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PROBLÈME

ses côtés ; $d,d',d'',$ les distances de ces mêmes sommets au centre du cercle ; $r,r',r'',$ les rayons de trois cercles inscrits, de manière que chacun touche les deux autres et deux côtés du triangle ; et enfin $s$ la demi-somme des trois côtés de ce triangle, on doit avoir

${\begin{aligned}2\rho \,\ r\ \ &=R(s-R+d-d'-d''),\\2\rho '\,r'\,&=R(s-R+d'-d''-d),\qquad \mathrm {(A)} \\2\rho ''r''&=R(s-R+d''-d-d')~;\\\end{aligned}}$

en ajoutant ces équations deux à deux, et supprimant le facteur 2 dans les équation résultantes, il vient

${\begin{aligned}\rho \ \ r\ \ +\rho '\,r'\,&=R(s-R-d''),\\\rho '\,r'\,+\rho ''r''&=R(s-R-d),\qquad \mathrm {(B)} \\\rho ''r''+\rho \ \ r\ \ &=R(s-R-d').\\\end{aligned}}$

Mais, $c,c',c'',$ étant les côtés du triangle, on a aussi (tome 1.^er, page 344) les équations

${\begin{aligned}\rho \ \ r\ \ +2R{\sqrt {r\ \ r'\,}}+\rho '\,r'\,&=Rc'',\\\rho '\,r'\,+2R{\sqrt {r'\,r''}}+\rho ''r''&=Rc,\qquad \mathrm {(C)} \\\rho ''r''+2R{\sqrt {r''r\ \ }}+\rho \ \ r\ \ &=Rc'.\\\end{aligned}}$

Retranchant de chacune de celles-ci sa correspondante parmi les équations $\mathrm {(B)} ,$ et divisant par $R$ les deux membres des équations résultantes, en se rappelant que $s-c,\quad s-c',\quad s-c'',$ sont respectivement égaux à $\rho ,\rho ',\rho '',$ on obtient

${\begin{aligned}2R{\sqrt {r\ \ r'\,}}&=d''+R-\rho '',\\2R{\sqrt {r'\,r''}}&=d+R-\rho ,\qquad \mathrm {(D)} \\2R{\sqrt {r''r\ \ }}&=d'+R-\rho '.\\\end{aligned}}$

Cela posé, soient $pp'p''$ (fig. 1) le triangle dont il s’agit ; $C$ le centre du cercle inscrit ; $t,t',t'',$ les points de contact de ce cercle avec ses côtés ; $tk''t',t'kt'',t''k't,$ des arcs décrits des sommets comme centres et avec leurs distances respectives aux points $t,t',t'',$ pour rayons ; soient enfin $o,o',o'',$ les centres des cercles dont les