II. Un cube ayant huit sommets, et un tétraèdre ayant quatre faces seulement, mais qui, trois à trois, concourent en un même point ; il est impossible que les huit sommets d’un cube inscrit à un tétraèdre soient distribués deux à deux sur les quatre faces du tétraèdre.
D’un autre côté, il est aisé de voir que trois des sommets d’un cube ne sauraient être sur une des faces d’un tétraèdre, dans lequel il est inscrit, sans qu’un quatrième sommet soit aussi sur la même face du tétraèdre, et qu’alors cette face n’en peut recevoir un plus grand nombre ; et, comme alors les quatre sommets restants doivent être distribués sur trois faces seulement ; l’une d’elles devra en contenir deux, et contiendra conséquemment une des arêtes du cube.
Lors donc qu’un cube est inscrit à un tétraèdre, l’une des faces du cube doit se confondre avec le plan de l’une des faces du tétraèdre, et la face opposée de ce cube doit être un quarré inscrit à la section faite au tétraèdre par le plan de cette face.
Or, la face du tétraèdre qui doit recevoir une des faces du cube peut être choisie de quatre manières différentes, et, dans chaque cas, celle des trois autres faces du tétraèdre qui doit contenir une des arêtes du cube, peut être choisie de trois manières ; ainsi, on peut, en général, inscrire à un tétraèdre douze cubes différens.
Cela posé, qu’il soit question d’inscrire un cube au tétraèdre (fig. 6), de telle manière que la face du tétraèdre contienne une des faces du cube, et que la face du tétraèdre contienne une des arêtes de ce cube.
Soit le cube demandé, dont la face soit sur la face du tétraèdre, l’arête sur la face de ce tétraèdre, et enfin les sommets sur les faces respectivement. Soit joint le point aux points par des droites seterminant en au plan de la face ; il est aisé de voir que ces points seront les sommets d’un quarré inscrit à cette face. Sur ce quarré, et du côté opposé au tétraèdre soit construit le cube ; à cause de la similitude des pyramides quadrangulaires et ces pyrami-
