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LIEU AUX

Remarque I. On peut substituer aux droites dont on prend la somme de leurs rectangles par des droites données.

Remarque II. On peut aussi généraliser cette recherche, et l’étendre à un nombre quelconque de droites données de position, qui partent ou non d’un même point ; vu que le lemme sur lequel la proposition repose, s’étend à un nombre quelconque de droites données de position sur un plan.

Remarque III. Aux droites données de position sur un plan, on peut substituer des plans donnés de position, qui se coupent ou non en un même point ; vu que le lemme sur lequel la proposition est fondée, s’étend à des plans donnés de position. (Voyez l’ouvrage déjà cité, pag. 150-155). Le lieu cherché dans l’espace est un plan ou une surface de révolution du second ordre.

Remarque IV. Comme la comparaison des méthodes est un des points les plus importans dans les sciences de raisonnement, je crois devoir ajouter ici le procédé fondé sur la doctrine des coordonnées.

Que les équations des droites données soient,

$x\operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\alpha =d,\quad x\operatorname {Cos} .\alpha '+y\operatorname {Sin} .\alpha '=d'~;$

que les coordonnées du point donné soient $a$ et $b$ ; que les coordonnées du point cherché soient $x$ et $y$.

Les perpendiculaires abaissées du point cherché sur les droites données sont,

$x\operatorname {Cos} .\alpha +y\operatorname {Sin} .\alpha -d,\quad x\operatorname {Cos} .\alpha '+y\operatorname {Sin} .\alpha '-d'~;$

La distance du point donné au point cherché est

${\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}~;$

soit enfin $s-(d+d')$ la somme constante donnée, l’équation du lieu géométrique des points $\mathrm {M}$ sera

$x(\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\alpha ')+y(\operatorname {Sin} .\alpha +\operatorname {Sin} .\alpha ')+{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}=s.$

Si l’on désigne par $\phi$ l’angle des deux droites données, cette équation deviendra