Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/189

179

LOGARITHMIQUES.

mais, dans le système de logarithmes de Neper, on a aussi

$\operatorname {l} \left({\tfrac {1+y}{1-y}}\right)=2\left\{y+{\tfrac {1}{3}}y^{3}+{\tfrac {1}{5}}y^{5}+{\tfrac {1}{7}}y^{7}+\ldots \right\}.$

Formant le produit de ces deux équations, l’équation résultante deviendra, par la suppression de la série commune à ses deux membres, et la division par $1-y^{2}$

$\operatorname {l} \left({\tfrac {1+y}{1-y}}\right)={\tfrac {2}{1-y^{2}}}\left\{y-{\tfrac {2}{1.3}}y^{3}-{\tfrac {2}{3.5}}y^{5}-{\tfrac {2}{5.7}}y^{7}-\ldots \right\}.$

Posant alors

${\tfrac {1+y}{1-y}}=x,{\text{ d’où }}y={\tfrac {x-1}{x+1}},\quad {\tfrac {2}{1-y^{2}}}={\tfrac {(x+1)^{2}}{2x}}~;$

il viendra

$\operatorname {l} x={\tfrac {(x+1)^{2}}{2x}}\left\{\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)-{\tfrac {2}{1.3}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{3}-{\tfrac {2}{3.5}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{5}-\ldots \right\}.$

Formule qui revient à

$\operatorname {l} x={\tfrac {(x-1)}{x}}\left\{{\tfrac {x+1}{2}}-\left[{\tfrac {1}{1.3}}{\tfrac {(x-1)^{2}}{(x+1)}}+{\tfrac {1}{3.5}}{\tfrac {(x-1)^{4}}{(x+1)^{3}}}+{\tfrac {1}{5.7}}{\tfrac {(x-1)^{6}}{(x+1)^{5}}}+\ldots \right]\right\}.$

La formule donnée par M. Dubourguet est

$\operatorname {l} x={\tfrac {x-1}{2}}\left\{{\tfrac {x+1}{2}}-\left[{\tfrac {1}{1.3}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{3.5}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{4}+{\tfrac {1}{5.7}}\left({\tfrac {x-1}{x+1}}\right)^{5}+\ldots \right]\right\}.$

et son calcul est exact jusqu’au bout ; de manière que l’erreur ne peut venir uniquement que de ce que, dans la substitution de la valeur de ${\tfrac {2z^{2}}{\sqrt {1+z^{2}}}},$ il aura sans doute écrit ${\tfrac {(x-1)^{3}}{2x(x+1)^{2}}},$ au lieu de ${\tfrac {(x-1)^{3}}{2x(x+1)}}.$

Il est fâcheux, au surplus, que cette formule doive avoir la forme que je viens d’indiquer, attendu qu’elle perd ainsi un peu de sa convergence.

Agréez, Messieurs, etc.

Lafère, 2 octobre 1811.