xy+Cx+C'y+C''z+D=0.$

Faisant disparaître le rectangle $xy$, en passant à un nouveau système rectangulaire dans le plan des $xy$, nous obtiendrons l’équation

$Px^{2}+P'y^{2}+A''z^{2}+gx+g'y+C''z+D=0.$

dans laquelle $P$ et $P'$ seront les racines de l’équation

$t^{2}-(A+A')t+(AA'-B''^{2})=0.$^[1]

Maintenant il s’agit de produire tous les systèmes rectangulaires de manière que l’équation des surfaces conserve toujours cette forme

$Px^{2}+P'y^{2}+A''z^{2}+gx+g'y+C''z+D=0.$

Substituant à $x,y,z,$ les formules

${\begin{aligned}x&=ahx'+a'h'y'+a''h''z',\\y&=bhx'+b'h'y'+b''h''z',\\z&=hx'+h'y'+h''z',\\\end{aligned}}$

et faisant disparaître tous les rectangles qui s'introduisent, on trouvera des équations qui servent à déterminer le plan de deux axes,

$Pa''x+P'b''y+A''z=0~;$

écrivant que la droite dont les équations sont $x''=a''z,\quad y=b''z,$ est perpendiculaire à ce plan, on aura les équations

${\begin{aligned}(P-A'')a''&=0,\\(P'-A'')b''&=0.\\\end{aligned}}$

1. Voy. le mémoire déjà cité.