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DÉTERMINATION DES ORBITES

(36)$\qquad \qquad X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2}+XX''+YY''+ZZ''=0.$

Après les substitutions, ces équations seront, la première du second degré et la seconde du troisième, en $Z$, il sera donc facile d’en déduire une équation de relation entre les données du problème et une valeur de $Z$ au premier degré. Cette valeur substituée dans l’équation (31) donnera une nouvelle équation de relation. Si ces deux équations se trouvent satisfaites, on sera assuré que l’orbite est en effet circulaire ; et comme, par leur moyen, on pourra éliminer de la valeur de $Z$ les secondes différences tant des longitudes que des latitudes géocentriques, il s’ensuit que deux observations seulement seront alors suffisantes pour résoudre complètement le problème.

XII. Considérons maintenant le cas où la trajectoire décrite serait rectiligne : on aurait alors

$X=mZ+g,\qquad Y=nZ+h,$

$m,n,g,h,$ étant des constantes ; de là résulte

${\begin{aligned}&X'\,=mZ'\,,\qquad Y'\,=Zn',\\&X''=mZ'',\qquad Y''=nZ''~;\end{aligned}}$

et par suite

$X'Z''-Z'X''=0,\qquad Y'Z''-Z'X''=0~;$

équations qui, en vertu des équations (14, 15), peuvent être changées en celles-ci

$(37)\quad XZ'-ZX'=0,\qquad \qquad (38)\quad YZ'-ZY'=0~;$

ces dernières prouvent qu’alors le mouvement est dirigé vers le soleil. Après les substitutions, ces équations ne seront que du premier degré en $Z$, et elles fourniront, avec l’équation (31) y deux équations de condition qui serviront à vérifier l’hypothèse du mouvement rectiligne, et au moyen desquelles on pourra faire disparaître de la valeur de $Z$ les se-