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PUISSANCES

semblables ; et, comme le développement renfermait, ayant d’avoir subi la modification dont il s’agit ici, tous les mots qui pouvaient être formés de cette manière, et ne renfermait chacun d’eux qu’une fois seulement, il s’ensuit que ce développement, ainsi modifié, renfermera autant de termes pareils à celui que nous venons d’écrire, qu’il y a de manières de disposer, les uns à côté des autres, les facteurs dont ce terme est composé ; il faudra donc, pour faire la réduction de ces termes, n’en écrire qu’un seul, et lui donner pour coefficient la formule (A), à laquelle nous sommes parvenus (II). Le terme général du développement de $(a+b+c+\ldots +r)^{m}$ est donc

${\frac {1.2.3\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (m-1)m}{1.2\ldots \alpha \times 1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times \ldots }}a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots \,;$

et on en déduira tous les termes de ce développement en y admettant successivement, pour $\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ,$ tous les systèmes de valeurs entières et positives, y compris zéro, qui pourront satisfaire à la condition

$\alpha +\beta +\gamma +\ldots =m.$

IV. Si l’on suppose actuellement que le polynome $a+b+c+\ldots +r$ se réduise au binome $x+a,$ le terme général du développement de $(x+a)^{m}$ sera simplement

${\frac {1.2.3\ldots \ldots \ldots \ldots m}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta }}a^{\beta }x^{\alpha },$

avec la condition $\alpha +\beta =m.$ Soit changé $\beta$ en $n$, on aura $\alpha =m-n\,;$ ce terme général pourra alors être écrit comme il suit

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1)(m-n)\ldots 3.2.1}{1.2.3\ldots \ldots n.(m-n)\ldots 3.2.1}}a^{n}x^{m-n},$

ou, en réduisant,

${\frac {m}{1}}\cdot {\frac {m-1}{2}}\cdot {\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}a^{n}x^{m-n}\,;$

c’est le terme général connu de la formule du binome.