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SECTIONS CONIQUES.

droite qui divise en deux parties égales l’angle $\mathrm {ASA',}$ et sur $\mathrm {SD}$ soient abaissées les perpendiculaires $\mathrm {CB}$ et $\mathrm {MQ}$.

Première supposition. Que la somme donnée soit $\mathrm {2SB.Sin.{\tfrac {1}{2}}S.}$ On aura $\mathrm {2MR.Sin.{\tfrac {1}{2}}S+MC=2SB.Sin.{\tfrac {1}{2}}S}$ d’où. $\mathrm {MC=2(SB-MR).Sin.{\tfrac {1}{2}}S=2(SB-QS).Sin.{\tfrac {1}{2}}S=2BQ.Sin.{\tfrac {1}{2}}S.}$

1.^o Soit $\mathrm {2Sin.{\tfrac {1}{2}}S=1~;}$ ou que l’angle $\mathrm {S}$ vaille le tiers de deux droits (fig. 3) ; on aura $\mathrm {MC=BQ}$ ; partant le lieu du point $\mathrm {M}$ est une droite donnée de position, menée par $\mathrm {C}$ parallèlement à celle qui divise l’angle $\mathrm {A'SA}$ en deux parties égales.

2.^o Puisque $\mathrm {MC}$.(fig.4) n’est pas plus petit que $\mathrm {BQ}$ ; $2Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S}$ n’est pas plus petit que l’unité, et partant l’angle $\mathrm {S}$ ne peut pas être plus petit que le tiers de deux droits. Soit donc $2Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} >1$ ; on a $\mathrm {MC:BQ=2Sin.{\tfrac {1}{2}}S:1.}$ Le lieu des points $\mathrm {M}$ est donc une droite menée par $\mathrm {C}$ et rencontrant $\mathrm {SB}$ sous un angle dont le cosinus est ${\frac {1}{2Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} }}.$

Seconde supposition. Que la somme donnée soit différente de $\mathrm {2SB.Sin.{\tfrac {1}{2}}S~;}$ ; soit cette somme égale à $\mathrm {2SD.Sin.{\tfrac {1}{2}}S.}$

Puisque$\quad 2\mathrm {MR} .Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S+MC} =2\mathrm {SD} .Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} ,$

on aura$\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {MC} =2\mathrm {DQ} .Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} ,$

ou$\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {MC:DQ} =2Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} :1.$

1.^o Soient $2Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} =1~;$ on aura $\mathrm {MC=DQ}$. Ainsi le lieu des points $\mathrm {M}$ est alors une parabole dont $\mathrm {C}$ est le foyer, et dont la directrice est la perpendiculaire élevée du point $\mathrm {D}$ à la droite $\mathrm {SB}$.

2.^o Soit $2Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} <1~;$ on aura aussi $\mathrm {MC<DQ}$ ; et le rapport de $\mathrm {MC}$ à $\mathrm {DQ}$ sera un rapport constant. Le lieu des points $\mathrm {M}$ sera donc alors une ellipse ayant le point $\mathrm {C}$ pour un de ses foyers et dont la directrice correspondant à ce foyer sera la perpendiculaire élevée du point $\mathrm {D}$ à la droite $\mathrm {SB}$.

3.^o Soit enfin $2Sin.{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} >1~;$ on aura aussi $\mathrm {MC>DQ} ,$ et en rapport constant. Le lieu des points $\mathrm {M}$ sera donc une hyperbole dont le point $\mathrm {C}$ sera l’un des foyers et dont la directrice correspondant à ce foyer sera la perpendiculaire élevée du point $\mathrm {D}$ à la droite $\mathrm {SB}$.